Frazioni algebriche – Esercizio 42
In questo quarantaduesimo articolo sulle frazioni algebriche, presentiamo un espressione completamente risolta sull’argomento. Segnaliamo anche il precedente Frazioni algebriche – Esercizio 41 e il successivo Frazioni algebriche – Esercizio 43 per ulteriore materiale sulle frazioni algebriche.
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Esercizio 
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Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:
![\[\dfrac{x^4-y^4}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{x^3+y^3} \cdot \left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)^2\right].\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd5b128d14f131847c72ac64a1998bc3_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Procediamo come segue
![\[\begin{aligned} & \dfrac{x^4-y^4}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{\underbrace{x^3+y^3}_{\text{somma di cubi}}} \cdot \left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)^2\right] = \\ & = \dfrac{(x^2+y^2)\overbrace{(x^2-y^2)}^{(x-y)(x+y)}}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} \cdot \dfrac{(x+y)^2}{(x-y)^2}\right] = \\ & = \dfrac{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{\cancel{(x+y)}(x^2-xy+y^2)} \cdot \dfrac{(x+y)^{\cancel{2}}}{(x-y)^2}\right] = \\ & = \dfrac{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)}{x^2-xy+y^2} : \dfrac{(x+y)(x^2+y^2)}{(x-y)^2 \, (x^2-xy+y^2)} = \\ & = \dfrac{\cancel{(x^2+y^2)}(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^2-xy+y^2}} \cdot \dfrac{(x-y)^2 \, \cancel{(x^2-xy+y^2)}}{\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+y^2)}} = \\ & = (x-y)^3. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d0df0af0cffe8e089c9316ae4085add_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")