Esercizio sistemi di punti materiali 12

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 12 rappresenta il dodicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 11, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 13.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 12

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due punti materiali di massa $m_1$ e $m_2=m_1/2$ sono collegati da una barretta rigida di massa trascurabile e lunghezza $\ell$ su di un piano orizzontale. Il sistema inizialmente non è in quiete, infatti $m_1$ e $m_2$ hanno velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ rispettivamente. Entrambe le velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Inoltre, siano $v_1$ e $v_2$ i moduli rispettivamente delle velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ . Le velocità $\vec{v}_1$ e $\vec{v}_2$ sono orientate come in figura 1. Sul sistema non agiscono forze esterne e all’istante $t=0$ la situazione è quella mostrata in figura 1, con $v_1(0)=2v_2(0)$ , dove $v_1(0)$ è il modulo della velocità iniziale di $m_1$ , ed $v_2(0)$ è il modulo della velocità iniziale di $m_2$ all’istante iniziale. Si determinino le posizioni dei due punti materiali, rispetto ad un sistema di riferimento fisso, all’istante $\tau$ tale che valga la seguente condizione $3v_1\tau/(2\ell)=\pi$ .

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Figura 1: sistema fisico in esame.

Richiami teorici.

Di seguito, una serie di richiami teorici che serviranno nel corso dello svolgimento di questo esercizio.

Siano $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ tre vettori qualunque, allora vale quanto segue

(1) $\begin{equation*} \vec{a} \wedge (\,\vec{b} \wedge\vec{c}\,) = \vec{b}\, (\,\vec{a} \cdot \vec{c}\,) -\vec{c} \,(\,\vec{a} \cdot \vec{b}\,). \end{equation*}$
Consideriamo un sistema fisico composto da $n$ punti materiali e non soggetto a forze esterne. Sotto tali condizioni il centro di massa del sistema rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ . Scegliamo un sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, ovvero un sistema di riferimento con gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento $Oxy$ , cioè $x\parallel x^\prime$ , $y\parallel y^\prime$ e $z\parallel z^\prime$ , tale per cui l’origine di questo sistema di riferimento sia coincidente con il centro di massa, in queste condizioni il sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ è inerziale. Inoltre, siano $\vec{r}^{\,\prime}_1$ , $\vec{r}^{\,\prime}_2$ …, $\vec{r}^{\,\prime}_n$ i vettori posizione di ogni punto materiale degli $n$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo quanto detto, nel caso particolare in cui nell’istante iniziale il centro di massa $O^\prime$ si trovi sull’asse delle $x$ e $x\equiv x^\prime$ . Il punto $P$ , in figura 1, rappresenta un punto qualunque degli $n$ , dove $\vec{r}$ e $\vec{r}^{\,\prime}$ sono le distanze di $P$ rispettivamente da $O$ e $O^\prime$ , come si può dedurre dalla figura 2.

Figura 2: rappresentazione dei due sistemi di riferimento: $Oxy$ e $O^\prime x^\prime y^\prime$ .

Allora vale

(2) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k^{\,\prime}=\vec{0}. \end{equation*}$

Si osservi che il precedente risultato ha validità del tutto generale, cioè è valido anche se il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è non inerziale; in altri termini, se il sistema fisico di $n$ punti materiale è soggetto a forze esterne, l’equazione (2) continua ad essere valida.
Nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, per il generico $k$ -esimo punto materiale, vale
(3) $\begin{equation*} \vec{v}_k=\vec{v}^{\,\prime}_k+\vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_k$ , $\vec{v}^{\,\prime}_k$ e $\vec{v}_{\text{CM}}$ , sono rispettivamente la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ , la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, e la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ .
onsideriamo un sistema di $n$ punti materiali e un sistema di riferimento fisso $Oxy$ . Immaginiamo che il sistema fisico venga perturbato da $N$ forze esterne. Inoltre, siano $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ la somma di tutti i momenti esterni rispetto ad un polo generico del piano $xy$ , $\vec{v}$ la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema fisico in esame, $\vec{v}_{\text{CM}}$ la velocità del centro di massa degli $n$ punti materiali rispetto al sistema di riferimento fisso $Oxy$ , ed infine $\vec{L}_O$ il momento angolare totale del sistema rispetto al polo scelto. Allora vale

(4) $\begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}. \end{equation*}$

Il precedente teorema è detto teorema del momento angolare. Grazie ad esso, se scegliamo una situazione tale per cui la somma dei momenti esterni rispetto al polo scelto è zero e $\vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}$ , si conserva il momento angolare totale del sistema degli $n$ punti materiali.