Home » Sistemi di punti materiali 24
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Esercizio 24  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Un blocco di massa m è fermo su un cuneo di altezza h e massa M. Tutte le superfici sono senza attrito. All’inizio tutto è in quiete e il blocco di massa m si trova a quota h sul cuneo come in figura.
Rispetto ad un sistema di riferimento inerziale fisso, determinare:

1) di quanto si è postato il cuneo quando il punto materiale arriva alla fine di esso;

2) la velocità del cuneo quando il punto materiale si trova ad h/2;

3) la velocità del cuneo e del punto materiale un istante prima e dopo che il punto materiale tocca il piano orizzontale ;

4)  l’accelerazione del cuneo e del punto materiale.

 

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Svogimento. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy ed indichiamo con x_M la posizione del centro di massa del cuneo (vedi figura 1):

 

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All’istante t=0 il sistema è in quiete. La sommatoria delle forze esterne lungo l’asse x è nulla, quindi il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o rimane in quiete ma dato che all’istante iniziale tutto è fermo, la velocità iniziale del centro di massa è nulla ovvero v_{cm,0}=0 m/s.
Calcoliamo la posizione del centro di massa in funzione delle posizioni iniziali di m ed M all’istante t=0:

    \[x_{CM,0} = \dfrac{x_M \, M}{m + M }.\]

Chiamiamo t=t^\star l’istante di tempo in cui m arriva alla fine del cuneo (vedi figura 2).

 

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Chiamiamo x lo spostamento del cuneo. Nel contatto tra m ed M per il principio di azione e reazione, si sviluppano le reazioni vincolari \vec{N} e -\vec{N} e quindi l’unica forza agente in direzione x sul blocco M è la componente orizzontale di N (forza di reazione tra M e m), pertanto il blocco M si muoverà verso sinistra. Scriviamo la posizioni del centro di massa in funzione delle posizione del centro di massa del cuneo e del punto materiale all’istante t=t^* (vedi figura 2):

    \[x_{CM,f} = \dfrac{(L-x)m+(x_M-x)M}{m+M}\]

dove L=\dfrac{h}{\tan \alpha}.

Poiché deve essere

    \[x_{CM,0}=x_{CM,f}\]

abbiamo

    \[\begin{aligned} x_{CM,0}=x_{CM,f} & \quad \Leftrightarrow \quad x_{M} M = (L-x) m + (x_M-x)M\quad \Leftrightarrow\quad \\ & \Leftrightarrow \quad 0 = Lm - xm -xM \quad \Leftrightarrow\quad x = \dfrac{Lm}{m+M}. \end{aligned}\]

e se ne conclude che lo spostamento del cuneo è

    \[\boxcolorato{fisica}{ x = \dfrac{Lm}{m+M}=\dfrac{h\, m}{\tan \alpha \left(m+M\right)}.}\]

 

Poiché lungo l’asse x la somma delle forze esterne è nulla, si conserva la quantità di moto lungo l’asse x (vedi figura 2). Dato che inizialmente il sistema è in quiete, la quantità di moto iniziale è nulla ovvero p_0 = 0 \;\text{kg } \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}.
Calcoliamo ora la quantità di moto del sistema in un generico istante t:

    \[p = M v_M + m v_{m,x}\]

dove \vec{v}_M=v_M \, \hat{x} e \vec{v}_{m}=v_{m,x} \, \hat{x}-v_{m,y} \, \hat{y} sono le velocità di M e m rispetto al sistema di riferimento iniziale Oxy in un generico istante t (vedi figura 3) .

 

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Poiché deve essere p_0 =p_f abbiamo

(1)   \begin{equation*} p_0 =p_f \Leftrightarrow M v_M + m v_{m,x}=0 \end{equation*}

Nel sistema si trascurano tutti gli attriti e le uniche forze agenti sono di natura conservativa, quindi si conserva l’energia meccanica del sistema e, considerando l’istante t=0 e un generico istante t, si ha che

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}M v_M^2 + \dfrac{1}{2} m v_m^2 = mg\,(h-y) \end{equation*}

dove y è la quota in un gerico istante t con y \in[0,h] rispetto al sistema di riferimento Oxy.
Mettendo a sistema (1) ed (2) si ottiene

    \[\begin{cases} \displaystyle \dfrac{1}{2}M v_M^2 + \dfrac{1}{2}m v_m^2 =mg\,(h-y)\\ \\ \displaystyle M v_M + m v_{m,x} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}M v_M^2 + \frac{1}{2}m v_{m,x}^2 + \frac{1}{2} m v_{m,y}^2 = mg\,(h-y)\\ \\ \displaystyle v_{m,x} = - \frac{M}{m} v_M; \end{cases}\]

dunque

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2} M v_M^2 + \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{M^2}{m^2} \, v_M^2\right) + \dfrac{1}{2} m v_{m,y}^2 = mg\,(h-y) \end{equation*}

Ora scegliamo un sistema di riferimento non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime solidale con M (vedi figura 4) e chiamiamo \vec{v}_m^\prime=v_{m,x}^\prime \, \hat{x}-v_{m,y}^\prime\, \hat{y} la velocità relativa di m rispetto ad M:

 

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Dalla geometria del problema si osserva che

 

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dove

    \[\tan \alpha = \dfrac{v_{m,y}^\prime}{v_{m,x}^\prime} \quad \Leftrightarrow\quad v_{m,y}^\prime =v_{m,y}= \tan \alpha \, v_{m,x}^\prime, \qquad v_{m,y}^\prime = v_{m,y} \quad \mbox{e} \quad v_{m,x}^\prime = v_{m,x}-v_M\]

quindi

(4)   \begin{equation*} v_{m,y}^\prime = \tan\alpha \, v_{m,x}^\prime\quad \Leftrightarrow\quad v_{m,y} = \tan \alpha \; (v_{m,x}-v_M) \end{equation*}

confrontando (1), (3) e (4) si ottiene

    \[\begin{aligned} & \dfrac{1}{2} M \, v_M^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{M^2}{m} v_M^2 + \dfrac{1}{2} m \tan^2 \alpha \; \left(\dfrac{M}{m}+1\right)^2 \, v_M^2 = mg\,(h-y)\quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad v_M^2 = \dfrac{mg\,(h-y)}{\frac{M}{2} + \frac{M^2}{2m} + \frac{m}{2}\tan^2 \alpha \left(\frac{M}{m}+1\right)^2 } \quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad v_M = \sqrt{\dfrac{mg\,(h-y)}{\frac{M}{2} + \frac{M^2}{2m} + \frac{m}{2}\tan^2 \alpha \left(\frac{M}{m}+1\right)^2 }} \quad\Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow\quad v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}. \end{aligned}\]

Quindi si conclude che in un generico istante t il modulo della velocità di M e di m è pari ad

 

    \[\boxcolorato{fisica}{\begin{aligned} &v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ & v_{m,x}=\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ &v_{m,y}(t)=\tan \alpha \left(\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}+ \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h-y)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}\right). \end{aligned}}\]

 

Poniamo y=\dfrac{h}{2} trovando la velocità del cuneo quando m si trova a tale quota:

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_M= \sqrt{\dfrac{m^2g\,h}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}.}\]

 

Determiniamo la velocità del cuneo un istante prima che m tocchi il suolo, ovvero finché tra cuneo e punto materiale c’è contatto ponendo y=0:

 

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} &v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ & v_{m,x}=\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}};\\ &v_{m,y}(t)=\tan \alpha \left(\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}+ \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2+\tan^2\alpha(M+m)^2}}\right). \end{aligned}}\]

 

Ora determiniamo la velocità di m e del cuneo un istante dopo che m ha lasciato il cuneo, ponendo \alpha=0 e y=0:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} & v_M= \sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2}};\\ & v_{m,x}=\dfrac{M}{m}\sqrt{\dfrac{2m^2g\,(h)}{Mm+M^2}};\\ & v_{m,y}=0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}. \end{aligned}}\]

 

Infine determiniamo l’accelerazione del cuneo e del punto materiale.
In un sistema di riferimento solidale al blocco, quindi un sistema non inerziale, il corpo di massa m è soggetto al suo peso, alla forza apparente -m\vec{A}, dove \vec{A} indica l’accelerazione di trascinamento cioè l’accelerazione assoluta del blocco e alla reazione \vec{N} sviluppata dal piano inclinato (normale al piano stesso non essendoci attrito); poichè il moto del corpo si svolge lungo il piano inclinato, la componente secondo la normale al piano della risultante delle forze sopra elencate è zero. Indicando con A_x la componente dell’accelerazione del blocco lungo l’asse x (vedi figura 5).

 

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Dalla seconda legge della dinamica si ha che

    \[N = m(g \cos \alpha - A_x \sin \alpha)\]

Consideriamo ora un sistema di riferimento solidale al suolo, con l’asse y verticale e orientato verso l’alto e l’asse x concorde col verso di moto del blocco; inoltre il corpo di massa m è soggetto al suo peso e alla reazione \vec{N} (vedi figura 6).

 

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Dalla seconda legge della dinamica si ha che

(5)   \begin{equation*} ma_x = -N \sin \alpha = -m (g \cos \alpha - A_x \sin \alpha) \sin \alpha \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} \begin{aligned} \qquad \qquad \qquad \, ma_y & = N \cos \alpha - mg = m (g \cos \alpha - A_x \sin \alpha) \cos \alpha - mg =\\ & = - m (g \sin \alpha + A_x \cos \alpha) \sin \alpha. \end{aligned} \end{equation*}

Il blocco, oltre che al suo peso e alla reazione della superficie orizzontale di appoggio, è soggetto alla forza -\vec{N} esercitata su di esso dal corpo per il principio di azione e reazione (vedi figura 7):

 

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Dalla seconda legge della dinamica si ha

    \[MA_x = m (g \cos \alpha - A_x \sin \alpha) \sin \alpha \quad\Leftrightarrow\quad A_x = \dfrac{m \sin \alpha \cos \alpha}{M+m \sin^2 \alpha} g\]

e sostituendo quest’ultimo valore nelle equazioni (5) e (6) si ottiene

    \[a_x =- g\cdot\dfrac{M \sin \alpha \cos \alpha}{M+m\sin^2 \alpha}, \qquad a_y = - g\cdot\dfrac{(M+m) \sin^2 \alpha}{M+m \sin^2 \alpha}.\]

Si conclude che le accelerazioni cercate sono

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} &A_x = \dfrac{m \sin \alpha \cos \alpha}{M+m \sin^2 \alpha} ;\\ &a_x =- g\cdot\dfrac{M \sin \alpha \cos \alpha}{M+m\sin^2 \alpha}; \\ &a_y = - g\cdot\dfrac{(M+m) \sin^2 \alpha}{M+m \sin^2 \alpha}. \end{aligned}}\]