Sistemi di punti materiali 21

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 21 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Una conca semisferica di massa M e raggio r è appoggiata ad una parete verticale e può scorrere senza attrito lungo l’asse orizzontale. Un corpo di massa m è abbandonato con velocità nulla dalla cima della conca come mostrato in figura. Trascurando l’attrito tra la conca e il corpo m, calcolare:
a) l’altezza massima raggiunta dal corpo m dopo che la conca si è staccata dalla parete verticale;
b) la velocità della conca nell’istante in cui m raggiunge l’altezza massima;
c) la velocità massima raggiunta dalla conca.

 

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Svolgimento punto a.  Scegliamo un sistema di riferimento inerziale fisso Oxy avente asse x coincidente con il piano orizzontale e asse y coincidente con la parete verticale (vedi figura 1). Inoltre, siano \hat{t} e \hat{n} i versori di un sistema di riferimento con asse tangente alla guida e asse normale alla guida tale che istante per istante l’origine di tale sistema di riferimento coincida con il punto materiale m.

 

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In figura 1 rappresentiamo il corpo m in un generico istante t, denotando con \tilde{x} la sua posizione lungo l’asse x all’istante t tale che 0<\tilde{x}<r. Sia \theta l’angolo formato dal raggio che unisce il centro con il punto materiale e la verticale ed osserviamo che tra m e la conca si genera la reazione vincolare \vec{N} dovuta al contatto tra i due, inoltre, per il terzo principio della dinamica, si genera sulla conca una forza uguale e opposta -\vec{N} (vedi figura 1) che proiettata lungo l’asse x e l’asse y è data da:

    \[-\vec{N} =- N \sin \theta \; \hat{x} - N \cos \theta \; \hat{y}.\]

La forza Nx = - N \sin \theta spinge la conca lungo la parete verticale, quindi finchè la massa m si trova in una generica posizione \tilde{x}, con 0<\tilde{x}<r, la conca non si muoverà.
Dal momento che la conca e la parete verticale sono a contatto, quest’ultima risponde alla sollecitazione della conca con una forza verticale \vec{R} (vedi figura 1).
Per il secondo principio della dinamica, finché la massa m si trova tra 0<\tilde{x}<r, per la conca, lungo l’asse x, abbiamo

    \[R- N \sin \theta = 0.\]

Rappresentiamo ora m nella figura 2 in un generico istante t tale che la sua posizione rispetto all’asse x sia x^* con x_M<x^*<2r+x_M dove x_M è la posizione del centro di massa della conca lungo l’asse x in un generico istante (vedi figura 2).
Denotiamo di nuovo con \theta l’angolo formato dal raggio che unisce il punto materiale con la verticale come mostrato in figura 2[1]

 

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Possiamo osservare che la conca si è staccata dalla parete verticale in quanto soggetta alla forza orizzontale N \sin \theta responsabile di farla muovere nella direzione positiva dell’asse delle x (sempre quando il punto materiale si trova in una generica posizione x_M<x^*<2r+x_M).
Ci viene richiesto di determinare l’altezza massima raggiunta da m rispetto al sistema Oxy dopo che la conca si è spostata dall’asse verticale. Per ottenere ciò, dobbiamo imporre che esista un certo istante t tale che m abbia velocità relativa nulla rispetto alla conca.
Vogliamo determinare la velocità del punto materiale m quando arriva in x=r. In tale situazione, osserviamo che agiscono solo forze conservative, quindi, si conserva l’energia meccanica del sistema. Considerando che all’istante iniziale l’energia è solo potenziale poiché tutto è in quiete, abbiamo:

    \[U_1 = mgr,\]

avendo scelto l’asse delle x come livello zero dell’energia potenziale.
Nella seguente figura è rappresentato il punto materiale m nell’istante iniziale.

 

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Ora consideriamo l’istante di tempo quando m si trova in x=r (vedi figura 4). In tale situazione, il punto materiale m possiede una velocità diretta lungo l’asse x di modulo v_2 e quindi il punto materiale ha energia cinetica K_2 ed energia potenziale nulla (poichè si trova a quota nulla), dunque

    \[K_2=\dfrac{1}{2}mv_2^2.\]

Nella seguente figura è rappresentata la situazione sopra descritta.

 

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Dalle precedenti considerazioni e dalla conservazione dell’energia abbiamo

    \[K_2=U_1\quad \Leftrightarrow \quad mgr=\dfrac{1}{2}mv_2^2,\]

da cui

    \[v_2=\sqrt{2gr}.\]

Osserviamo che per 0<\tilde{x}<r è presente la forza esterna \vec{R} quindi non si conserva la quantità di moto mentre per x_M<x^*<2r+x_M si annulla perché non c’è più contatto tra la conca e il piano verticale, dunque, non ci sono forze esterne lungo l’asse x e si conserva la quantità di moto lungo l’asse x, in altri termini, si conserva la quantità di moto parzialmente rispetto all’asse x.\\
Sia v_M la velocità della conca in un generico istante t e sia v_{m,x} la velocità lungo l’asse x di m. Dalla conservazione della quantità di moto possiamo scrivere

(1)   \begin{equation*} Mv_M + mv_{m,x} = m \sqrt{2gr} \qquad \text{per}\,\,\,\, x_M<x^*<2r+x_M. \end{equation*}

Ora consideriamo l’istante di tempo in cui m ha velocità relativa nulla rispetto alla conca, chiamiamo K_f l’energia cinetica finale del sistema, U_f l’energia potenziale finale in tale istante e notiamo che conca e punto materiale m hanno la stessa velocità orizzontale in tale istante rispetto al sistema Oxy.
Calcoliamo K_f e U_f:

(2)   \begin{equation*} K_f=\dfrac{1}{2}mv_M^2 + \dfrac{1}{2}Mv_M^2 \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} U_f= mg \, y_{max}, \end{equation*}

dove y_{max} è la quota massima raggiunta da m (vedi figura 5).

 

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Sommando membro a membro di (2) e (3) otteniamo

    \[K_f+U_f=\dfrac{1}{2}Mv_M^2 + \dfrac{1}{2}mv_M^2 + mg \, y_{max}\]

e dalla conservazione dell’energia abbiamo

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}Mv_M^2 + \dfrac{1}{2}mv_M^2+mg y_{max} = mg r. \end{equation*}

Mettiamo a sitema (1) e (4):

    \[\begin{cases} Mv_M + mv_M = m \sqrt{2gr}\\ \dfrac{1}{2}M{v_M}^2 + \dfrac{1}{2} mv_M^2 + mg \, y_{max} = mgr \end{cases}\]

da cui

    \[\dfrac{1}{2}(M+m) \dfrac{m^2(2gr)}{(M+m)^2} + mg\, y_{max} = mgr.\]

Sviluppando i calcoli arriviamo a

    \[\begin{aligned} y_{max} = \dfrac{mgr-\dfrac{1}{2} \dfrac{2m^2gr}{M+m}}{mg} = \dfrac{\dfrac{2(M+m)mgr - 2m^2gr}{2(M+m)}}{mg} = \dfrac{\dfrac{2Mmgr}{2(M+m)}}{mg} = \dfrac{Mr}{M+m}. \end{aligned}\]

Concludiamo che l’altezza richiesta è

 

    \[\boxcolorato{fisica}{ y_{max}=\dfrac{Mr}{M+m}.}\]

 

Osservazione. Osserviamo che

    \[y_{max}=\dfrac{Mr}{M+m}=\dfrac{r}{1+\dfrac{m}{M}},\]

da cui, per M\to+\infty, si ha

    \[y_{max}\to r,\]

ovviamente.

 

 

Svolgimento punto b.  Sostituendo y_{max}, come appena ottenuta, in (4) arriviamo a

    \[\begin{aligned} & \dfrac{1}{2}M{v_M}^2 + \dfrac{1}{2}m{v_M}^2 + mg \; \dfrac{Mr}{m+M} = mgr \quad\Leftrightarrow\quad {v_M}^2(M+m) + 2mg \; \dfrac{Mr}{M+m} = 2mgr \quad\Leftrightarrow\quad \\\\ & \Leftrightarrow\quad v_M = \sqrt{\dfrac{2mgr-\frac{2mgMr}{M+m}}{M+m}} \quad\Leftrightarrow\quad v_M = \sqrt{\dfrac{2mgr(M+m)-2mgMr}{(M+m)^2}}\quad\Leftrightarrow\quad \\\\ &\Leftrightarrow\quad v_M = \dfrac{m}{m+M} \sqrt{2gr}. \end{aligned}\]

Dunque concludiamo che la velocità nell’istante in cui m raggiunge l’altezza massima è:

    \[\boxcolorato{fisica}{v_M = \dfrac{m}{m+M} \sqrt{2gr}. }\]

 

Svolgimento punto c.  Per il terzo punto del problema dobbiamo capire cosa succede dopo che la massa m raggiunge la quota massima. \\
Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime solidale con la conca, avente assi x^\prime e y^\prime che mantengono sempre la stessa direzione rispetto al sistema di riferimento fisso Oxy e paralleli a quest’ultimi, in particolare con x^\prime\equiv x e origine O^\prime coincidente con la posizione lungo l’asse x del centro di massa della conca a quota nulla ovvero O^\prime\equiv(x_M,0) (vedi figura 6).
Notiamo che nell’istante in cui m raggiunge la quota massima sarà soggetta, nel sistema di riferimento precedentemente descritto, alla forza apparente -m\vec{A}, con \vec{A} accelerazione della conca orientata nel verso positivo dell’asse x del sistema di riferimento fisso che farà tornare indietro la massa m in tale sistema di riferimento.

 

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Come detto, finché m si troverà tra x_M<x^*<x_M+2r rispetto al sistema di riferimento fisso, sulla conca sarà applicata la componente orizzontale della reazione normale che continuerà a spingere la conca verso destra e a farla accelerare, quindi la velocità massima della conca viene raggiunta quando nel sistema di riferimento non inerziale solidale con la conca, la massa m raggiunge il punto più basso della conca ovvero quando la massa m si ritrova allineata con il centro della semisfera.
Il punto materiale m in tale istante avrà una velocità v^* rispetto al sistema fisso orientata nel verso positivo dell’asse x (vedi figura 7).

 

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Raggiunto il punto C la massa m nel sistema di riferimento solidale con la conca continuerà a salire e la conca sarà soggetta alla componente orizzontale della reazione vincolare che la farà decelerare, quindi la velocità massima sarà raggiunta nell’istante in cui il punto materiale si trova nel punto più basso della conca. In generale, il punto materiale continuerà a salire fino a quando la conca non si fermerà rispetto al sistema di riferimento fisso per poi cominciare a muoversi nel verso dell’asse negativo delle x. Inoltre, m continuerà a salire dentro la conca fino a quando successivamente ad un istante t^* avrà velocità relativa nulla rispetto alla conca, per poi ritornare indietro in un sistema di riferimento solidale con essa, e così via per un tempo infinito, poiché si conserva l’energia.
Ora imponiamo la conservazione dell’energia considerando l’istante in cui la conca raggiunge la velocità massima: l’energia totale del sistema è solamente data da quella cinetica

    \[K^*=\dfrac{1}{2}m(v^*)^2+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2\]

e dalla conservazione dell’energia abbiamo

(5)   \begin{equation*} K^*=U_1\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}m(v^*)^2+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2=mgr \end{equation*}

dove, come già detto, v^* è il modulo della velocità di m rispetto al sistema di riferimento fisso e V_{max} è la velocità della conca in tale istante.\\
Imponendo la conservazione della quantità di moto possiamo scrivere la seguente equazione

(6)   \begin{equation*} mv^*+MV_{max}=m\sqrt{2gr}. \end{equation*}

Mettendo a sistema (5) e (6) abbiamo

    \[\begin{cases} \dfrac{1}{2}m(v^*)^2+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2=mgr\\ \\ mv^*+MV_{max}=m\sqrt{2gr} \end{cases}\]

da cui

    \[\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{m\sqrt{2gr}-MV_{max}}{m} \right)^2+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2=mgr.\]

Sviluppando i calcoli otteniamo

    \[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{m\sqrt{2gr}-MV_{max}}{m} \right)^2+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2=mgr\quad\Leftrightarrow\quad \\\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{2m^2gr+M^2V^2_{max}-2mMV_{max}\sqrt{2gr}}{m^2} \right)+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2=mgr\quad\Leftrightarrow\quad \\\\ &\Leftrightarrow\quad mgr+\dfrac{M^2V^2_{max}}{2m}-MV_{max}\sqrt{2gr}+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2=mgr\quad\Leftrightarrow\quad \\\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{M^2V^2_{max}}{2m}-MV_{max}\sqrt{2gr}+\dfrac{1}{2}MV_{max}^2=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{MV_{max}}{2m}-\sqrt{2gr}+\dfrac{1}{2}V_{max}=0\quad\Leftrightarrow\quad V_{max}=\dfrac{2m\sqrt{2gr}}{m+M} \end{aligned}\]

e dunque concludiamo che la velocità massima richiesta è

    \[\boxcolorato{fisica}{ V_{max}=\dfrac{2m\sqrt{2gr}}{m+M}.}\]

 

 

1. Osserviamo che il centro di massa della conca non coincide con il centro della semicirconferenza. ↩

 

 

Fonte: esami di fisica 1, 14/09/2018 universita degli studi di Palermo.