Frazioni algebriche – Esercizio 40

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{2ax-2bx-a+b}{a^2x-abx+b^2x} : \dfrac{ax+bx}{a^3+b^3}: \dfrac{2ax+2bx-a-b}{ax^2-bx^2}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \dfrac{\overbrace{2ax-2bx-a+b}^{\text{raccoglimento parziale}}}{\underbrace{a^2x-abx+b^2x}_{\text{raccoglimento totale}}} : \dfrac{\overbrace{ax+bx}^{\text{raccoglimento totale}}}{\underbrace{a^3+b^3}_{\text{somma di cubi}}}: \dfrac{\overbrace{2ax+2bx-(a+b)}^{\text{raccoglimento parziale}}}{\underbrace{ax^2-bx^2}_{\text{raccoglimento totale}}} =\\\\ & = \dfrac{2x(a-b)-a+b}{x(a^2-ab+b^2)} : \dfrac{x(a+b)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}: \dfrac{2x(a+b)-(a+b)}{x^2(a-b)} = \\\\ & = \dfrac{(2x-1)(a-b)}{x(a^2-ab+b^2)} : \dfrac{x\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a+b)}(a^2-ab+b^2)}: \dfrac{(2x-1)(a+b)}{x^2(a-b)} = \\\\ & = \dfrac{(2x-1)(a-b)}{x(a^2-ab+b^2)} \cdot \dfrac{a^2-ab+b^2}{x} \cdot \dfrac{x^2(a-b)}{(2x-1)(a+b)} = \\\\ & = \dfrac{\cancel{(2x-1)}(a-b)}{x\cancel{(a^2-ab+b^2)}} \cdot \dfrac{\cancel{(a^2-ab+b^2)}}{x} \cdot \dfrac{x^2(a-b)}{\cancel{(2x-1)}(a+b)} = \\\\ & = \dfrac{(a-b)^2}{a+b} \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi