Frazioni algebriche – Esercizio 22

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{a-2}{(a-1)^2+5-3a} - \dfrac{1}{a-2} - \dfrac{1}{a-3}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} \dfrac{a-2}{\underbrace{(a-1)^2}_{\star} + 5-3a} - \dfrac{1}{a-2} - \dfrac{1}{a-3} & = \dfrac{a-2}{a^2+1-2a+5-3a} - \dfrac{1}{a-2} - \dfrac{1}{a-3} = \\ & = \dfrac{a-2}{a^2-5a+6} - \dfrac{1}{a-2} - \dfrac{1}{a-3} = \\ & = \dfrac{a-2}{\underbrace{(a-3)(a-2)}_{\text{trinomio caratteristico}}} - \dfrac{1}{a-2} - \dfrac{1}{a-3} = \\ & = \dfrac{a-2 - (a-3)-(a-2)}{(a-3)(a-2)} = \\ & = \dfrac{-a+3}{(a-3)(a-2)} = \\ & = - \dfrac{\cancel{a-3}}{\cancel{(a-3)}(a-2)} = \\ & = - \dfrac{1}{a-2} =\\ & = \dfrac{1}{2-a} \end{aligned}\]

dove in \star abbiamo svolto il quadrato di binomio secondo la regola

    \[(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi