Frazioni algebriche – Esercizio 5

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{x^4+x^2-(y^4+y^2)}{x^3+xy^2+x-y(x^2+y^2+1)}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} \dfrac{x^4+x^2-(y^4+y^2)}{\underbrace{x^3+xy^2+x}_{\text{raccoglimento di $x$}}-y(x^2+y^2+1)} & = \dfrac{x^4+x^2-y^4-y^2}{\underbrace{x(x^2+y^2+1)-y(x^2+y^2+1)}_{\text{raccoglimento di $x^2+y^2+1$}}}\\ & = \dfrac{\overbrace{(x^4-y^4)}^{\text{differenza di quadrati}} + \overbrace{(x^2-y^2)}^{\text{differenza di quadrati}}}{(x-y)(x^2+y^2+1)} = \\\\ & = \dfrac{\overbrace{(x^2-y^2)(x^2+y^2) + (x^2-y^2)}^{\text{raccoglimento di $x^2-y^2$}}}{(x-y)(x^2+y^2+1)} = \\\\ & = \dfrac{(x^2-y^2)(x^2+y^2+1)}{(x-y)(x^2+y^2+1)}= \\\\ & = \dfrac{(x^2-y^2)\cancel{(x^2+y^2+1)}}{(x-y)\cancel{(x^2+y^2+1)}} = \\\\ & = \dfrac{\overbrace{x^2-y^2}^{\text{differenza di quadrati}}}{x-y} = \\\\ & = \dfrac{(x-y)(x+y)}{x-y} = \\\\ & = \dfrac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{x-y}} = \\\\ & = x+y \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi