50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Il mio account
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Sistemi di punti materiali 23

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Sistemi di punti materiali 23


 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti, contenuti in 178 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei sistemi di punti materiali in meccanica classica.

 
 

Esercizio 23 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).  Un corpo di massa m scivola su un piano inclinato, tra piano e corpo c’è attrito dinamico e il coefficiente di attrito dinamico ha valore k. Il piano inclinato ha una massa distribuita in modo omogenea di valore totale M e può scorrere su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare le accelerazioni di m e M rispetto al laboratorio (sistema fisso) considerando che all’istante iniziale tutto è in quiete.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale Ox^\prime y^\prime solidale con M (vedi figura 1).

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Mentre il blocco m scende sul piano inclinato a causa della forza peso, a seguito della reazione vincolare \vec{N} tra i due corpi m e M, il corpo M arretra verso sinistra. Chiamiamo \vec{A}=A \, \hat{x} l’accelerazione del blocco M, \vec{a}=a_x \, \hat{x}+a_y \, \hat{y} l’accelerazione del blocco m rispetto al sistema fisso, f_d la forza di attrito dinamico tra M e m, \vec{N} la reazione vincolare del piano inclinato, \theta l’angolo del piano inclinato ed infine {\vec{a}\;}^\prime=a^\prime \, \hat{x}^\prime l’accelerazione relativa tra m e M. Dalla seconda legge della dinamica per il corpo m possiamo scrivere:

    \[\begin{cases} N-mg \cos \theta + mA \sin \theta = 0\\-f_d + mg \sin \theta + mA \cos \theta = ma^\prime \\ f_d=Nk \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} N=mg\cos \theta - mA \sin \theta \qquad \qquad \text{(*)}\\\\ a^\prime = \dfrac{-Nk+mg\sin \theta + mA \cos \theta}{m}\\\\ f_d = Nk. \end{cases}\]

 

Ora scegliamo un sistema fisso Oxy (vedi figura 2).

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Dalla seconda legge della dinamica per il corpo M possiamo scrivere:

(1)   \begin{equation*} -N \sin \theta + f_d \cos \theta = - M A \quad \Leftrightarrow \quad -N (\sin \theta - k \cos \theta) = - MA \end{equation*}

Sostituendo N, come espressa in (*), nella (1) abbiamo

    \[\begin{aligned} & \left(mg \cos \theta - mA \sin \theta \right) (-\sin \theta + k \cos \theta) = -MA \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad -mg \cos \theta \sin \theta + kmg \cos^2\theta + mA \sin^2\theta -mAk \, \sin \theta \, \cos \theta = -MA \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad A (m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M) = mg \cos \theta \sin \theta - kmg \cos^2\theta \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad A = \dfrac{mg \cos \theta (\sin \theta - k \cos \theta)}{m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M}. \end{aligned}\]

Considerando il sistema formato da m e M lungo l’asse orizzontale, la somma delle forze esterne risulta nulla, quindi si conserva la quantità di moto complessiva del sistema. Pertanto possiamo scrivere:

    \[mv_{m,x} -Mv_M = 0 \quad \Leftrightarrow \quad v_{m,x} = \dfrac{Mv_M}{m} \quad \Rightarrow \quad a_{x} = \dfrac{MA}{m} = \dfrac{Mg \cos \theta (\sin \theta - k \, \cos \theta)}{m \sin^2 \theta - mk \sin \theta \cos \theta + M}.\]

Alternativamente per determinare a_x si poteva procedere sostituendo A in (*) e ottenendo a^\prime dal teorema delle accelerazione relative:

    \[a=A+a'\cos \theta.\]

Dobbiamo determinare a_{y} e dalla figura 2 osserviamo che

    \[\begin{aligned} a_{y} = a^\prime \sin \theta & = \sin \theta \left(\dfrac{-Nk + mg \sin \theta + ma \cos \theta}{m}\right) =\\ & = \dfrac{\sin \theta}{m} \left(mg \sin \theta - mgk \cos \theta+ A (mk \sin \theta + m\cos \theta)\right)=\\ &=\sin \theta \left(g \sin \theta - gk \cos \theta+ A (k \sin \theta + \cos \theta)\right) . \end{aligned}\]

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Alternativamente si poteva determinare a_{y} scegliendo un sistema di riferimento inerziale (vedi figura 3) e procedendo come segue, ovvero scrivendo la seconda legge della dinamica lungo l’asse y :

    \[ma_{y}=-\left(N \cos \theta - mg +f_d \sin \theta\right).\]

Ricordando che

    \[\begin{cases} f_d=Nk\\ N=mg\cos \theta -m A \sin \theta \end{cases}\]

abbiamo

    \[\hspace{2cm} \begin{aligned} a_{y} & = -\dfrac{1}{m} \left(N \cos \theta - mg + Nk \sin \theta\right) = -\dfrac{1}{m} (-mg + N (\cos \theta + k \sin \theta)) = \\ & = -\dfrac{1}{m} (-mg + (\cos \theta + k \sin \theta) (mg \cos \theta - ma \sin \theta)) = \\ & = -\dfrac{1}{m} (-mg +mg \cos^2 \theta - mA \sin \theta \, \cos \theta + kmg \, \cos \theta \, \sin \theta - mAk \, \sin^2 \theta) =\\ & = -\dfrac{1}{m} ( -mg \sin^2 \theta - mA \sin \theta \cos \theta +kmg \cos \theta \, \sin \theta - mAk \sin^2 \theta) = \\ & = -\dfrac{1}{m} \sin \theta (-mg \sin \theta - mA \cos \theta + kmg \cos \theta - mAk \sin \theta) = \\ & = \dfrac{1}{m} \sin \theta (mg \sin \theta -kmg \cos \theta + A (m \cos \theta + mk \sin \theta))=\\ &=\sin \theta \left(g \sin \theta - gk \cos \theta+ A (k \sin \theta + \cos \theta)\right) . \end{aligned}\]


 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...






    Document



    • error: Il contenuto è protetto!!