Frazioni algebriche – Esercizio 41

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{4a^2-4b^2}{6a^2-12ab+6b^2} - \dfrac{a}{2a-2b} + \dfrac{b}{3a-3b}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \dfrac{\overbrace{4a^2-4b^2}^{\text{raccoglimento totale e differenza di quadrati}}}{\underbrace{6a^2-12ab+6b^2}_{\text{raccoglimento totale e quadrato di binomio}}} - \dfrac{a}{\underbrace{2a-2b}_{\text{raccoglimento totale}}} + \dfrac{b}{\underbrace{3a-3b}_{\text{raccoglimento totale}}} =\\\\ & = \dfrac{4(a-b)(a+b)}{6(a-b)^2} - \dfrac{a}{2(a-b)} + \dfrac{b}{3(a-b)} = \\\\ & = \dfrac{4(a-b)(a+b)-3a(a-b)+2b(a-b)}{6(a-b)^2} = \\\\ & = \dfrac{4a^2-4b^2-3a^2+3ab+2ba-2b^2}{6(a-b)^2} = \\\\ & = \dfrac{\overbrace{a^2-6b^2+5ab}^{\text{trinomio caratteristico}}}{6(a-b)^2} = \\\\ & = \dfrac{(a-b)(a+6b)}{6(a-b)^2} = \\\\ & = \dfrac{\cancel{(a-b)}(a+6b)}{6(a-b)^{\cancel{2}}} = \\\\ & = \dfrac{a+6b}{6(a-b)} \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi