Sistemi di punti materiali: testi degli esercizi svolti

Esercizio 1 . Un uomo di massa , considerato come un punto materiale, è inizialmente in quiete sul bordo di una barca di massa , la cui massa è distribuita in modo omogeneo e di lunghezza , immersa nel mare.

L’uomo si sposta di una distanza rispetto al punto fisso , senza che vi sia alcun attrito tra la barca e l’acqua.

Determinare di quanto si è spostata la barca rispetto a un sistema di riferimento fisso. L’obbiettivo è di esprimere i risultati in funzione dei parametri , e .

Esercizio 2 . Un insetto di massa si trova all’estremo di un bastoncino lungo e massa posto su di un piano orizzontale liscio. L’insetto possiede una velocità iniziale orientata come in figura 2 e al termine del proprio moto si troverà alla fine del bastoncino, per percorrere tale percorso impiega un tempo . Determinare di quanto è arretrato il bastoncino. Si supponga la massa del bastoncino distribuita in modo omogeneo su tutta la sua lunghezza.

Esercizio 3 . Tre blocchetti di masse , , scendono lungo un piano inclinato liscio, con angolo , sotto l’azione della forza peso e della forza costante indicata in figura 3. Si sa che il modulo della forza tangente al piano a cui è sottoposto il blocchetto è . Calcolare il valore di .
Si supponga ora che non ci sia la forza , ma che il piano presenti attrito, con coefficienti , , rispettivamente per il blocchetto , , , e che il moto sia uniforme. Calcolare il valore di in funzioni di quest’ultimi.

Esercizio 4 . Siano un sistema di riferimento inerziale e due punti materiali di massa ed che si muovono di moto vario con leggi orarie e . Si richiede di verificare il teorema di König dell’energia cinetica e di determinare la condizione affinché l’energia cinetica di sia doppia di quella di nel sistema del centro di massa.

Esercizio 5 . Due masse, considerate puntiformi, ed , poste su un piano orizzontale senza attrito, comprimono una molla di costante elastica di una lunghezza e sono collegate da un filo di massa trascurabile. La massa si trova inizialmente a una distanza dal bordo di uno scalino di altezza . All’istante s il filo viene tagliato e la molla si decomprime. La massa percorre la traiettoria di figura 5 e tocca terra a una distanza dallo scalino, impiegando un tempo totale dall’istante iniziale s. Si determini:

1. la velocità della massa dopo la decompressione della molla;
2. l’altezza dello scalino;
3. la compressione iniziale della molla.

Esercizio 6 . Due masse puntiformi e sono inizialmente ferme nell’origine dell’asse . All’istante la massa inizia a muoversi con un’accelerazione mentre parte con una velocità che resta costante. Determinare dopo quanto tempo il centro di massa del sistema transita nell’origine e la sua velocità in quell’istante.
Effettuare i calcoli per: , , , .

Esercizio 7 . Una massa puntiforme è attaccata tramite un filo di lunghezza e massa trascurabile ad un anello di massa . L’anello può scorrere senza attriti lungo una guida rettilinea orizzontale. All’istante iniziale la massa è ferma alla stessa quota dell’anello (filo orizzontale). Nell’istante in cui il filo è in direzione verticale, determinare:

a) la velocità della massa ;

b) di quanto risulta spostata la massa rispetto alla posizione iniziale.

Eseguire i calcoli numerici con , , .

Esercizio 8 . Agli estremi di un’asta di lunghezza e massa trascurabile, sono saldati due pattini, di masse e , che si appoggiano su una guida circolare di raggio , posta su un piano orizzontale. Sull’asta, a distanza dal pattino di massa , si trova una persona di massa . L’asta è vincolata a ruotare rispetto al centro del disco e inizialmente possiede una velocità angolare .
La persona si sposta, portandosi a distanza dal pattino di massa ; si calcoli la velocità angolare del moto circolare dei pattini dopo lo spostamento della persona e il lavoro eseguito da questa per spostarsi.

Esercizio 9 . Due masse e , soggette alla forza peso, sono collegate da un’asticella di massa trascurabile e lunghezza . Il sistema è libero di traslare e ruotare su un piano verticale, intorno all’asse perpendicolare al piano, passante per il centro di massa. All’istante l’asta è posizionata come in figura 9, la massa ha coordinate e la massa si trova nell’origine. In tale istante il centro di massa ha velocità diretta nel verso positivo dell’asse delle e la velocità angolare (rotazione in verso antiorario).
Determinare all’istante :

• la posizione del centro di massa;
• il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e rispetto all’origine degli assi.

Inoltre descrivere per il moto del sistema rispetto al sistema di riferimento inerziale e il centro di massa.

Esercizio 10 . Siano tre blocchi di massa , e , tale per cui giacca su , ed sia collegato ad tramite un filo inestensibile, e di massa trascurabile, tramite una carrucola. Tutti gli attriti sono trascurabili e si consideri la massa della carrucola trascurabile. Grazie ad un’opportuna forza esterna di direzione, verso e modulo costante, il sistema composto dai tre blocchi entra in movimento. Si determini il valore di affinché la massa rimanga in quiete rispetto a . Il sistema fisico in esame è rappresentato nella figura 10 che segue.

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Esercizio 11 . Un carrello di massa può muoversi senza attrito su di un piano orizzontale. Una persona di massa si trova sul carrello; inizialmente il sistema è in quiete. La persona si mette a camminare sul carrello, con un’accelerazione rispetto al carrello. L’accelerazione ha direzione, verso e modulo costante, ed è parallela al piano orizzontale, come nella figura 11 di seguito. Si determinino le accelerazioni del carrello e della persona rispetto ad un sistema di riferimento solidale al suolo.

Esercizio 12 . Due punti materiali di massa e sono collegati da una barretta rigida di massa trascurabile e lunghezza su di un piano orizzontale. Il sistema inizialmente non è in quiete, infatti e hanno velocità e rispettivamente. Entrambe le velocità e vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Inoltre, siano e i moduli rispettivamente delle velocità e . Le velocità e sono orientate come in figura 12. Sul sistema non agiscono forze esterne e all’istante la situazione è quella mostrata in figura 12, con , dove è il modulo della velocità iniziale di , ed è il modulo della velocità iniziale di all’istante iniziale. Si determinino le posizioni dei due punti materiali, rispetto ad un sistema di riferimento fisso, all’istante tale che valga la seguente condizione .

Esercizio 13 . Un oggetto di massa viene appoggiato su un piano metallico di massa , sostenuto da una molla ideale di massa trascurabile, lunghezza a riposo e costante elastica . Si comprime, con un’opportuna forza esterna, la molla di una lunghezza rispetto alla lunghezza di riposo. Successivamente il sistema vine rilasciato e per via della forza esercitata dalla molla risale verso l’alto. Si richiede di calcolare il massimo valore di affinché l’oggetto rimanga aderente al piatto.

Esercizio 14 . Su due guide orizzontali e parallele, poste in un piano verticale e distanti tra loro , possono scorrere senza attrito due piccoli anelli di masse e . I due anelli sono collegati tra loro da una molla ideale, di massa trascurabile, lunghezza a riposo trascurabile e costante elastica . All’istante tramite un’opportuna forza esterna l’anello di massa si mette in moto con una velocità di modulo diretta parallelamente alle guide, come in figura 14, mentre il secondo anello a quell’istante è in quiete. Supporre che ed , all’istante siano allineati, come in figura 14. Le velocità dei due corpi all’istante iniziale vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Si calcoli l’allungamento massimo della molla e il tempo minimo che si deve attendere affinché ciò avvenga.

Esercizio 15 . Tre masse, , e , sono in moto lungo un piano orizzontale. Le masse ed sono connesse da una molla ideale di costante elastica , lunghezza a riposo trascurabile e massa trascurabile, e sono soggetti rispettivamente alle forze ed . La massa si trova distante dalla massa , come si può dedurre dalla figura 15, ed è soggetta alla forza . Le forze , ed hanno direzione, verso e modulo costante, come rappresentato in figura 15. La massa ha un’accelerazione rispetto ad un sistema di riferimento inerziale di modulo, direzione e verso costante parallelo al piano orizzontale all’istante , come rappresentato in figura 15. Si consideri il sistema fisico composto dalle masse , ed , da cui si definisca l’accelerazione del centro di massa di tale sistema. Inoltre, siano e le accelerazione rispettivamente di ed rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Si richiede di calcolare , , e di quanto è allungata la molla all’istante iniziale in funzione di , , ed .

Esercizio 16 . Un cannone di massa spara in orizzontale, dalla sommità di una torre di altezza , un proiettile di massa , che raggiunge il suolo a distanza dalla base della torre. Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare il modulo della forza orizzontale e costante che un sistema di ammortizzatori deve esercitare sul cannone perché, per il rinculo, esso arretri di un tratto prima di fermarsi. Si consideri il cannone di massa e la massa come due punti materiali.

Esercizio 17 . Una pallina di massa si trova su un piano orizzontale liscio ed è collegata, tramite un filo inestensibile, di massa trascurabile e passante per un piccolo foro praticato nel piano, a un corpo di massa , posto al di sotto del piano lungo la verticale passante per . All’istante la pallina si trova a distanza da e viene messa in moto lungo il piano con velocità perpendicolare al filo e giacente sul piano orizzontale, come rappresentato in figura 17.

1. Si descrivano tutte le forze che agiscono sul sistema, determinando in particolare la reazione vincolare che il piano esercita sul filo nel punto .
2. Si determini il valore del modulo di tale per cui inizia a ruotare restando a distanza da .
3. Si trovino i valori della minima distanza e della massima distanza da raggiunte da durante il moto in funzione di .
4. Si dimostri che per qualsiasi valore di non è possibile che raggiunga il punto , mentre ciò sarebbe possibile se il piano su cui si muove presentasse attrito.

Esercizio 18 . Due corpi di massa e agganciati agli estremi di una molla di massa trascurabile, si trovano su di un piano orizzontale liscio. La molla è ideale, ha costante elastica e lunghezza a riposo . Inizialmente la molla è tenuta compressa di un tratto mediante un filo collegato alle due masse. Tagliato il filo, si lasciano muovere i due corpi sotto l’azione della molla. Si determini la velocità massima raggiunta dai due corpi rispetto ad un osservatore solidale al suolo. Si esprimano i risultati in funzione delle variabili , e .

Esercizio 19 . Due punti materiali di massa , fissati alla fine di un’asta rigida di massa trascurabile e lunghezza , formano un angolo fisso con la verticale, come in figura 19. Il sistema è tenuto in rotazione a velocità angolare di modulo, direzione e verso costante rispetto all’asse di rotazione passante per il centro di massa dell’asta, come rappresentato in figura 19. Si determini il momento angolare e la sua variazione rispetto al tempo rispetto al polo indicato in figura 19.

Esercizio 20 . Un blocco di massa , costituito da un quarto di circonferenza di raggio , è libero di muoversi senza attrito su un piano orizzontale ed è inizialmente fermo. Un punto materiale di massa , inizialmente fermo nel punto più alto del profilo, scivola senza attrito sul profilo. Calcolare:

(i) lo spostamento del blocco rispetto alla posizione iniziale, nell’istante in cui il punto materiale ha percorso un tratto lungo l’asse orizzontale rispetto alla sua posizione di partenza;

(ii) lo spostamento del blocco rispetto alla posizione iniziale, nell’istante in cui il punto materiale ha percorso un tratto lungo lungo l’asse orizzontale rispetto ad un polo solidale al blocco stesso;

(iii) lo spostamento del blocco rispetto alla posizione iniziale quando il punto materiale ha raggiunto il piano orizzontale;

(iiii) le velocità finali del punto materiale e del blocco, rispetto al piano orizzontale quando la massa ha raggiunto il piano orizzontale stesso.

Utilizzare per i calcoli: , , , .

Esercizio 21 . Una conca semisferica di massa e raggio è appoggiata ad una parete verticale e può scorrere senza attrito lungo l’asse orizzontale. Un corpo di massa è abbandonato con velocità nulla dalla cima della conca come mostrato in figura 21. Trascurando l’attrito tra la conca e il corpo , calcolare:
a) l’altezza massima raggiunta dal corpo dopo che la conca si è staccata dalla parete verticale;
b) la velocità della conca nell’istante in cui raggiunge l’altezza massima;
c) la velocità massima raggiunta dalla conca.

Esercizio 22 .  Un cuneo a sezione triangolare, di massa , lunghezza e altezza , poggia e può scorrere senza attrito su un piano orizzontale fisso, come in figura 22. In cima al piano inclinato in quiete è poggiato un piccolo dado pesante di massa . Si lascia libero il dado di scivolare lungo il piano inclinato. Calcolare:
a) di quanto si sarà spostato il cuneo quando il dado avrà raggiunto il piano orizzontale;
b) quanto valgono le componenti e della velocità del dado quando la velocità del cuneo è ;
c) la velocità del cuneo all’istante in cui il dado arriva in fondo al piano inclinato, nell’ipotesi che non vi sia attrito tra cuneo e dado.

Esercizio 23 .  Un corpo di massa scivola su un piano inclinato, tra piano e corpo c’è attrito dinamico e il coefficiente di attrito dinamico ha valore . Il piano inclinato ha una massa distribuita in modo omogenea di valore totale e può scorrere su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare le accelerazioni di e rispetto al laboratorio (sistema fisso) considerando che all’istante iniziale tutto è in quiete.

Esercizio 24 . Un blocco di massa è fermo su un cuneo di altezza e massa . Tutte le superfici sono senza attrito. All’inizio tutto è in quiete e il blocco di massa si trova a quota sul cuneo come in figura 24.
Rispetto ad un sistema di riferimento inerziale fisso, determinare:

1) di quanto si è postato il cuneo quando il punto materiale arriva alla fine di esso;

2) la velocità del cuneo quando il punto materiale si trova ad ;

3) la velocità del cuneo e del punto materiale un istante prima e dopo che il punto materiale tocca il piano orizzontale ;

4)  l’accelerazione del cuneo e del punto materiale.

Esercizio 25 .  Un punto materiale di massa viene lanciato con velocità lungo un piano orizzontale privo di attrito. Ad un certo istante impatta con un piano inclinato di massa che forma un angolo con il piano orizzontale, anch’esso libero di muoversi e privo di attrito, ed inizia a risalire lungo il piano. Si determini l’equazione che esprime la velocità assoluta del piano inclinato in funzione della quota di e la velocità finale del sistema quando la massa ha velocità relativa nulla rispetto al piano inclinato ovvero quando il sistema composto da si muove all’unisono rispetto ad un osservatore fisso.

Esercizio 26 . Nel sistema rappresentato in figura 26 il blocco triangolare di angolo alla base e di massa , poggia su un piano orizzontale ed è tenuto fermo dal rialzo ; i corpi e , di masse e , sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile, la carrucola ruota senza attrito e ha massa trascurabile.

a) Consideriamo trascurabile l’attrito tra il blocco e . Si calcoli il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra i corpi e necessario affinché questi, lasciati liberi con velocità nulle nella posizione di figura 26, rimangano in quiete, e le componenti orizzontale e verticale della reazione sviluppata complessivamente dal piano di appoggio e da .

b) Si supponga adesso che il sistema non sia in equilibrio, che i coefficienti di attrito dinamico tra e e tra il blocco e valgano e il sistema venga lasciato libero nella posizione di figura 26 con velocità iniziali nulle. Si calcoli il modulo dell’accelerazione di e le componenti della reazione .

Si supponga che sia a trascinare

Esercizio 27 . Una corda di massa e lunghezza è tenuta ferma su un tavolo privo di attrito, mentre una certa porzione della sua lunghezza pende dal bordo del tavolo.
Quanto lavoro è richiesto per tirare indietro, fino sul piano del tavolo, la parte pendente?

N.B. Per lo svolgimento dell’esercizio supporre che la massa della corda sia uniformemente distribuita lungo di essa, ossia la densità di massa della corda sia costante, cioè

(1)  

dove è la massa del tratto di corda . Inoltre, supporre che il sistema sia in quiete rispettivamente all’inizio del moto e alla fine del moto (cioè quando la corda è totalmente sul piano orizzontale).

