Frazioni algebriche – Esercizio 46

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\left[\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{a-1}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a-1}}\right]:\left(\dfrac{a^2-2a+1}{a}-\dfrac{a^2-2a+1}{a-2}\right)\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \left[\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{a-1}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a-1}}\right]:\left(\dfrac{a^2-2a+1}{a}-\dfrac{a^2-2a+1}{a-2}\right) = \\ & = \left[\dfrac{1}{\dfrac{a-1-1}{a-1}}+\dfrac{1}{\dfrac{a-1+1}{a-1}}\right]: \left( (a^2-2a+1) \, \left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a-2}\right) \right) =\\ & = \left[\dfrac{a-1}{a-2}+\dfrac{a-1}{a}\right]: \dfrac{\overbrace{(a^2-2a+1)}^{\text{quadrato di binomio}}(a-2-a)}{a(a-2)}  =\\ & = \left[\dfrac{a-1}{a-2}+\dfrac{a-1}{a}\right] \; : \; \dfrac{-2(a-1)^2}{a(a-2)} =\\ & = \left[\dfrac{a(a-1)+(a-2)(a-1)}{a(a-2)}\right]:\left(\dfrac{-2(a-1)^2}{a(a-2)}\right) =\\ & = \left[\dfrac{2\overbrace{(a^2-2a+1)}^{\text{quadrato di binomio}}}{a(a-2)}\right]:\left(\dfrac{-2(a-1)^2}{a(a-2)}\right) =\\ & = \dfrac{2(a-1)^2}{a(a-2)} \cdot \dfrac{a(a-2)}{-2(a-1)^2}  =\\ & = -1 \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi