Esercizio 23 . Un corpo di massa
scivola su un piano inclinato, tra piano e corpo c’è attrito dinamico e il coefficiente di attrito dinamico ha valore
. Il piano inclinato ha una massa distribuita in modo omogenea di valore totale
e può scorrere su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare le accelerazioni di
e
rispetto al laboratorio (sistema fisso) considerando che all’istante iniziale tutto è in quiete.
Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale solidale con
(vedi figura 1).
Mentre il blocco scende sul piano inclinato a causa della forza peso, a seguito della reazione vincolare
tra i due corpi
e
, il corpo
arretra verso sinistra.
Chiamiamo l’accelerazione del blocco
,
l’accelerazione del blocco
rispetto al sistema fisso,
la forza di attrito dinamico tra
e
,
la reazione vincolare del piano inclinato,
l’angolo del piano inclinato ed infine
l’accelerazione relativa tra
e
.
Dalla seconda legge della dinamica per il corpo possiamo scrivere:
Ora scegliamo un sistema fisso (vedi figura 2).
Dalla seconda legge della dinamica per il corpo possiamo scrivere:
(1)
Sostituendo , come espressa in (*), nella (1) abbiamo
Considerando il sistema formato da e
lungo l’asse orizzontale, la somma delle
forze esterne risulta nulla, quindi si conserva la quantità di moto complessiva del sistema. Pertanto possiamo
scrivere:
Alternativamente per determinare si poteva procedere sostituendo
in (*) e ottenendo
dal teorema delle accelerazione relative:
Dobbiamo determinare e dalla figura 2 osserviamo che
Alternativamente si poteva determinare scegliendo un sistema di riferimento inerziale (vedi figura 3) e procedendo come segue, ovvero scrivendo la seconda legge della dinamica lungo l’asse
:
Ricordando che
abbiamo