Frazioni algebriche – Esercizio 12

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right)\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right) = \\\\ &  = y \, \dfrac{x^2-y^2-x^2-y^2}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)} \; \cdot \;  \dfrac{y^4-2x^2y^2+x^4}{y^4} \; \cdot \; \dfrac{x^2-y^2 + 2y^2}{x^2-y^2} = \\\\ &  = y \, \dfrac{\cancel{x^2}-2y^2-\cancel{x^2}}{(x^2+y^2)\underbrace{(x^2-y^2)}_{\text{differenza di quadrati}}} \; \cdot \;  \dfrac{(y^2-x^2)^2}{y^4} \; \cdot \;  \dfrac{x^2+y^2}{\underbrace{x^2-y^2}_{\text{differenza di quadrati}}} = \\\\ &  = - \dfrac{2y^3}{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)} \; \cdot \;  \dfrac{(y-x)^2(y+x)^2}{y^4} \; \cdot \;  \dfrac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)} = \\\\ &  = - \dfrac{2\cancel{y^3}}{\cancel{(x^2+y^2)} \, (x-y)(x+y)} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y^{\cancel{4}}} \; \dfrac{\cancel{x^2+y^2}}{(x-y)(x+y)} = \\\\ &  = - \dfrac{2}{(x-y)^2(x+y)^2} \; \dfrac{(y-x)^2 \, (y+x)^2}{y} = \\\\ & = - \dfrac{2}{y} \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi