In questo dodicesimo articolo sulle frazioni algebriche, presentiamo un espressione completamente risolta sull’argomento. Segnaliamo anche il precedente Frazioni algebriche – Esercizio 11 e il successivo Frazioni algebriche – Esercizio 13 per ulteriore materiale sulle frazioni algebriche.
Buona lettura!
Esercizio 12 
. Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:
![\[\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12b562aca6ac59cae53b5aba055f1afb_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Procediamo come segue
![\[\begin{aligned} & \left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right) = \\\\ & = y \, \dfrac{x^2-y^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)} \; \cdot \; \dfrac{y^4-2x^2y^2+x^4}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2-y^2 + 2y^2}{x^2-y^2} = \\\\ & = y \, \dfrac{\cancel{x^2}-2y^2-\cancel{x^2}}{(x^2+y^2)\underbrace{(x^2-y^2)}_{\text{differenza di quadrati}}} \; \cdot \; \dfrac{(y^2-x^2)^2}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2+y^2}{\underbrace{x^2-y^2}_{\text{differenza di quadrati}}} = \\\\ & = - \dfrac{2y^3}{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)} \; \cdot \; \dfrac{(y-x)^2(y+x)^2}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)} = \\\\ & = - \dfrac{2\cancel{y^3}}{\cancel{(x^2+y^2)} \, (x-y)(x+y)} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y^{\cancel{4}}} \; \dfrac{\cancel{x^2+y^2}}{(x-y)(x+y)} = \\\\ & = - \dfrac{2}{(x-y)^2(x+y)^2} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y} = \\\\ & = - \dfrac{2}{y}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ccb191116d9035583791b3d86ddc57e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi
Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
- Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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- PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
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