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Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un carrello di massa M può muoversi senza attrito su di un piano orizzontale. Una persona di massa m si trova sul carrello; inizialmente il sistema è in quiete. La persona si mette a camminare sul carrello, con un’accelerazione \vec{a}_r rispetto al carrello. L’accelerazione \vec{a}_r ha direzione, verso e modulo costante, ed è parallela al piano orizzontale, come nella figura di seguito. Si determinino le accelerazioni del carrello e della persona rispetto ad un sistema di riferimento solidale al suolo.

 

 

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Svolgimento.  Scegliamo due sistemi di riferimento; un sistema di riferimento Oxy, solidale con il suolo ed inerziale, e un sistema di riferimento O'x'y', solidale con il carrello di massa M, quindi non inerziale, e scelti tali per cui y \;\vert\vert\; y' e x\equiv x', come si può vedere dalla figura 1. Si noti che il sistema di riferimento O'x'y' risulta non inerziale perché la massa M, con cui il sistema è solidale, è soggetta alla forza di attrito statico \vec f_s, diretta nel verso positivo delle x; pertanto, dalla seconda legge della dinamica si deduce immediatamente che il blocco di massa M si muoverà con un’accelerazione pari ad \vec A, e quindi il sistema di riferimento O'x'y' è non inerziale.

Nel sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione assoluta \vec a della persona è pari a

(1)   \begin{equation*} \vec a = \vec A + \vec a_r, \end{equation*}

dove \vec A è l’accelerazione del carrello rispetto al sistema inerziale e \vec a_r è l’accelerazione relativa della persona nel sistema di riferimento solidale con il carrello, e che, data la scelta dei sistemi di riferimento, è diretta nel verso negativo dell’asse delle x'.

 

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Scegliamo come sistema fisico il sistema composto dalle due masse m ed M. Osserviamo che, nella direzione dell’asse delle y, le forze esterne al sistema sono la reazione vincolare \vec{R} generata dal contatto tra carrello e piano orizzontale, le forze peso m\vec{g} ed M\vec{g}. Tra carrello e piano non è presente attrito, quindi non serve determinare la reazione vincolare \vec{R}; di conseguenza possiamo trascurare m\vec{g}, M\vec{g} e \vec{R}, nei calcoli successivi.
Nella direzione dell’asse delle x sono presenti le forze di azione e reazione di attrito statico tra la persona ed il carrello. Sulla persona è agente la forza di attrito statico \vec{f}_s, mentre per il terzo principio della dinamica, su M è agente -\vec{f}_s. Le forze \vec{f}_s e -\vec{f}_s sono forze interne, di conseguenza, non essendo presenti forze esterne nella direzione orizzontale, la quantità di moto totale lungo l’asse delle x si conserva. La quantità di moto iniziale è

(2)   \begin{equation*} \vec p_{x,i}=\vec{0}=0\,\hat{x}, \end{equation*}

dato che è tutto in quiete.
La quantità di moto nel generico istante t>0 è

(3)   \begin{equation*} \vec{p}_{x,f}=mv\,\hat{x}+MV\,\hat{x}, \end{equation*}

dove v, V e \hat{x}, sono rispettivamente la componente della velocità di m nella direzione dell’asse delle x, la componente della velocità di M nella direzione dell’asse delle x, e il versore dell’asse delle x. Dalla conservazione della quantità di moto, si ha

(4)   \begin{equation*} mv+MV=0. \end{equation*}

Deriviamo rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, per ottenere le corrispettive accelerazioni nel sistema di riferimento inerziale, ottenendo

(5)   \begin{equation*} m\;a+MA=0 \quad\Leftrightarrow\quad A=-\dfrac{m}{M} a, \end{equation*}

dove a e A sono rispettivamente le componenti di m nella direzione dell’asse delle x e di M nella direzione dell’asse delle x. Si osservi che, nel precedente calcolo, abbiamo usato i seguenti fatti

(6)   \begin{equation*} \dfrac{dv}{dt}=a \end{equation*}

e

(7)   \begin{equation*} \dfrac{dV}{dt}=A. \end{equation*}

Dall’equazione (5) si deduce che le componenti A ed a hanno segno opposto, da cui, deduciamo che le accelerazioni \vec{a} ed \vec{A} hanno stessa direzione, ma verso opposto.
Sia \hat{x}^{\,\prime} il versore dell’asse delle x^\prime. Siccome gli assi x e x^\prime sono coincidenti, si ha \hat{x}\equiv \hat{x}^{\,\prime}.
Notiamo che

(8)   \begin{equation*} \vec{a}_r=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}^{\prime}=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}, \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} \vec{A}=A\,\hat{x}, \end{equation*}

e

(10)   \begin{equation*} \vec{a}=a\,\hat{x}; \end{equation*}

l’equazione (1) può essere riscritta come

(11)   \begin{equation*} \vec{a}=a\,\hat{x}=A\,\hat{x}-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}, \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} \begin{cases} a=A-\left \vert \vec{a}_r\right \vert\\[10pt] A=-\dfrac{m}{M}a. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema, si ottiene

(13)   \begin{equation*} a+\dfrac{m}{M}a=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert, \end{equation*}

ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{a=-\dfrac{M\left \vert \vec{a}_r\right \vert}{m+M}.}\]

Sostituendo a (calcolata nella precedente equazione nella (12)_2), si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ A=\dfrac{m\left \vert\vec{a}_r\right \vert }{m+M}.}\]

Abbiamo così ricavato le accelerazioni del carrello e della persona nel sistema di riferimento inerziale solidale con il suolo.

Si osservi che, le due accelerazioni risultano coerentemente di verso opposto, in quanto \left \vert\vec{a}_r\right \vert>0 (perché è il modulo dell’accelerazione \vec{a}_r) e in quanto le costanti legate alle due masse sono anch’esse positive per definizione. In particolare, l’accelerazione \vec{a} della persona è diretta nel verso positivo e l’accelerazione \vec{A} del carrello è diretta nel verso negativo dell’asse delle x.