Frazioni algebriche – Esercizio 20

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{(a+b)^2-2(a+b)+1}{(a+b)^2-1} \cdot \left[a+b-1 + \dfrac{4(a+b)}{a+b-1}\right]\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \dfrac{\overbrace{(a+b)^2-2(a+b)+1}^{\text{quadrato di binomio}}}{\underbrace{(a+b)^2-1}_{\text{differenza di due quadrati}}} \cdot \left[a+b-1 + \dfrac{4(a+b)}{a+b-1}\right] = \\ & = \dfrac{((a+b)-1)^2}{((a+b)-1)((a+b)+1)} \cdot \left[\dfrac{(a+b-1)^2 + 4(a+b)}{a+b-1}\right] = \\ & = \dfrac{a+b-1}{a+b+1} \cdot \dfrac{(a+b)^2-2(a+b)+1 + 4(a+b)}{a+b-1} = \\ & = \dfrac{a+b-1}{a+b+1} \cdot \dfrac{(a+b)^2+2(a+b)+1}{a+b-1} = \\ & = \dfrac{a+b-1}{a+b+1} \cdot \dfrac{(a+b+1)^2}{a+b-1} = \\ & = a+b+1 \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi