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Esercizio 23  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).  Un corpo di massa m scivola su un piano inclinato, tra piano e corpo c’è attrito dinamico e il coefficiente di attrito dinamico ha valore k. Il piano inclinato ha una massa distribuita in modo omogenea di valore totale M e può scorrere su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare le accelerazioni di m e M rispetto al laboratorio (sistema fisso) considerando che all’istante iniziale tutto è in quiete.

 

 

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Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale Ox^\prime y^\prime solidale con M (vedi figura 1).

 

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Mentre il blocco m scende sul piano inclinato a causa della forza peso, a seguito della reazione vincolare \vec{N} tra i due corpi m e M, il corpo M arretra verso sinistra.
Chiamiamo \vec{A}=A \, \hat{x} l’accelerazione del blocco M, \vec{a}=a_x \, \hat{x}+a_y \, \hat{y} l’accelerazione del blocco m rispetto al sistema fisso, f_d la forza di attrito dinamico tra M e m, \vec{N} la reazione vincolare del piano inclinato, \theta l’angolo del piano inclinato ed infine {\vec{a}\;}^\prime=a^\prime \, \hat{x}^\prime l’accelerazione relativa tra m e M.
Dalla seconda legge della dinamica per il corpo m possiamo scrivere:

    \[\begin{cases} N-mg \cos \theta + mA \sin \theta = 0\\-f_d + mg \sin \theta + mA \cos \theta = ma^\prime \\ f_d=Nk \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} N=mg\cos \theta - mA \sin \theta \qquad \qquad \text{(*)}\\\\ a^\prime = \dfrac{-Nk+mg\sin \theta + mA \cos \theta}{m}\\\\ f_d = Nk. \end{cases}\]

 

Ora scegliamo un sistema fisso Oxy (vedi figura 2).

 

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Dalla seconda legge della dinamica per il corpo M possiamo scrivere:

(1)   \begin{equation*} -N \sin \theta + f_d \cos \theta = - M A \quad \Leftrightarrow \quad -N (\sin \theta - k \cos \theta) = - MA \end{equation*}

Sostituendo N, come espressa in (*), nella (1) abbiamo

    \[\begin{aligned} & \left(mg \cos \theta - mA \sin \theta \right) (-\sin \theta + k \cos \theta) = -MA \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -mg \cos \theta \sin \theta + kmg \cos^2\theta + mA \sin^2\theta -mAk \, \sin \theta \, \cos \theta = -MA \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad A (m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M) = mg \cos \theta \sin \theta - kmg \cos^2\theta \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad A = \dfrac{mg \cos \theta (\sin \theta - k \cos \theta)}{m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M}. \end{aligned}\]

Considerando il sistema formato da m e M lungo l’asse orizzontale, la somma delle
forze esterne risulta nulla, quindi si conserva la quantità di moto complessiva del sistema. Pertanto possiamo
scrivere:

    \[mv_{m,x} -Mv_M = 0 \quad \Leftrightarrow \quad v_{m,x} = \dfrac{Mv_M}{m} \quad \Rightarrow \quad a_{x} = \dfrac{MA}{m} = \dfrac{Mg \cos \theta (\sin \theta - k \, \cos \theta)}{m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M}.\]

Alternativamente per determinare a_x si poteva procedere sostituendo A in (*) e ottenendo a^\prime dal teorema delle accelerazione relative:

    \[a=A+a'\cos \theta.\]

Dobbiamo determinare a_{y} e dalla figura 2 osserviamo che

    \[\begin{aligned} a_{y} = a^\prime \sin \theta & = \sin \theta \left(\dfrac{-Nk + mg \sin \theta + ma \cos \theta}{m}\right) =\\ & = \dfrac{\sin \theta}{m} \left(mg \sin \theta - mgk \cos \theta+ A (mk \sin \theta + m\cos \theta)\right)=\\ &=\sin \theta \left(g \sin \theta - gk \cos \theta+ A (k \sin \theta + \cos \theta)\right) . \end{aligned}\]

 

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Alternativamente si poteva determinare a_{y} scegliendo un sistema di riferimento inerziale (vedi figura 3) e procedendo come segue, ovvero scrivendo la seconda legge della dinamica lungo l’asse y :

    \[ma_{y}=-\left(N \cos \theta - mg +f_d \sin \theta\right).\]

Ricordando che

    \[\begin{cases} f_d=Nk\\ N=mg\cos \theta -m A \sin \theta \end{cases}\]

abbiamo

    \[\hspace{2cm} \begin{aligned} a_{y} & = -\dfrac{1}{m} \left(N \cos \theta - mg + Nk \sin \theta\right) = -\dfrac{1}{m} (-mg + N (\cos \theta + k \sin \theta)) = \\ & = -\dfrac{1}{m} (-mg + (\cos \theta + k \sin \theta) (mg \cos \theta - ma \sin \theta)) = \\ & = -\dfrac{1}{m} (-mg +mg \cos^2 \theta - mA \sin \theta \, \cos \theta + kmg \, \cos \theta \, \sin \theta - mAk \, \sin^2 \theta) =\\ & = -\dfrac{1}{m} ( -mg \sin^2 \theta - mA \sin \theta \cos \theta +kmg \cos \theta \, \sin \theta - mAk \sin^2 \theta) = \\ & = -\dfrac{1}{m} \sin \theta (-mg \sin \theta - mA \cos \theta + kmg \cos \theta - mAk \sin \theta) = \\ & = \dfrac{1}{m} \sin \theta (mg \sin \theta -kmg \cos \theta + A (m \cos \theta + mk \sin \theta))=\\ &=\sin \theta \left(g \sin \theta - gk \cos \theta+ A (k \sin \theta + \cos \theta)\right) . \end{aligned}\]