Esercizio 28 . Un corpo di massa è attaccato all’estremità di una molla ideale. Esso è vincolato a muoversi verticalmente ed è in contatto con un ripiano inclinato liscio di un carrello di massa scorrevole su un piano orizzontale privo di attrito, come illustrato in figura 28. Il ripiano forma un angolo rispetto al piano orizzontale. La molla ha costante elastica e quando il corpo coincide con il punto la molla è a riposo. All’istante , il corpo coincide con il punto , ad un’altezza rispetto al punto , le velocità dei due corpi sono nulle e il sistema viene lasciato libero di muoversi. Si determini:

• la velocità del carrello di massa nell’istante in cui il corpo coincide con ;
• il modulo della reazione vincolare del piano inclinato e il modulo della reazione del piano orizzontale in funzione della compressione della molla.

Esercizio 29 . Un blocco metallico in quiete su un piano orizzontale viene spezzato, con una piccola carica di esplosivo, in tre parti e di massa , che continuano a muoversi lungo lo stesso piano. Considerando un sistema di riferimento fisso inerziale come illustrato in figura 29, con origine coincidente con la posizione del blocco metallico un istante prima dell’urto, il frammento parte lungo l’asse , nel verso positivo, con velocità , lungo l’asse , nel verso positivo, con velocità . Si determini il modulo e la direzione della velocità del frammento ; si consideri il blocco metallico, così come le tre parti in cui esso è spezzato, come un punto materiale.

Esercizio 30 . La figura 30 rappresenta la sezione verticale di un sistema formato da un cuneo , di massa ed apertura angolare , posto tra due blocchi e di masse uguali, , poggiati su di un piano orizzontale. Si trascuri l’attrito tra cuneo e i due blocchi.

1. Si determini il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra i blocchi e ed il piano d’appoggio se la situazione rappresentata in figura 30 è di equilibrio.
2. L’attrito tra i due blocchi e ed il loro piano di appoggio sia trascurabile ed il blocco venga lasciato libero di muoversi nella posizione di figura 30 con velocità nulla. Si calcolino i moduli della velocità e dell’accelerazione del cuneo nell’istante in cui termina il contatto tra il cuneo ed i blocchi.

Si consideri il cuneo come un triangolo isoscele e che la sua altezza sia pari ad .

Esercizio 31 . Due masse puntiformi e , collegate tramite un’asta rettilinea di massa trascurabile avente lunghezza , sono ferme in posizione verticale su un piano orizzontale privo di attrito. Se l’asta è leggermente spostata dalla sua posizione di equilibrio (instabile) e sapendo che la massa è vincolata a muoversi sul piano orizzontale, dimostrare che il modulo della velocità angolare con cui essa raggiunge la posizione orizzontale è data da

Esercizio 32 . Due aste uguali, ciascuna di lunghezza e massa trascurabile, sono vincolate a muoversi in un piano verticale e sono incernierate tra loro ad un estremo . Gli altri due estremi e , vincolati a muoversi lungo un asse orizzontale, sono collegati da una molla di lunghezza di riposo trascurabile e costante elastica . Tre corpi puntiformi, di massa , e , sono saldati rispettivamente nei tre vertici , e . Si assumono trascurabili tutti i possibili attriti e si consideri la molla ideale.

1. Si calcoli l’altezza , rispetto all’asse orizzontale , del punto nella posizione di equilibrio. Inoltre, si dica se tale equilibrio è instabile o stabile.
2. Sfruttando il risultato del punto 1 si deduca qual è l’intensità minima della forza diretta verso il basso da applicare in , in corrispondenza della posizione di equilibrio affinché giunga sull’asse orizzontale.
3. In corrispondenza del caso 2, si determini lo spostamento lungo l’asse orizzontale ed il modulo della velocità con la quale vi giunge il sistema.

Esercizio 33 . Una pallina di massa è posta sulla sommità di una semisfera liscia di massa e raggio , posta a sua volta in quiete su un piano orizzontale liscio. Dimostrare che se la pallina viene spostata leggermente dalla posizione di equilibrio instabile con una velocità iniziale trascurabile, l’angolo di distacco , ossia l’angolo che la direzione passante per il centro della semisfera e la pallina forma con la verticale, soddisfa la seguente equazione algebrica:

Esercizio 34 . Su un’asta rigida , di lunghezza e di massa trascurabile, sono fissati due piccoli manicotti di masse e rispettivamente nei punti e tali che e . L’asta è appoggiata su un piano orizzontale e a una parete verticale; nel punto distante da è applicata una forza orizzontale, come in figura 34.

