Frazioni algebriche – Esercizio 42

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{x^4-y^4}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{x^3+y^3} \cdot \left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)^2\right]\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \dfrac{x^4-y^4}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{\underbrace{x^3+y^3}_{\text{somma di cubi}}} \cdot \left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)^2\right] = \\ & = \dfrac{(x^2+y^2)\overbrace{(x^2-y^2)}^{(x-y)(x+y)}}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} \cdot \dfrac{(x+y)^2}{(x-y)^2}\right] = \\ & = \dfrac{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{\cancel{(x+y)}(x^2-xy+y^2)} \cdot \dfrac{(x+y)^{\cancel{2}}}{(x-y)^2}\right] = \\ & = \dfrac{(x^2+y^2)(x-y)(x+y)}{x^2-xy+y^2} : \dfrac{(x+y)(x^2+y^2)}{(x-y)^2 \, (x^2-xy+y^2)} = \\ & = \dfrac{\cancel{(x^2+y^2)}(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^2-xy+y^2}} \cdot \dfrac{(x-y)^2 \, \cancel{(x^2-xy+y^2)}}{\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+y^2)}} = \\ & = (x-y)^3 \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi