Esercizio. 
Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:
![\[\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right)\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75c3b932b5c4bdf26a8be6ca3423d0ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione.
Procediamo come segue
Procediamo come segue
![\[\begin{aligned} & \left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right) = \\\\ & = y \, \dfrac{x^2-y^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)} \; \cdot \; \dfrac{y^4-2x^2y^2+x^4}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2-y^2 + 2y^2}{x^2-y^2} = \\\\ & = y \, \dfrac{\cancel{x^2}-2y^2-\cancel{x^2}}{(x^2+y^2)\underbrace{(x^2-y^2)}_{\text{differenza di quadrati}}} \; \cdot \; \dfrac{(y^2-x^2)^2}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2+y^2}{\underbrace{x^2-y^2}_{\text{differenza di quadrati}}} = \\\\ & = - \dfrac{2y^3}{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)} \; \cdot \; \dfrac{(y-x)^2(y+x)^2}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)} = \\\\ & = - \dfrac{2\cancel{y^3}}{\cancel{(x^2+y^2)} \, (x-y)(x+y)} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y^{\cancel{4}}} \; \dfrac{\cancel{x^2+y^2}}{(x-y)(x+y)} = \\\\ & = - \dfrac{2}{(x-y)^2(x+y)^2} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y} = \\\\ & = - \dfrac{2}{y} \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d9afd5b6aa4f5c760e3c4d2c8effcb5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi