Home » Sistemi di punti materiali 12

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due punti materiali di massa m_1 e m_2=m_1/2 sono collegati da una barretta rigida di massa trascurabile e lunghezza \ell su di un piano orizzontale. Il sistema inizialmente non è in quiete, infatti m_1 e m_2 hanno velocità \vec{v}_1 e \vec{v}_2 rispettivamente. Entrambe le velocità \vec{v}_1 e \vec{v}_2 vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Inoltre, siano v_1 e v_2 i moduli rispettivamente delle velocità \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Le velocità \vec{v}_1 e \vec{v}_2 sono orientate come in figura 1. Sul sistema non agiscono forze esterne e all’istante t=0 la situazione è quella mostrata in figura 1, con v_1(0)=2v_2(0), dove v_1(0) è il modulo della velocità iniziale di m_1, ed v_2(0) è il modulo della velocità iniziale di m_2 all’istante iniziale. Si determinino le posizioni dei due punti materiali, rispetto ad un sistema di riferimento fisso, all’istante \tau tale che valga la seguente condizione 3v_1\tau/(2\ell)=\pi.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Richiami teorici.  Di seguito, una serie di richiami teorici che serviranno nel corso dello svolgimento di questo esercizio.

  1. Siano \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} tre vettori qualunque, allora vale quanto segue

    (1)   \begin{equation*} \vec{a} \wedge (\,\vec{b} \wedge\vec{c}\,) = \vec{b}\, (\,\vec{a} \cdot \vec{c}\,) -\vec{c} \,(\,\vec{a} \cdot \vec{b}\,). \end{equation*}

  2. Consideriamo un sistema fisico composto da n punti materiali e non soggetto a forze esterne. Sotto tali condizioni il centro di massa del sistema rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale Oxy. Scegliamo un sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime solidale con il centro di massa, ovvero un sistema di riferimento con gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento Oxy, cioè x\parallel x^\prime, y\parallel y^\prime e z\parallel z^\prime, tale per cui l’origine di questo sistema di riferimento sia coincidente con il centro di massa, in queste condizioni il sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime è inerziale. Inoltre, siano \vec{r}^{\,\prime}_1, \vec{r}^{\,\prime}_2…,\vec{r}^{\,\prime}_n i vettori posizione di ogni punto materiale degli n nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo quanto detto, nel caso particolare in cui nell’istante iniziale il centro di massa O^\prime si trovi sull’asse delle x e x\equiv x^\prime. Il punto P, in figura 1, rappresenta un punto qualunque degli n, dove \vec{r} e \vec{r}^{\,\prime} sono le distanze di P rispettivamente da O e O^\prime, come si può dedurre dalla figura 2.

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Allora vale

    (2)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k^{\,\prime}=\vec{0}. \end{equation*}

    Si osservi che il precedente risultato ha validità del tutto generale, cioè è valido anche se il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è non inerziale; in altri termini, se il sistema fisico di n punti materiale è soggetto a forze esterne, l’equazione (2) continua ad essere valida.

  3. Nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, per il generico k-esimo punto materiale, vale

    (3)   \begin{equation*} \vec{v}_k=\vec{v}^{\,\prime}_k+\vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}

    dove \vec{v}_k, \vec{v}^{\,\prime}_k e \vec{v}_{\text{CM}}, sono rispettivamente la velocità del k-esimo punto materiale nel sistema di riferimento fisso Oxy, la velocità del k-esimo punto materiale nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime solidale con il centro di massa, e la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento fisso Oxy.

  4. onsideriamo un sistema di n punti materiali e un sistema di riferimento fisso Oxy. Immaginiamo che il sistema fisico venga perturbato da N forze esterne. Inoltre, siano \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} la somma di tutti i momenti esterni rispetto ad un polo generico del piano xy, \vec{v} la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema fisico in esame, \vec{v}_{\text{CM}} la velocità del centro di massa degli n punti materiali rispetto al sistema di riferimento fisso Oxy, ed infine \vec{L}_O il momento angolare totale del sistema rispetto al polo scelto. Allora vale

    (4)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}. \end{equation*}

    Il precedente teorema è detto teorema del momento angolare. Grazie ad esso, se scegliamo una situazione tale per cui la somma dei momenti esterni rispetto al polo scelto è zero e \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}, si conserva il momento angolare totale del sistema degli n punti materiali.

 

Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, tale per cui l’origine O coincida con la posizione iniziale della massa m_1, e gli assi x ed y siano orientati come in figura 3.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Scegliamo come sistema fisico m_1 ed m_2. Siano x_{\text{CM},0} e y_{\text{CM},0} rispettivamente la posizione del centro di massa lungo l’asse delle x all’istante iniziale e la posizione del centro di massa lungo l’asse delle y all’istante iniziale. Le posizioni iniziali lungo l’asse delle x di m_1 ed m_2 sono rispettivamente x_1(0)=0 e x_2(0)=\ell, per cui

(5)   \begin{equation*} x_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1x_1(0)+m_2x_2(0)}{m_1+m_2}=\dfrac{\dfrac{m_1}{2}\ell}{m_1+\dfrac{m_1}{2}}=\dfrac{\ell}{3}, \end{equation*}

dove abbiamo usato il fatto che m_2=m_1/2.
Analogamente, le posizioni iniziali lungo l’asse delle y di m_1 ed m_2 sono rispettivamente y_1(0)=0 e y_2(0)=0, da cui

(6)   \begin{equation*} y_{\text{CM},0}=\dfrac{m_1y_1(0)+m_2y_2(0)}{m_1+m_2}=0. \end{equation*}

 

Rendered by QuickLaTeX.com

La velocità del centro di massa \overrightarrow{V}_\text{CM}, rispetto al sistema di riferimento Oxy, è data per definizione da

(7)   \begin{equation*} \overrightarrow{V}_\text{CM}=\dfrac{m_1\vec{v}_1(t)+m_2\vec{v}_2(t)}{m_1+m_2}, \end{equation*}

dove \vec{v}_1(t) e \vec{v}_2(t) sono rispettivamente le velocità dei punti m_1 e m_2 in un generico istante t>0, rispetto al sistema di riferimento Oxy.
Nel piano xy (cioè il piano orizzontale) sul sistema non agiscono forze esterne, pertanto la quantità di moto del sistema è conservata, o in altri termini il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme (si ricordi il punto 2 dei richiami teorici). Per ogni t>0 vale

(8)   \begin{equation*} m_1\vec{v}_1(t)+m_2\vec{v}_2(t)=\text{costante}=(m_1+m_2)\vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}

dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato l’equazione (7). Le velocità di m_1, m_2 e del centro di massa in coordinate cartesiane, sono rispettivamente

(9)   \begin{equation*} \vec{v}_1(t)=v_{1,x}\,\hat{x}+v_{1,y}\,\hat{y}, \end{equation*}

(10)   \begin{equation*} \vec{v}_2(t)=v_{2,x}\,\hat{x}+v_{2,y}\,\hat{y}, \end{equation*}

e

(11)   \begin{equation*} \vec{v}_{\text{CM}}=v_{\text{CM},x}\,\hat{x}+v_{\text{CM},y}\,\hat{y}, \end{equation*}

dove v_{1,x}, v_{1,y}, v_{2,x}, v_{2,y}, v_{\text{CM},x}, v_{\text{CM},y}, \hat{x} e \hat{y}, sono rispettivamente la componente x della velocità \vec{v}_1(t), la componente y della velocità \vec{v}_1(t), la componente x della velocità \vec{v}_2(t), la componente y della velocità \vec{v}_2(t), la componente x della velocità \vec{v}_{\text{CM}}, la componente y della velocità \vec{v}_{\text{CM}}, il versore dell’asse delle x, e il versore dell’asse delle y.
Nell’istante t=0, sfruttando le ipotesi date dal problema, le equazioni (9) e (10) diventano

(12)   \begin{equation*} \vec{v}_1(0)=v_{1,y}(0)\,\hat{y}, \end{equation*}

e

(13)   \begin{equation*} \vec{v}_2(0)=-v_{2,y}(0)\,\hat{y}. \end{equation*}

Inoltre, ricordando che all’istante iniziale v_1(0)=2v_2(0), ovvero con le notazioni scelte equivale a dire che v_{1,y}(0)=2v_{2,y}(0), le due precedenti equazioni diventano

(14)   \begin{equation*} \vec{v}_1(0)=2v_{2 }(0)\,\hat{y}, \end{equation*}

e

(15)   \begin{equation*} \vec{v}_2(0)=-v_{2}(0)\,\hat{y}. \end{equation*}

Nell’istante t=0, scomponendo lungo gli assi x e y le quantità vettoriali nell’equazione (8), si ha

(16)   \begin{equation*} \begin{cases} x: m_1v_{1,x}(0)+m_2v_{2,x}(0)=(m_1+m_2)v_{\text{CM},x}(0)\\[10pt] y: m_1v_{1,y}(0)-m_2v_{2,y}(0)=(m_1+m_2)v_{\text{CM},y}(0), \end{cases} \end{equation*}

ovvero

(17)   \begin{equation*} \begin{cases} 0=(m_1+m_2)v_{\text{CM},x}(0)\\[10pt] m_1(2v_2(0))-\dfrac{m_1}{2}v_2(0) =\left(m_1+\dfrac{m_1}{2}\right)v_{\text{CM},y}(0), \end{cases} \end{equation*}

o anche

(18)   \begin{equation*} \begin{cases} v_{\text{CM},x}(0)=0\\[10pt] 4v_2(0)-v_2(0) =3v_{\text{CM},y}(0), \end{cases} \end{equation*}

cioè

(19)   \begin{equation*} \begin{cases} v_{\text{CM},x}(0)=0\\[10pt] v_{\text{CM},y}(0)=v_2(0), \end{cases} \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato i risultati delle equazioni (14) e (15), oltre che m_2=m_1/2.

Dunque, come detto in precedenza, sul sistema non agiscono forze esterne, pertanto il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme con velocità costante, in modulo direzione e verso, pari ad

(20)   \begin{equation*} \vec{v}_{\text{CM}}=v_2(0)\,\hat{y}. \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema (19) deduciamo che lungo l’asse delle x il centro di massa rimane in quiete nella posizione x_{\text{CM},0}, e lungo una retta parallela all’asse delle y il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme con velocità di modulo v_2.
Per ogni t\geq 0, per il centro di massa, le leggi orarie lungo l’asse delle x e delle y sono rispettivamente

(21)   \begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM}}(t)= x_{\text{CM},0}\\ y_{\text{CM}}(t)= y_{\text{CM},0}+v_2t. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo x_{\text{CM},0} e y_{\text{CM},0}, calcolati rispettivamente nelle equazioni (5) e (6), nel sistema (21), si trova

(22)   \begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM}}(t)=\dfrac{\ell}{3} \\[10pt] y_{\text{CM}}(t)=v_2t. \end{cases} \end{equation*}

Osserviamo, inoltre, che l’assenza di forze esterne implica che anche la somma dei momenti esterni al sistema è nulla e pertanto si conserva il momento angolare totale del sistema rispetto ad un qualsiasi polo avente velocità \vec{v}, rispetto al sistema di riferimento Oxy, tale per cui \vec{v}\wedge \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{0} (si ricordi il punto 4 dei richiami teorici). Se scegliamo come polo il centro di massa è ovvio che \vec{v}\wedge \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{v}_{\text{CM}}\wedge \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{0}. Da quanto detto, deduciamo che, se scegliamo come polo il centro di massa si conserva il momento angolare totale del sistema. Siano