1. Inizialmente l’asta è in condizioni di equilibrio nella posizione con ; si calcoli l’intensità di se le superfici di appoggio sono lisce.
2. Si aumenta l’intensità della forza e l’asta si sposta restando in contatto con le due superfici lisce e quando la velocità dell’estremo ha modulo ; si calcoli il lavoro svolto corrispondentemente dalla forza .
3. Se l’asta è in quiete nella posizione e la forza ha intensità , la posizione è di equilibrio; se le superfici sono scabre con coefficiente di attrito statico e si diminuisce l’intensità di , per quale valore l’asta comincia a scivolare verso il basso?

Si assuma che

(2)  

Inoltre, si supponga, che l’asta cominci a scivolare quando le forze di attrito statico sulla parete verticale e orizzontale assumano rispettivamente il valore massimo contemporaneamente.

Esercizio 35 . Una catenella è tenuta ferma su un tavolo privo di attrito mentre un quarto della sua lunghezza pende dal bordo del tavolo.
Se la catenella ha una lunghezza totale e una massa , quanto lavoro è richiesto per tirare indietro fino sul piano del tavolo la parte pendente?

Esercizio 36 .  Due punti materiali di massa e sono vincolati a muoversi su di un piano orizzontale liscio. I due punti sono fissati alle estremità di una molla ideale di costante elastica e lunghezza a riposo . Scelto un sistema di riferimento inerziale dal quale analizzare il sistema fisico composto dalle due masse, si definiscano e le posizioni rispettivamente di e nel sistema di riferimento scelto. Le condizioni iniziali in questo sistema di riferimento sono , , e . Si richiede di determinare le leggi orarie e .

Esercizio 37 . I due corpi rappresentati in figura 37 sono collegati da un filo inestensibile, di massa trascurabile e lunghezza . Il corpo di massa è vincolato a scorrere senza attrito lungo un’asta orizzontale; il corpo di massa è invece libero di oscillare nel piano in cui giace il sistema delle due masse. I due corpi vengono lasciati liberi di muoversi con velocità iniziali nulle in corrispondenza di un angolo che il filo forma con la verticale.
Calcolare:

1. l’ampiezza del moto oscillatorio del corpo di massa in funzione di , , e ;
2. i moduli e delle velocità che i corpi possiedono quando si trovano allineati lungo la verticale in funzione di , , , e .

Esercizio 38 . Un punto materiale di massa é inizialmente in quiete in cima ad un piano inclinato di un angolo (compreso tra 0 e ), avente altezza . Il punto esplode in due frammenti di massa e rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento si muove in discesa lungo il piano inclinato con velocità di modulo . Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e é , e che si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal frammento in funzione di , e .

Esercizio 39 . Un insetto di massa si trova inizialmente fermo all’estremità di un’asta lunga e di massa , posta su un piano orizzontale liscio. L’insetto inizia a muoversi verso l’altro estremo dell’asta con velocità, rispetto al piano, . La velocità è costante in modulo, direzione e verso, la direzione è parallela al piano orizzontale e il verso è indicato in figura 39. Determinare il tempo impiegato dall’insetto per raggiungere l’altra estremità dell’asta.

Esercizio 40 . Si consideri un sistema costituito da due punti materiali di massa e , collegati da una molla di costante elastica e lunghezza a riposo trascurabile. Il sistema è vincolato a muoversi su un piano orizzontale liscio. Al tempo le due masse sono poste in quiete a distanza tra di loro e successivamente vengono lasciate libere di muoversi.
Si dimostri che per qualsiasi l’energia potenziale elastica del sistema vale

dove e sono rispettivamente le posizioni di e al tempo in un opportuno sistema di riferimento.

Figura 40: schema del problema sistemi di punti materiali 40

Svolgimento esercizio 40.

Esercizi di Meccanica classica

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