Frazioni algebriche – Esercizio 25

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\frac{a^{3}+a^{2}}{a^{2}+5 a}-\frac{a^{3}-5 a^{2}}{a^{3}-25 a}-\frac{a^{2}+1}{2 a+10}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \frac{a^{3}+a^{2}}{\underbrace{a^{2}+5 a}_{\text{raccoglimento totale}}}-\frac{a^{3}-5 a^{2}}{\underbrace{a^{3}-25 a}_{\text{raccoglimento totale}}}-\frac{a^{2}+1}{\underbrace{2 a+10}_{\text{raccoglimento totale}}}=\\\\ & = \frac{a^{3}+a^{2}}{a(a+5)}-\frac{a^{3}-5 a^{2}}{a\underbrace{\left(a^{2}-25\right)}_\star}-\frac{a^{2}+1}{2(a+5)}=\\ & = \frac{a^{3}+a^{2}}{a(a+5)}-\frac{a^{3}-5 a^{2}}{a(a+5)(a-5)}-\frac{a^{2}+1}{2(a+5)}=\\\\ & = \frac{2\left(a^{3}+a^{2}\right)(a-5)-2\left(a^{3}-5 a^{2}\right)-a\left(a^{2}+1\right)(a-5)}{2 a(a+5)(a-5)}=\\\\ &=\frac{\overbrace{a^{4}-5 a^{3}-a^{2}+5 a}^{\text{raccoglimento totale}}}{2 a(a+5)(a-5)}=\\\\ &=\frac{\cancel{a}\overbrace{\left(a^{3}-5 a^{2}-a+5\right)}^{\text{raccoglimento parziale}}}{2 \cancel{a}(a+5)(a-5)}=\\\\ & = \frac{\overbrace{a^{2}(a-5)-(a-5)}^{\text{raccoglimento totale}}}{2(a+5)(a-5)}=\\\\ & = \frac{(a-5)\left(a^{2}-1\right)}{2(a+5)(a-5)}=\frac{a^{2}-1}{2(a+5)} \end{aligned}\]

dove in \star riconosciamo la differenza tra due quadrati.

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi