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Esercizio sistemi di punti materiali 22

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Esercizio sistemi di punti materiali 22

Esercizio sui sistemi di punti materiali 22 rappresenta il ventiduesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 21, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 23.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 22

Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).  Un cuneo a sezione triangolare, di massa M, lunghezza L e altezza h, poggia e può scorrere senza attrito su un piano orizzontale fisso, come in figura 1. In cima al piano inclinato in quiete è poggiato un piccolo dado pesante di massa m. Si lascia libero il dado di scivolare lungo il piano inclinato. Calcolare:

  1. di quanto si sarà spostato il cuneo quando il dado avrà raggiunto il piano orizzontale;
  2. quanto valgono le componenti v_x e v_y della velocità del dado quando la velocità del cuneo è V_x;
  3. la velocità del cuneo all’istante in cui il dado arriva in fondo al piano inclinato, nell’ipotesi che non vi sia attrito tra cuneo e dado.

 

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Figura 1.

 

Svolgimento punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento Oxy fisso come in figura 2

 

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Figura 2.

 

Nel sistema composto da m e M, lungo l’asse x, non ci sono forze esterne quindi la quantità di moto si conserva parzialmente1 o, in altri termini, il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme o rimane in quiete. Nel nostro caso, inizialmente il sistema è in quiete quindi la posizione del centro di massa rimane la stessa a prescindere dalla posizione che hanno m e M rispetto al sistema di riferimento che abbiamo scelto. Consideriamo la seguente figura dove abbiamo rappresentato la situazione iniziale, ovvero cosa accade all’istante di tempo t=0.

 

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Figura 3.

 

Dalla figura 3 determiniamo la posizione del centro di massa2

\[x_{cm,i}=\dfrac{Mx_M}{m+M},\]

dove x_M è l’ascissa del centro di massa del cuneo. In figura 4 rappresentiamo la situazione finale, ovvero quando la massa m avrà raggiunto la fine del piano inclinato e sarà arrivata sul piano orizzontale, dove x è la distanza di cui è arretrato il cuneo.

 

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Figura 4.

 

Calcoliamo la posizione del centro di massa in tale istante

\[x_{cm,f}=\dfrac{m(L-x)+M(x_M-x)}{m+M}\]

ed imponendo che

\[\begin{aligned} &x_{cm,f}=x_{cm,i} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{m(L-x)+M(x_M-x)}{m+M}=\dfrac{Mx_M}{m+M} \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \Leftrightarrow \quad m(L-x)+M(x_M-x)=Mx_M\quad \Leftrightarrow \quad mL-mx+Mx_M-Mx=Mx_M\quad \Leftrightarrow \quad\\\\ & \Leftrightarrow \quad mL-mx-Mx=0\,\,[m]\quad \Leftrightarrow \quad x(m+M)=ML\quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{ML}{m+M}. \end{aligned}\]

Possiamo concludere che lo spazio di cui è arretrato il cuneo è

\[\boxcolorato{fisica}{ x=\dfrac{ML}{m+M}. }\]

 


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