Sistemi di punti materiali 23

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ scivola su un piano inclinato, tra piano e corpo c’è attrito dinamico e il coefficiente di attrito dinamico ha valore $k$ . Il piano inclinato ha una massa distribuita in modo omogenea di valore totale $M$ e può scorrere su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare le accelerazioni di $m$ e $M$ rispetto al laboratorio (sistema fisso) considerando che all’istante iniziale tutto è in quiete.

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Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale $Ox^\prime y^\prime$ solidale con $M$ (vedi figura 1).

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Mentre il blocco $m$ scende sul piano inclinato a causa della forza peso, a seguito della reazione vincolare $\vec{N}$ tra i due corpi $m$ e $M$ , il corpo $M$ arretra verso sinistra.
Chiamiamo $\vec{A}=A \, \hat{x}$ l’accelerazione del blocco $M$ , $\vec{a}=a_x \, \hat{x}+a_y \, \hat{y}$ l’accelerazione del blocco $m$ rispetto al sistema fisso, $f_d$ la forza di attrito dinamico tra $M$ e $m$ , $\vec{N}$ la reazione vincolare del piano inclinato, $\theta$ l’angolo del piano inclinato ed infine ${\vec{a}\;}^\prime=a^\prime \, \hat{x}^\prime$ l’accelerazione relativa tra $m$ e $M$ .
Dalla seconda legge della dinamica per il corpo $m$ possiamo scrivere:

$\begin{cases} N-mg \cos \theta + mA \sin \theta = 0\\-f_d + mg \sin \theta + mA \cos \theta = ma^\prime \\ f_d=Nk \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} N=mg\cos \theta - mA \sin \theta \qquad \qquad \text{(*)}\\\\ a^\prime = \dfrac{-Nk+mg\sin \theta + mA \cos \theta}{m}\\\\ f_d = Nk. \end{cases}$

Ora scegliamo un sistema fisso $Oxy$ (vedi figura 2).

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Dalla seconda legge della dinamica per il corpo $M$ possiamo scrivere:

(1) $\begin{equation*} -N \sin \theta + f_d \cos \theta = - M A \quad \Leftrightarrow \quad -N (\sin \theta - k \cos \theta) = - MA \end{equation*}$

Sostituendo $N$ , come espressa in (*), nella (1) abbiamo

$\begin{aligned} & \left(mg \cos \theta - mA \sin \theta \right) (-\sin \theta + k \cos \theta) = -MA \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -mg \cos \theta \sin \theta + kmg \cos^2\theta + mA \sin^2\theta -mAk \, \sin \theta \, \cos \theta = -MA \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad A (m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M) = mg \cos \theta \sin \theta - kmg \cos^2\theta \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad A = \dfrac{mg \cos \theta (\sin \theta - k \cos \theta)}{m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M}. \end{aligned}$

Considerando il sistema formato da $m$ e $M$ lungo l’asse orizzontale, la somma delle
forze esterne risulta nulla, quindi si conserva la quantità di moto complessiva del sistema. Pertanto possiamo
scrivere:

$mv_{m,x} -Mv_M = 0 \quad \Leftrightarrow \quad v_{m,x} = \dfrac{Mv_M}{m} \quad \Rightarrow \quad a_{x} = \dfrac{MA}{m} = \dfrac{Mg \cos \theta (\sin \theta - k \, \cos \theta)}{m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M}.$

Alternativamente per determinare $a_x$ si poteva procedere sostituendo $A$ in (*) e ottenendo $a^\prime$ dal teorema delle accelerazione relative:

$a=A+a'\cos \theta.$

Dobbiamo determinare $a_{y}$ e dalla figura 2 osserviamo che

$\begin{aligned} a_{y} = a^\prime \sin \theta & = \sin \theta \left(\dfrac{-Nk + mg \sin \theta + ma \cos \theta}{m}\right) =\\ & = \dfrac{\sin \theta}{m} \left(mg \sin \theta - mgk \cos \theta+ A (mk \sin \theta + m\cos \theta)\right)=\\ &=\sin \theta \left(g \sin \theta - gk \cos \theta+ A (k \sin \theta + \cos \theta)\right) . \end{aligned}$

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Alternativamente si poteva determinare $a_{y}$ scegliendo un sistema di riferimento inerziale (vedi figura 3) e procedendo come segue, ovvero scrivendo la seconda legge della dinamica lungo l’asse $y$ :

$ma_{y}=-\left(N \cos \theta - mg +f_d \sin \theta\right).$

Ricordando che

$\begin{cases} f_d=Nk\\ N=mg\cos \theta -m A \sin \theta \end{cases}$

abbiamo

$\hspace{2cm} \begin{aligned} a_{y} & = -\dfrac{1}{m} \left(N \cos \theta - mg + Nk \sin \theta\right) = -\dfrac{1}{m} (-mg + N (\cos \theta + k \sin \theta)) = \\ & = -\dfrac{1}{m} (-mg + (\cos \theta + k \sin \theta) (mg \cos \theta - ma \sin \theta)) = \\ & = -\dfrac{1}{m} (-mg +mg \cos^2 \theta - mA \sin \theta \, \cos \theta + kmg \, \cos \theta \, \sin \theta - mAk \, \sin^2 \theta) =\\ & = -\dfrac{1}{m} ( -mg \sin^2 \theta - mA \sin \theta \cos \theta +kmg \cos \theta \, \sin \theta - mAk \sin^2 \theta) = \\ & = -\dfrac{1}{m} \sin \theta (-mg \sin \theta - mA \cos \theta + kmg \cos \theta - mAk \sin \theta) = \\ & = \dfrac{1}{m} \sin \theta (mg \sin \theta -kmg \cos \theta + A (m \cos \theta + mk \sin \theta))=\\ &=\sin \theta \left(g \sin \theta - gk \cos \theta+ A (k \sin \theta + \cos \theta)\right) . \end{aligned}$