Sistemi di punti materiali 11

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un carrello di massa $M$ può muoversi senza attrito su di un piano orizzontale. Una persona di massa $m$ si trova sul carrello; inizialmente il sistema è in quiete. La persona si mette a camminare sul carrello, con un’accelerazione $\vec{a}_r$ rispetto al carrello. L’accelerazione $\vec{a}_r$ ha direzione, verso e modulo costante, ed è parallela al piano orizzontale, come nella figura di seguito. Si determinino le accelerazioni del carrello e della persona rispetto ad un sistema di riferimento solidale al suolo.

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Svolgimento. Scegliamo due sistemi di riferimento; un sistema di riferimento $Oxy$ , solidale con il suolo ed inerziale, e un sistema di riferimento $O'x'y'$ , solidale con il carrello di massa $M$ , quindi non inerziale, e scelti tali per cui $y \;\vert\vert\; y'$ e $x\equiv x'$ , come si può vedere dalla figura 1. Si noti che il sistema di riferimento $O'x'y'$ risulta non inerziale perché la massa $M$ , con cui il sistema è solidale, è soggetta alla forza di attrito statico $\vec f_s$ , diretta nel verso positivo delle $x$ ; pertanto, dalla seconda legge della dinamica si deduce immediatamente che il blocco di massa $M$ si muoverà con un’accelerazione pari ad $\vec A$ , e quindi il sistema di riferimento $O'x'y'$ è non inerziale.

Nel sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione assoluta $\vec a$ della persona è pari a

(1) $\begin{equation*} \vec a = \vec A + \vec a_r, \end{equation*}$

dove $\vec A$ è l’accelerazione del carrello rispetto al sistema inerziale e $\vec a_r$ è l’accelerazione relativa della persona nel sistema di riferimento solidale con il carrello, e che, data la scelta dei sistemi di riferimento, è diretta nel verso negativo dell’asse delle $x'$ .

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Scegliamo come sistema fisico il sistema composto dalle due masse $m$ ed $M$ . Osserviamo che, nella direzione dell’asse delle $y$ , le forze esterne al sistema sono la reazione vincolare $\vec{R}$ generata dal contatto tra carrello e piano orizzontale, le forze peso $m\vec{g}$ ed $M\vec{g}$ . Tra carrello e piano non è presente attrito, quindi non serve determinare la reazione vincolare $\vec{R}$ ; di conseguenza possiamo trascurare $m\vec{g}$ , $M\vec{g}$ e $\vec{R}$ , nei calcoli successivi.
Nella direzione dell’asse delle $x$ sono presenti le forze di azione e reazione di attrito statico tra la persona ed il carrello. Sulla persona è agente la forza di attrito statico $\vec{f}_s$ , mentre per il terzo principio della dinamica, su $M$ è agente $-\vec{f}_s$ . Le forze $\vec{f}_s$ e $-\vec{f}_s$ sono forze interne, di conseguenza, non essendo presenti forze esterne nella direzione orizzontale, la quantità di moto totale lungo l’asse delle $x$ si conserva. La quantità di moto iniziale è

(2) $\begin{equation*} \vec p_{x,i}=\vec{0}=0\,\hat{x}, \end{equation*}$

dato che è tutto in quiete.
La quantità di moto nel generico istante $t>0$ è

(3) $\begin{equation*} \vec{p}_{x,f}=mv\,\hat{x}+MV\,\hat{x}, \end{equation*}$

dove $v$ , $V$ e $\hat{x}$ , sono rispettivamente la componente della velocità di $m$ nella direzione dell’asse delle $x$ , la componente della velocità di $M$ nella direzione dell’asse delle $x$ , e il versore dell’asse delle $x$ . Dalla conservazione della quantità di moto, si ha

(4) $\begin{equation*} mv+MV=0. \end{equation*}$

Deriviamo rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, per ottenere le corrispettive accelerazioni nel sistema di riferimento inerziale, ottenendo

(5) $\begin{equation*} m\;a+MA=0 \quad\Leftrightarrow\quad A=-\dfrac{m}{M} a, \end{equation*}$

dove $a$ e $A$ sono rispettivamente le componenti di $m$ nella direzione dell’asse delle $x$ e di $M$ nella direzione dell’asse delle $x$ . Si osservi che, nel precedente calcolo, abbiamo usato i seguenti fatti

(6) $\begin{equation*} \dfrac{dv}{dt}=a \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} \dfrac{dV}{dt}=A. \end{equation*}$

Dall’equazione (5) si deduce che le componenti $A$ ed $a$ hanno segno opposto, da cui, deduciamo che le accelerazioni $\vec{a}$ ed $\vec{A}$ hanno stessa direzione, ma verso opposto.
Sia $\hat{x}^{\,\prime}$ il versore dell’asse delle $x^\prime$ . Siccome gli assi $x$ e $x^\prime$ sono coincidenti, si ha $\hat{x}\equiv \hat{x}^{\,\prime}$ .
Notiamo che

(8) $\begin{equation*} \vec{a}_r=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}^{\prime}=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}, \end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} \vec{A}=A\,\hat{x}, \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \vec{a}=a\,\hat{x}; \end{equation*}$

l’equazione (1) può essere riscritta come

(11) $\begin{equation*} \vec{a}=a\,\hat{x}=A\,\hat{x}-\left \vert \vec{a}_r\right \vert \,\hat{x}, \end{equation*}$

da cui

(12) $\begin{equation*} \begin{cases} a=A-\left \vert \vec{a}_r\right \vert\\[10pt] A=-\dfrac{m}{M}a. \end{cases} \end{equation*}$

Dal precedente sistema, si ottiene

(13) $\begin{equation*} a+\dfrac{m}{M}a=-\left \vert \vec{a}_r\right \vert, \end{equation*}$

ovvero

$\boxcolorato{fisica}{a=-\dfrac{M\left \vert \vec{a}_r\right \vert}{m+M}.}$

Sostituendo $a$ (calcolata nella precedente equazione nella (12) $_2$ ), si trova

$\boxcolorato{fisica}{ A=\dfrac{m\left \vert\vec{a}_r\right \vert }{m+M}.}$

Abbiamo così ricavato le accelerazioni del carrello e della persona nel sistema di riferimento inerziale solidale con il suolo.

Si osservi che, le due accelerazioni risultano coerentemente di verso opposto, in quanto $\left \vert\vec{a}_r\right \vert>0$ (perché è il modulo dell’accelerazione $\vec{a}_r$ ) e in quanto le costanti legate alle due masse sono anch’esse positive per definizione. In particolare, l’accelerazione $\vec{a}$ della persona è diretta nel verso positivo e l’accelerazione $\vec{A}$ del carrello è diretta nel verso negativo dell’asse delle $x$ .