Frazioni algebriche

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^2-y^2+2x+1}{ax+a+y+x+1+ay}$

Soluzione.
Procediamo come segue

$\begin{aligned} \dfrac{\overbrace{x^2-y^2+1}^{\text{quadrato di binomio}}+2x}{\underbrace{ax+a+ay}_{\text{raccoglimento di $a$}}+y+x+1} & = \dfrac{(x+1)^2-y^2}{\underbrace{a(x+1+y)+(x+y+1)}_{\text{raccoglimento di $x+y+1$}}} = \\\\ & = \dfrac{\overbrace{(x+1)^2-y^2}^{\text{differenza di quadrati}}}{(a+1)(x+y+1)} = \\\\ & = \dfrac{((x+1)-y)((x+1)+y)}{(a+1)(x+y+1)} = \\\\ & = \dfrac{(x+1-y)\cancel{(x+1+y)}}{(a+1)\cancel{(x+y+1)}} = \\\\ & = \dfrac{x+1-y}{a+1} \end{aligned}$