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Esercizio sistemi di punti materiali 22

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 22 rappresenta il ventiduesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 21, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 23.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

 

Testo esercizio sistemi di punti materiali 22

Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).  Un cuneo a sezione triangolare, di massa M, lunghezza L e altezza h, poggia e può scorrere senza attrito su un piano orizzontale fisso, come in figura. In cima al piano inclinato in quiete è poggiato un piccolo dado pesante di massa m. Si lascia libero il dado di scivolare lungo il piano inclinato. Calcolare:

  1. di quanto si sarà spostato il cuneo quando il dado avrà raggiunto il piano orizzontale;
  2. quanto valgono le componenti v_x e v_y della velocità del dado quando la velocità del cuneo è V_x;
  3. la velocità del cuneo all’istante in cui il dado arriva in fondo al piano inclinato, nell’ipotesi che non vi sia attrito tra cuneo e dado.

 

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Figura 1.

 

Svolgimento punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento Oxy fisso come in figura 2.

\[\quad\]

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Figura 2.

\[\quad\]

Nel sistema composto dal dado di massa m e dal cuneo di massa M non agiscono forze esterne lungo l’asse x; si conserva quindi la componente orizzontale della quantità di moto1. Equivalentemente, l’ascissa del centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme. Poiché il sistema è inizialmente in quiete, la velocità orizzontale del centro di massa è nulla e la sua ascissa rimane costante. La coordinata verticale del centro di massa, invece, può variare.

Consideriamo la figura seguente, nella quale è rappresentata la situazione iniziale, all’istante t=0.

\[\quad\]

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Figura 3.

\[\quad\]

Dalla figura 3 determiniamo l’ascissa iniziale del centro di massa2

\[ x_{cm,i}=\dfrac{Mx_M}{m+M}, \]

dove x_M è l’ascissa del centro di massa del cuneo.

In figura 4 rappresentiamo la situazione finale, ossia l’istante in cui la massa m ha raggiunto la fine del piano inclinato ed è arrivata sul piano orizzontale; indichiamo con x la distanza di cui è arretrato il cuneo.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 4.

\[\quad\]

Calcoliamo l’ascissa del centro di massa in tale istante:

\[ x_{cm,f}=\dfrac{m(L-x)+M(x_M-x)}{m+M}. \]

Imponendo x_{cm,f}=x_{cm,i}, otteniamo

\[ \begin{aligned} &x_{cm,f}=x_{cm,i} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{m(L-x)+M(x_M-x)}{m+M}=\dfrac{Mx_M}{m+M} \quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad m(L-x)+M(x_M-x)=Mx_M\quad \Leftrightarrow \quad mL-mx+Mx_M-Mx=Mx_M\quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \quad mL-mx-Mx=0\quad \Leftrightarrow \quad x(m+M)=mL\quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{mL}{m+M}. \end{aligned} \]

Possiamo concludere che lo spazio di cui è arretrato il cuneo è

\[\boxcolorato{fisica}{ x=\dfrac{mL}{m+M}. }\]

   

  1. Conservazione della componente orizzontale della quantità di moto. Se la risultante delle forze esterne lungo una determinata direzione è nulla, la corrispondente componente della quantità di moto totale rimane costante ↩

    2.    

    1. Si ricorda che la posizione del centro di massa è definita come

      \[ \vec{r}_{cm}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k}. \]

      ↩


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