Frazioni algebriche – Esercizio 1

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\dfrac{(a+b)^2-(x+a)^2}{3(b^2-x^2)}\]

 

Soluzione.
Dato che

    \[A^2-B^2 = (A-B)(A+B)\]

allora numeratore e denominatore della frazione algebrica si possono scrivere come segue

    \[(a+b)^2-(x+a)^2 = ((a+b)-(x+a)) \; ((a+b)+(x+a))\]

e

    \[b^2-x^2 = (b-x)(b+x)\]

da cui

    \[\begin{aligned} \dfrac{(a+b)^2-(x+a)^2}{3(b^2-x^2)} & = \dfrac{((a+b)-(x+a)) \; ((a+b)+(x+a))}{3(b-x)(b+x)}\\ & = \dfrac{(\cancel{a}+b-x\cancel{-a}) \; (2a+b+x)}{3(b-x)(b+x)}\\ & = \dfrac{(b-x) \; (2a+b+x)}{3(b-x)(b+x)}\\ & = \dfrac{\cancel{(b-x)} \; (2a+b+x)}{3\, \cancel{(b-x)} \, (b+x)}\\ & = \dfrac{2a+b+x}{3(b+x)}\\ \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi