Esercizio 24 . Un blocco di massa
è fermo su un cuneo di altezza
e massa
. Tutte le superfici sono senza attrito. All’inizio tutto è in quiete e il blocco di massa
si trova a quota
sul cuneo come in figura.
Rispetto ad un sistema di riferimento inerziale fisso, determinare:
1) di quanto si è postato il cuneo quando il punto materiale arriva alla fine di esso;
2) la velocità del cuneo quando il punto materiale si trova ad ;
3) la velocità del cuneo e del punto materiale un istante prima e dopo che il punto materiale tocca il piano orizzontale ;
4) l’accelerazione del cuneo e del punto materiale.
Svogimento. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale ed indichiamo con
la posizione del centro di massa del cuneo (vedi figura 1):
All’istante il sistema è in quiete. La sommatoria delle forze esterne lungo l’asse
è nulla, quindi il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o rimane in quiete ma dato che all’istante iniziale tutto è fermo, la velocità iniziale del centro di massa è nulla ovvero
m/s.
Calcoliamo la posizione del centro di massa in funzione delle posizioni iniziali di ed
all’istante
:
Chiamiamo l’istante di tempo in cui
arriva alla fine del cuneo (vedi figura 2).
Chiamiamo lo spostamento del cuneo. Nel contatto tra
ed
per il principio di azione e reazione, si sviluppano le reazioni vincolari
e
e quindi l’unica forza agente in direzione
sul blocco M è la componente orizzontale di N (forza di reazione tra M e m), pertanto il blocco
si muoverà verso sinistra. Scriviamo la posizioni del centro di massa in funzione delle posizione del centro di massa del cuneo e del punto materiale all’istante
(vedi figura 2):
dove .
Poiché deve essere
abbiamo
e se ne conclude che lo spostamento del cuneo è
Poiché lungo l’asse la somma delle forze esterne è nulla, si conserva la quantità di moto lungo l’asse
(vedi figura 2). Dato che inizialmente il sistema è in quiete, la quantità di moto iniziale è nulla ovvero
.
Calcoliamo ora la quantità di moto del sistema in un generico istante :
dove e
sono le velocità di
e
rispetto al sistema di riferimento iniziale
in un generico istante
(vedi figura 3) .
(1)
Nel sistema si trascurano tutti gli attriti e le uniche forze agenti sono di natura conservativa, quindi si conserva l’energia meccanica del sistema e, considerando l’istante e un generico istante
, si ha che
(2)
dove è la quota in un gerico istante
con
rispetto al sistema di riferimento
.
Mettendo a sistema (1) ed (2) si ottiene
(3)
Ora scegliamo un sistema di riferimento non inerziale solidale con
(vedi figura 4) e chiamiamo
la velocità relativa di
rispetto ad
:
Dalla geometria del problema si osserva che
dove
(4)
confrontando (1), (3) e (4) si ottiene
Quindi si conclude che in un generico istante il modulo della velocità di
e di
è pari ad
Poniamo trovando la velocità del cuneo quando
si trova a tale quota:
Determiniamo la velocità del cuneo un istante prima che tocchi il suolo, ovvero finché tra cuneo e punto materiale c’è contatto ponendo
:
Ora determiniamo la velocità di e del cuneo un istante dopo che
ha lasciato il cuneo, ponendo
e
:
Infine determiniamo l’accelerazione del cuneo e del punto materiale.
In un sistema di riferimento solidale al blocco, quindi un sistema non inerziale, il corpo di massa è soggetto al suo peso, alla forza apparente
, dove
indica l’accelerazione di trascinamento cioè l’accelerazione assoluta del blocco e alla reazione
sviluppata dal piano inclinato (normale al piano stesso non essendoci attrito); poichè il moto del corpo si svolge lungo il piano inclinato, la componente secondo la normale al piano della risultante delle forze sopra elencate è zero. Indicando con
la componente dell’accelerazione del blocco lungo l’asse
(vedi figura 5).
Dalla seconda legge della dinamica si ha che
Consideriamo ora un sistema di riferimento solidale al suolo, con l’asse verticale e orientato verso l’alto e l’asse
concorde col verso di moto del blocco; inoltre il corpo di massa
è soggetto al suo peso e alla reazione
(vedi figura 6).
Dalla seconda legge della dinamica si ha che
(5)
(6)
Il blocco, oltre che al suo peso e alla reazione della superficie orizzontale di appoggio, è soggetto alla forza esercitata su di esso dal corpo per il principio di azione e reazione (vedi figura 7):
Dalla seconda legge della dinamica si ha
e sostituendo quest’ultimo valore nelle equazioni (5) e (6) si ottiene
Si conclude che le accelerazioni cercate sono