Frazioni algebriche – Esercizio 34

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{\dfrac{x+a}{x-a}-\dfrac{x-a}{x+a}}{1-\dfrac{x-a}{x+a}}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \dfrac{\dfrac{x+a}{x-a}-\dfrac{x-a}{x+a}}{1-\dfrac{x-a}{x+a}} = \dfrac{\dfrac{(x+a)^2-(x-a)^2}{(x-a)(x+a)}}{\dfrac{x+a-x+a}{x+a}} = \\\\ & = \dfrac{\dfrac{x^2+2ax+a^2-x^2+2ax-a^2}{(x-a)(x+a)}}{\dfrac{2a}{x+a}} = \\\\ & = \dfrac{\dfrac{4ax}{(x-a)(x+a)}}{\dfrac{2a}{x+a}} = \\\\ & = \dfrac{4ax}{(x-a)(x+a)} \cdot \dfrac{x+a}{2a} = \\\\ & = \dfrac{2x}{x-a} \end{aligned}\]

dove abbiamo sviluppato il quadrato di binomio

    \[(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi