Sistemi di punti materiali 24

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Un blocco di massa $m$ è fermo su un cuneo di altezza $h$ e massa $M$ . Tutte le superfici sono senza attrito. All’inizio tutto è in quiete e il blocco di massa $m$ si trova a quota $h$ sul cuneo come in figura.
Rispetto ad un sistema di riferimento inerziale fisso, determinare:

1) di quanto si è postato il cuneo quando il punto materiale arriva alla fine di esso;

2) la velocità del cuneo quando il punto materiale si trova ad $h/2$ ;

3) la velocità del cuneo e del punto materiale un istante prima e dopo che il punto materiale tocca il piano orizzontale ;

4) l’accelerazione del cuneo e del punto materiale.

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Svogimento. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ ed indichiamo con $x_M$ la posizione del centro di massa del cuneo (vedi figura 1):

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All’istante $t=0$ il sistema è in quiete. La sommatoria delle forze esterne lungo l’asse $x$ è nulla, quindi il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o rimane in quiete ma dato che all’istante iniziale tutto è fermo, la velocità iniziale del centro di massa è nulla ovvero $v_{cm,0}=0$ m/s.
Calcoliamo la posizione del centro di massa in funzione delle posizioni iniziali di $m$ ed $M$ all’istante $t=0$ :

$x_{CM,0} = \dfrac{x_M \, M}{m + M }.$

Chiamiamo $t=t^\star$ l’istante di tempo in cui $m$ arriva alla fine del cuneo (vedi figura 2).

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Chiamiamo $x$ lo spostamento del cuneo. Nel contatto tra $m$ ed $M$ per il principio di azione e reazione, si sviluppano le reazioni vincolari $\vec{N}$ e $-\vec{N}$ e quindi l’unica forza agente in direzione $x$ sul blocco M è la componente orizzontale di N (forza di reazione tra M e m), pertanto il blocco $M$ si muoverà verso sinistra. Scriviamo la posizioni del centro di massa in funzione delle posizione del centro di massa del cuneo e del punto materiale all’istante $t=t^*$ (vedi figura 2):

$x_{CM,f} = \dfrac{(L-x)m+(x_M-x)M}{m+M}$

dove $L=\dfrac{h}{\tan \alpha}$ .

Poiché deve essere

$x_{CM,0}=x_{CM,f}$

abbiamo

$\begin{aligned} x_{CM,0}=x_{CM,f} & \quad \Leftrightarrow \quad x_{M} M = (L-x) m + (x_M-x)M\quad \Leftrightarrow\quad \\ & \Leftrightarrow \quad 0 = Lm - xm -xM \quad \Leftrightarrow\quad x = \dfrac{Lm}{m+M}. \end{aligned}$

e se ne conclude che lo spostamento del cuneo è

$\boxcolorato{fisica}{ x = \dfrac{Lm}{m+M}=\dfrac{h\, m}{\tan \alpha \left(m+M\right)}.}$

Poiché lungo l’asse $x$ la somma delle forze esterne è nulla, si conserva la quantità di moto lungo l’asse $x$ (vedi figura 2). Dato che inizialmente il sistema è in quiete, la quantità di moto iniziale è nulla ovvero $p_0 = 0 \;\text{kg } \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$ .
Calcoliamo ora la quantità di moto del sistema in un generico istante $t$ :

$p = M v_M + m v_{m,x}$

dove $\vec{v}_M=v_M \, \hat{x}$ e $\vec{v}_{m}=v_{m,x} \, \hat{x}-v_{m,y} \, \hat{y}$ sono le velocità di $M$ e $m$ rispetto al sistema di riferimento iniziale $Oxy$ in un generico istante $t$ (vedi figura 3) .

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Poiché deve essere $p_0 =p_f$ abbiamo

(1) $\begin{equation*} p_0 =p_f \Leftrightarrow M v_M + m v_{m,x}=0 \end{equation*}$

Nel sistema si trascurano tutti gli attriti e le uniche forze agenti sono di natura conservativa, quindi si conserva l’energia meccanica del sistema e, considerando l’istante $t=0$ e un generico istante $t$ , si ha che

(2) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}M v_M^2 + \dfrac{1}{2} m v_m^2 = mg\,(h-y) \end{equation*}$

dove $y$ è la quota in un gerico istante $t$ con $y \in[0,h]$ rispetto al sistema di riferimento $Oxy$ .
Mettendo a sistema (1) ed (2) si ottiene

$\begin{cases} \displaystyle \dfrac{1}{2}M v_M^2 + \dfrac{1}{2}m v_m^2 =mg\,(h-y)\\ \\ \displaystyle M v_M + m v_{m,x} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}M v_M^2 + \frac{1}{2}m v_{m,x}^2 + \frac{1}{2} m v_{m,y}^2 = mg\,(h-y)\\ \\ \displaystyle v_{m,x} = - \frac{M}{m} v_M; \end{cases}$

dunque

(3) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2} M v_M^2 + \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{M^2}{m^2} \, v_M^2\right) + \dfrac{1}{2} m v_{m,y}^2 = mg\,(h-y) \end{equation*}$

Ora scegliamo un sistema di riferimento non inerziale $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con $M$ (vedi figura 4) e chiamiamo $\vec{v}_m^\prime=v_{m,x}^\prime \, \hat{x}-v_{m,y}^\prime\, \hat{y}$ la velocità relativa di $m$ rispetto ad $M$ :

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Dalla geometria del problema si osserva che

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dove

$\tan \alpha = \dfrac{v_{m,y}^\prime}{v_{m,x}^\prime} \quad \Leftrightarrow\quad v_{m,y}^\prime =v_{m,y}= \tan \alpha \, v_{m,x}^\prime, \qquad v_{m,y}^\prime = v_{m,y} \quad \mbox{e} \quad v_{m,x}^\prime = v_{m,x}-v_M$

quindi

(4) $\begin{equation*} v_{m,y}^\prime = \tan\alpha \, v_{m,x}^\prime\quad \Leftrightarrow\quad v_{m,y} = \tan \alpha \; (v_{m,x}-v_M) \end{equation*}$

confrontando (1), (3) e (4) si ottiene

$\begin{aligned} & \dfrac{1}{2} M \, v_M^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{M^2}{m} v_M^2 + \dfrac{1}{2} m \tan^2 \alpha \; \left(\dfrac{M}{m}+1\right)^2 \, v_M^2 = mg\,(h-y)\quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad v_M^2 = \dfrac{mg\,(h-y)}{\frac{M}{2} + \frac{M^2}{2m} + \frac{m}{2}\tan^2 \alpha \left(\frac{M}{m}+1\right)^2 } \quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad v_M = \sqrt{\dfrac{mg\,(h-y)}{\frac{M}{2} + \frac{M^2}{2m} + \frac{m}{2}\tan^2 \alpha \left(\frac{M}{m}+1\right)^2 }} \quad\Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow\quad v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}. \end{aligned}$

Quindi si conclude che in un generico istante $t$ il modulo della velocità di $M$ e di $m$ è pari ad

$\boxcolorato{fisica}{\begin{aligned} &v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ & v_{m,x}=\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ &v_{m,y}(t)=\tan \alpha \left(\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}+ \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}\right). \end{aligned}}$

Poniamo $y=\dfrac{h}{2}$ trovando la velocità del cuneo quando $m$ si trova a tale quota:

$\boxcolorato{fisica}{ v_M= \sqrt{\dfrac{m^2g\,h}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}.}$

Determiniamo la velocità del cuneo un istante prima che $m$ tocchi il suolo, ovvero finché tra cuneo e punto materiale c’è contatto ponendo $y=0$ :

$\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} &v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ & v_{m,x}=\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ &v_{m,y}(t)=\tan \alpha \left(\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}+ \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}\right). \end{aligned}}$

Ora determiniamo la velocità di $m$ e del cuneo un istante dopo che $m$ ha lasciato il cuneo, ponendo $\alpha=0$ e $y=0$ :

$\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} & v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2}};\\ & v_{m,x}=\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2}};\\ & v_{m,y}=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}. \end{aligned}}$

Infine determiniamo l’accelerazione del cuneo e del punto materiale.
In un sistema di riferimento solidale al blocco, quindi un sistema non inerziale, il corpo di massa $m$ è soggetto al suo peso, alla forza apparente $-m\vec{A}$ , dove $\vec{A}$ indica l’accelerazione di trascinamento cioè l’accelerazione assoluta del blocco e alla reazione $\vec{N}$ sviluppata dal piano inclinato (normale al piano stesso non essendoci attrito); poichè il moto del corpo si svolge lungo il piano inclinato, la componente secondo la normale al piano della risultante delle forze sopra elencate è zero. Indicando con $A_x$ la componente dell’accelerazione del blocco lungo l’asse $x$ (vedi figura 5).

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Dalla seconda legge della dinamica si ha che

$N = m(g \cos \alpha - A_x \sin \alpha)$

Consideriamo ora un sistema di riferimento solidale al suolo, con l’asse $y$ verticale e orientato verso l’alto e l’asse $x$ concorde col verso di moto del blocco; inoltre il corpo di massa $m$ è soggetto al suo peso e alla reazione $\vec{N}$ (vedi figura 6).

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Dalla seconda legge della dinamica si ha che

(5) $\begin{equation*} ma_x = -N \sin \alpha = -m (g \cos \alpha - A_x \sin \alpha) \sin \alpha \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \begin{aligned} \qquad \qquad \qquad \, ma_y & = N \cos \alpha - mg = m (g \cos \alpha - A_x \sin \alpha) \cos \alpha - mg =\\ & = - m (g \sin \alpha + A_x \cos \alpha) \sin \alpha. \end{aligned} \end{equation*}$

Il blocco, oltre che al suo peso e alla reazione della superficie orizzontale di appoggio, è soggetto alla forza $-\vec{N}$ esercitata su di esso dal corpo per il principio di azione e reazione (vedi figura 7):

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Dalla seconda legge della dinamica si ha

$MA_x = m (g \cos \alpha - A_x \sin \alpha) \sin \alpha \quad\Leftrightarrow\quad A_x = \dfrac{m \sin \alpha \cos \alpha}{M+m \sin^2 \alpha} g$

e sostituendo quest’ultimo valore nelle equazioni (5) e (6) si ottiene

$a_x =- g\cdot\dfrac{M \sin \alpha \cos \alpha}{M+m\sin^2 \alpha}, \qquad a_y = - g\cdot\dfrac{(M+m) \sin^2 \alpha}{M+m \sin^2 \alpha}.$

Si conclude che le accelerazioni cercate sono

$\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} &A_x = \dfrac{m \sin \alpha \cos \alpha}{M+m \sin^2 \alpha} ;\\ &a_x =- g\cdot\dfrac{M \sin \alpha \cos \alpha}{M+m\sin^2 \alpha}; \\ &a_y = - g\cdot\dfrac{(M+m) \sin^2 \alpha}{M+m \sin^2 \alpha}. \end{aligned}}$