Frazioni algebriche – Esercizio 33

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 \cdot \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 \cdot \dfrac{2a^2}{a^4-1}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} &\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 \cdot \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 \cdot \dfrac{2a^2}{\underbrace{a^4-1}_{\text{differenza di due quadrati}}}=\\ & = \left(\dfrac{a^2+1}{a}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{a^2-1}{a}\right)^2 \cdot \dfrac{2a^2}{\underbrace{(a^2-1)}_{\text{differenza di due quadrati}}(a^2+1)}=\\ & = \dfrac{(a^2+1)^2}{a^2} \cdot \dfrac{(a-1)^2(a+1)^2}{a^2} \cdot \dfrac{2a^2}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}=\\ & = 2\dfrac{a^2+1}{a^2} \cdot (a-1)(a+1) = \\ & =  2 \dfrac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2} = \\ & =  2 \dfrac{a^4-1}{a^2} \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi