Frazioni algebriche

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{a^3-1}{a^4-a^3+3a^2-3}$

Soluzione.
Procediamo come segue

$\begin{aligned} \dfrac{\overbrace{a^3-1}^{\text{differenza di cubi}}}{\underbrace{a^4-a^3+3a^2-3}_{\text{raccoglimento parziale}}} & = \dfrac{(a-1)(a^2+1+a)}{a^3(a-1)+3\underbrace{(a^2-1)}_{\text{differenza di quadrati}}} = \\\\ & = \dfrac{(a-1)(a^2+1+a)}{\underbrace{a^3(a-1)+3(a-1)(a+1)}_{\text{raccoglimento di $a-1$}}} = \\\\ & = \dfrac{(a-1)(a^2+1+a)}{(a-1) \;(a^3+3(a+1))} = \\\\ & = \dfrac{\cancel{(a-1)}(a^2+1+a)}{\cancel{(a-1)} \;(a^3+3(a+1))} = \\\\ & = \dfrac{a^2+a+1}{a^3+3a+3} \end{aligned}$