(23)   \begin{equation*} \vec{x}_{\text{CM}}=\dfrac{\ell}{3}\,\hat{x}, \end{equation*}

(24)   \begin{equation*} \vec{r}_1={0}\,\hat{x} \end{equation*}

e

(25)   \begin{equation*} \vec{r}_2={\ell}\,\hat{x}. \end{equation*}

Il momento angolare totale iniziale del sistema rispetto al centro di massa è

(26)   \begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-m_1\left(\vec{r}_{\text{CM}}-\vec{r}_1\right)\vec{v}_1+m_2\left(\vec{r}_2-\vec{r}_{\text{CM}}\right)\wedge \vec{v}_2, \end{equation*}

ovvero, sfruttando le equazioni (14), (15), (23), (24) e (25), si ottiene

(27)   \begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-m_1\dfrac{\ell}{3}(2v_2)\left(\hat{x}\wedge \hat{y}\right)+m_2\left(\ell-\dfrac{\ell}{3}\right)v_2\left(\hat{x}\wedge\left(-\hat{y}\right) \right), \end{equation*}

o anche

(28)   \begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-\dfrac{2}{3} m_1\ell v_2\,\hat{z}-\dfrac{2}{3}m_2\ell v_2\,\hat{z}, \end{equation*}

dove \hat{z} è il versore dell’asse delle z.
Ricordando che m_2=m_1/2, la precedente equazione diventa

(29)   \begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-\dfrac{2}{3} m_1\ell v_2\,\hat{z}-\dfrac{2}{3}\,\dfrac{m_1}{2}\ell v_2\,\hat{z}, \end{equation*}

cioè

(30)   \begin{equation*} \vec{L}_{\text{i}}=-m_1\ell v_2\,\hat{z}. \end{equation*}

In figura 5 è rappresentata la situazione descritta.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Scegliamo un sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime solidale con il centro di massa, tale per cui y\parallel y^\prime e x\parallel x^\prime, e il centro di massa coincida con l’origine O^\prime. Chiaramente, siccome il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è inerziale (si ricordi il punto 2 dei richiami teorici). Rappresentiamo il sistema in un generico istante t>0, dove \theta è l’angolo che l’asta forma rispetto all’asse positivo delle x^\prime.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Siano \vec{r}^{\,\prime}_1 e \vec{r}^{\,\prime}_2 i vettori posizione rispettivamente di m_1 ed m_2 nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, come rappresentato nella figura 6.
Osserviamo che m_1 ed m_2 si trovano rispettivamente sempre alla stessa distanza \left \vert\vec{r}^{\,\prime}_1\right \vert =\ell/3 e \left \vert\vec{r}^{\,\prime}_2\right \vert=2\ell/3 dal centro di massa O^\prime, perché collegati agli estremi di un’asta rigida; questo ci fa intuire che, nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, i due punti materiali m_1 ed m_2 percorrono un moto circolare, dato che l’asta ruota. Sia \vec{\omega} la velocità angolare dell’asta in un generico istante t>0. Il momento angolare totale \vec{L}_t, in un generico istante t>0, rispetto al centro di massa è

(31)   \begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2. \end{equation*}

Siano \vec{v}_1^{\,\prime} e \vec{v}_2^{\,\prime} le velocità relative di m_1 e m_2 nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Nel sistema di riferimento del centro di massa, per m_1 e m_2, valgono rispettivamente le seguenti relazioni (si ricordi il punto 3 dei richiami teorici)

(32)   \begin{equation*} \vec{v}_1=\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_1^{\,\prime} \end{equation*}

e

(33)   \begin{equation*} \vec{v}_2=\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_2^{\,\prime}. \end{equation*}

