In questo quarantaquattresimo articolo sulle frazioni algebriche, presentiamo un espressione completamente risolta sull’argomento. Segnaliamo anche il precedente Frazioni algebriche – Esercizio 43 e il successivo Frazioni algebriche – Esercizio 45 per ulteriore materiale sulle frazioni algebriche.
Buona lettura!
Esercizio 44 
. Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:
![\[\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{4}{a^2+y^2}\right) \left(\dfrac{a+y}{a^2-ay}+\dfrac{a-y}{a^2+ay}\right):\left(\dfrac{a}{y}-\dfrac{y}{a}\right).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38c636051076e35d53ad23513e7381fd_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Procediamo come segue
![\[\begin{aligned} & \left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{4}{a^2+y^2}\right) \cdot \left(\dfrac{a+y}{a^2-ay}+\dfrac{a-y}{a^2+ay}\right):\left(\dfrac{a}{y}-\dfrac{y}{a}\right)=\\\\ & = \left(\dfrac{y^2(a^2+y^2)+a^2(a^2+y^2)-4a^2y^2}{a^2y^2(a^2+y^2)}\right) \cdot \left(\dfrac{a+y}{a(a-y)}+\dfrac{a-y}{a(a+y)}\right):\left(\dfrac{\overbrace{a^2-y^2}^{\text{differenza di due quadrati}}}{ay}\right) = \\\\ & = \dfrac{\overbrace{y^4+a^4-2a^2y^2}^{\text{quadrato di binomio}}}{a^2y^2(a^2+y^2)} \cdot \dfrac{(a+y)^2+(a-y)^2}{a(a-y)(a+y)} \cdot \dfrac{ay}{(a-y)(a+y)} = \\\\ & = \dfrac{\overbrace{(a^2-y^2)^2}^{[(a-y)(a+y)]^2}}{a^2y^2(a^2+y^2)} \cdot \dfrac{2(a^2+y^2)}{a(a-y)(a+y)} \cdot \dfrac{ay}{(a-y)(a+y)} = \\\\ & = \dfrac{(a-y)^2(a+y)^2}{a^2y^2(a^2+y^2)} \cdot \dfrac{2(a^2+y^2)}{a(a-y)(a+y)} \cdot \dfrac{ay}{(a-y)(a+y)} = \\\\ & = \dfrac{2}{a^2y}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79feea8b78485c4e56c7c573ec4646e7_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi
Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica
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