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Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano tre blocchi di massa m_A, m_B e m_C, tale per cui m_A giacca su m_B, ed m_A sia collegato ad m_B tramite un filo inestensibile, e di massa trascurabile, tramite una carrucola. Tutti gli attriti sono trascurabili e si consideri la massa della carrucola trascurabile. Grazie ad un’opportuna forza esterna \vec{F} di direzione, verso e modulo costante, il sistema composto dai tre blocchi entra in movimento. Si determini il valore di \vec{F} affinché la massa m_A rimanga in quiete rispetto a m_B. Il sistema fisico in esame è rappresentato nella figura che segue.

 

 

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Premessa.

Di seguito presentiamo due metodi differenti. I due metodi vogliono mostrare al lettore quanto sia importante la scelta del sistema fisico in esame; la scelta del sistema fisico influenza in modo significativo quanto un procedimento possa essere complesso o meno. Il primo metodo e meno laborioso del secondo.


Svolgimento metodo 1.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy, come in figura 1. Consideriamo il sistema fisico dalla solo massa m_A. La forza esterna agente su m_A è la tensione \vec{T}_2 generata dal filo che lo collega alla carrucola, orientata nel verso positivo dell’asse delle x. Consideriamo il sistema composto dalla sola massa m_C. La forze esterne agenti sulla massa m_C nella direzione positiva dell’asse delle y sono la tensione \vec{T}_1 generata dal filo che lo collega alla carrucola, e la sua forza peso m_Cg, nella direzione negativa dell’asse delle y.

 

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Notiamo che, per ipotesi imposta dal testo, tra i vari blocchi non deve esserci movimento relativo, pertanto i tre blocchi si spostano all’unisono con la stessa accelerazione \vec{a} rispetto al sistema inerziale, nella direzione positiva dell’asse delle x. Per il blocco di massa m_A nella direzione positiva dell’asse delle x vale

(1)   \begin{equation*} T_2=m_Aa. \end{equation*}

Il blocco m_C nella direzione dell’asse delle y è vincolato a rimanere in quiete, poiché non deve esserci movimento relativo tra i vari blocchi, quindi, per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle y, si ha

(2)   \begin{equation*} T_1=m_cg. \end{equation*}

Notiamo che, tra carrucola e filo non è presente attrito, pertanto vale T_1=T_2=T; da cui, mettendo a sistema le equazioni (1) e (2), e sfruttando il fatto che le tensioni sono uguali in modulo, si trova

(3)   \begin{equation*} a = \dfrac{m_C}{m_A}g. \end{equation*}

Come detto in precedenza, tra i vari blocchi non c’è movimento relativo, pertanto il sistema può essere pensato come un unico blocco di massa M=m_A+m_B+m_C che si muove nel verso positivo dell’asse delle x con accelerazione \vec{a}, per via della forza esterna \vec{F}. Sul blocco di massa M l’unica forza esterna agente nella direzione dell’asse delle x è la forza \vec{F}. Dunque, per la seconda legge della dinamica per il blocco di massa M, si ha

(4)   \begin{equation*} F = (m_A+m_B+m_C) a. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (3) e (4), si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ F = \left(m_A + m_B + m_C \right) \; \dfrac{m_C}{m_A}g.}\]

Si osservi che il sistema considerato è quello composto dalle tre masse e dalla carrucola. La carrucola non contribuisce alla somma delle masse totale del sistema perché ha massa trascurabile.

 


Svolgimento metodo 2.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy, come fatto in precedenza, e notiamo nuovamente che siccome non c’è movimento relativo tra i vari blocchi, ognuno di essi si muove nella direzione positiva dell’asse delle x, con accelerazione \vec{a}. Le considerazioni fatte sui blocchi A e B, rimangono le stesse. Pertanto, sfrutteremo il risultato pervenuto nell’equazione (3). Sul blocco C, per via del contatto con il blocco m_B, nella direzione orizzontale sarà sottoposto ad una reazione vincolare \vec{N}, la quale è una forza esterna. Per la seconda legge della dinamica, nella direzione orizzontale, per il blocco m_C abbiamo

(5)   \begin{equation*} N=m_Ca. \end{equation*}

Consideriamo il sistema composto dalla carrucola e blocco m_B. Due forze esterne agenti sul precedente sistema nella direzione dell’asse delle x sono \vec{F} e -\vec{T}_2, orientate rispettivamente nella direzione positiva e negativa dell’asse delle x. Si osservi che, sulla carrucola abbiamo assunto che la forza esplicata sia -\vec{T}_2 per l’ipotesi che il filo abbia massa trascurabile. Per il terzo principio della dinamica, per via del contatto con il blocco m_C, sulla massa m_B si ha la forza esterna -\vec{N}, orientata nella direzione negativa dell’asse delle x. Applicando la seconda della dinamica al sistema composto dalla massa m_B e carrucola, si ha

(6)   \begin{equation*} F-T_2-N_C=m_Ba. \end{equation*}

Tutte le forze sono rappresentate nella figura 2.

 

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Ricordando che T_1=T_2=T e sfruttando le equazioni (1) ed (5), l’equazione (6) diventa

(7)   \begin{equation*} F-m_Ca-m_Aa=m_Ba, \end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*} F=(m_A+m_B+m_C)a. \end{equation*}

Conseguentemente, sfruttando l’equazione l’equazione (3), la precedente equazione diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ F = \left(m_A + m_B + m_C \right) \; \dfrac{m_C}{m_A}g,}\]

come ottenuto in precedenza. Si osservi che, se avessimo considerato il sistema composto dalle tre masse, e carrucola, le forze \vec{T}_1, -\vec{T}_1, \vec{T}_2, -\vec{T}_2, -\vec{N} e \vec{N}, sono forze interne. Infatti, l’unica forza esterna nella direzione orizzontale è la forza \vec{F}.