Usando le equazioni (32) e (33) l’equazione (31) diventa

(34)   \begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \left(\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_1^{\,\prime}\right)+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \left(\overrightarrow{V}_\text{CM}+\vec{v}_2^{\,\prime}\right), \end{equation*}

o anche

(35)   \begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \overrightarrow{V}_\text{CM}+m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \overrightarrow{V}_\text{CM}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2^{\,\prime}, \end{equation*}

ovvero

(36)   \begin{equation*} \vec{L}_t=\left(m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\right)\wedge \overrightarrow{V}_\text{CM}+m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2^{\,\prime}. \end{equation*}

Nel sistema di riferimento del centro di massa, come noto in letteratura, vale (si ricordi il punto 2 dei richiami teorici)

(37)   \begin{equation*} m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}=\vec{0}, \end{equation*}

da cui, la precedente equazione diventa

(38)   \begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \vec{v}_1^{\,\prime}+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \vec{v}_2^{\,\prime}. \end{equation*}

Come detto in precedenza, m_1 ed m_2 si muovono di moto circolare nel sistema di riferimento del centro di massa, quindi

(39)   \begin{equation*} \vec{v}_1^{\,\prime}=\vec{\omega}\wedge \vec{r}_1^{\,\prime} \end{equation*}

e

(40)   \begin{equation*} \vec{v}_2^{\,\prime}=\vec{\omega}\wedge \vec{r}_2^{\,\prime}. \end{equation*}

Usando le equazioni (39) e (40) l’equazione (38) diventa

(41)   \begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\,\vec{r}_1^{\,\prime}\wedge \left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}_1^{\,\prime}\right)+m_2\,\vec{r}_2^{\,\prime}\wedge \left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}_2^{\,\prime}\right). \end{equation*}

Applicando la formula (1) alla precedente equazione, si ha

(42)   \begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\vec{\omega}\left(\vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{r}_1^{\,\prime}\right)-m_1\vec{r}_1^{\,\prime}\left(\vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}\right)+m_2\vec{\omega}\left(\vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{r}_2^{\,\prime}\right)-m_2\vec{r}_2^{\,\prime}\left(\vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}\right). \end{equation*}

Notando che \vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{r}_1^{\,\prime}=\left \vert \vec{r}_1^{\,\prime}\right \vert^2, \vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{r}_2^{\,\prime}=\left \vert \vec{r}_2^{\,\prime}\right \vert^2, \vec{r}_1^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}=0 perché \vec{r}_1 e \vec{\omega} sono perpendicolari, e \vec{r}_2^{\,\prime}\cdot \vec{\omega}=0 perché \vec{r}_2 e \vec{\omega} sono perpendicolari.
Sfruttando quanto detto, la precedente equazione diventa

(43)   \begin{equation*} \vec{L}_t=m_1\left \vert \vec{r}_1^{\,\prime}\right \vert^2\vec{\omega}+m_2\left \vert \vec{r}_2^{\,\prime}\right \vert^2\vec{\omega}. \end{equation*}

Sostituendo \left \vert\vec{r}^{\,\prime}_1\right \vert =\ell/3 e \left \vert\vec{r}^{\,\prime}_2\right \vert =2\ell/3 nella precedente equazione, otteniamo

(44)   \begin{equation*} \vec{L}_t= \dfrac{m_1\ell^2}{9}\vec{\omega} +\dfrac{4m_2\ell^2}{9}\vec{\omega}. \end{equation*}

Infine, ricordando che m_2=m_1/2, la precedente equazione diventa

(45)   \begin{equation*} \vec{L}_t= \dfrac{m_1\ell^2}{9}\vec{\omega}+\dfrac{4m_1\ell^2}{18} \vec{\omega}, \end{equation*}

in altri termini

(46)   \begin{equation*} \vec{L}_t= \dfrac{m_1\ell^2}{9} \vec{\omega}+\dfrac{2m_1\ell^2}{9}\vec{\omega}=\dfrac{1}{3}m_1\ell^2\vec{\omega}, \end{equation*}

conseguentemente per la conservazione del momento angolare, usando le equazioni (30) e (46), segue che

(47)   \begin{equation*} \vec{L}_i=\vec{L}_t\quad \Leftrightarrow \quad -m_1\ell v_2\,\hat{z}=\dfrac{1}{3}m_1\ell^2\vec{\omega}, \end{equation*}

da cui

(48)   \begin{equation*} \vec{\omega}=-\dfrac{3v_2}{\ell}\,\hat{z}, \end{equation*}

oppure, ricordando che v_2=v_1/2, si trova

(49)   \begin{equation*} \vec{\omega}=-\dfrac{3v_1}{2\ell}\,\hat{z}. \end{equation*}

Sfruttando l’equazione (49) è possibile determinare il modulo di \omega, cioè

(50)   \begin{equation*} \left \vert \vec{\omega}\right \vert = \omega=\dfrac{3v_1}{2\ell}. \end{equation*}

Un osservatore solidale con il centro di massa vede i due punti materiali muoversi di moto circolare uniforme con velocità angolare \vec{\omega} costante in modulo, direzione e verso. Quindi entrambi i punti materiali nel sistema del centro di massa sono descritti dalla seguente legge oraria

(51)   \begin{equation*} \theta(t)=\omega t=\dfrac{3v_1}{2\ell}t, \end{equation*}

avendo assunto che l’angolo iniziale dell’asta sia nullo rispetto all’asse delle x^\prime.
Nell’istante \tau, tale che 3v_1\tau/(2\ell)=\pi, l’angolo formato dall’asta con l’asse delle x^\prime è pari ad

(52)   \begin{equation*} \theta(\tau)=\dfrac{3v_1}{2\ell}\tau=\pi, \end{equation*}

ossia essa risulta ruotata di un angolo piatto.
Di seguito, in figura 7, rappresentiamo l’asta ruotata di un angolo piatto rispetto alla posizione iniziale alla quota y_{\text{CM}}(\tau).

 

Rendered by QuickLaTeX.com

In riferimento alla figura 7, per prima cosa, osserviamo che l’ordinata y_1(\tau) di m_1, l’ordinata y_2(\tau) di m_2 e l’ordinata y_{\text{CM}} (\tau) del centro di massa sono coincidenti, cioè vale

(53)   \begin{equation*} y_1(\tau)=y_2(\tau)=v_2\,\dfrac{2\ell\pi}{3v_1}=\dfrac{\pi\ell}{3}, \end{equation*}

dove abbiamo sostituito \tau=\dfrac{2\ell\pi}{3v_1} nell’equazione (22)_2. Infine, ricordando che lungo l’asse delle x la posizione del centro di massa è sempre la stessa, mentre l’ascissa x_1(\tau) di m_1 e l’ascissa x_2(\tau) di m_2 sono rispettivamente

(54)   \begin{equation*} x_1(\tau)=x_{\text{CM}}+\dfrac{\ell}{3}=\dfrac{\ell}{3}+\dfrac{\ell}{3}=\dfrac{2\ell}{3} \end{equation*}

e

(55)   \begin{equation*} x_2(\tau)=-\dfrac{2}{3}\ell+x_{\text{CM}}=-\dfrac{2}{3}\ell+\dfrac{\ell}{3}=-\dfrac{\ell}{3}. \end{equation*}

Quindi, riassumendo, all’istante \tau le posizioni dei punti materiali m_1 e m_2 sono

    \[\boxcolorato{fisica}{\begin{aligned} &x_1(\tau)=\dfrac{2}{3}\ell,\,y_1(\tau)=\dfrac{\pi\ell}{3};\\[10pt] &x_2(\tau)=-\dfrac{1}{3}\ell,\,y_2(\tau)=\dfrac{\pi\ell}{3}. \end{aligned}}\]