Home » Sistemi di punti materiali 5
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Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due masse, considerate puntiformi, m_1 ed m_2, poste su un piano orizzontale senza attrito, comprimono una molla di costante elastica k di una lunghezza x_M e sono collegate da un filo di massa trascurabile.La massa m_2 si trova inizialmente a una distanza x_1 dal bordo di uno scalino di altezza h. All’istante t=0\, s il filo viene tagliato e la molla si decomprime. La massa m_2 percorre la traiettoria di figura e tocca terra a una distanza x_2>x_1\gg x_M dallo scalino, impiegando un tempo totale t_t dall’istante iniziale t=0\,\, s. Si determini:
a) la velocità della massa m_1 dopo la decompressione della molla;
b) l’altezza h dello scalino;
c) la compressione x_M iniziale della molla.

 

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Svolgimento punto 1. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy orientato come in figura 1

 

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Sul sistema composto da m_1 e m_2, lungo l’orizzontale, non sono presenti forze esterne quindi si conserva la quantità di moto.

All’inizio è tutto in quiete, quindi la quantità di moto iniziale del sistema è nulla

    \[p_{i,x}=0\,\text{kg}\cdot \text{m}\cdot{s}^{-1},\]

poi, subito dopo la decompressione della molla, m_1 si muove nel verso negativo delle x mentre m_1 nel verso positivo, dunque si ha

    \[p_{f,x}=m_1v_{f,1}- v_{f,2}\]

dove v_{f,1} è il modulo della velocità di m_1 e v_{f,2} è il modulo la velocità di m_2 subito dopo la decompressione della molla. Dalla conservazione della quantità di moto abbiamo

(1)   \begin{equation*} m_1v_{f,1} = m_2 v_{f,2}. \end{equation*}

Per il principio d’inerzia [1]  il corpo m_2 si muove di moto rettilineo uniforme lungo tutto il tragitto x=x_1 e per x>x_1 il punto si muove di moto parabolico [2]. Dunque lungo l’asse x la legge oraria del corpo è data da

    \[x_2(t)= v_{f,2}t\]

e posto t=t_t si ha

    \[(x_1+x_2)=v_{f,2}\; t_t\quad \Leftrightarrow \quad v_{f,2}=\dfrac{x_1+x_2}{t_t} .\]

Sostituendo v_{f,2} in (1), otteniamo

    \[v_{f,1}=\dfrac{m_2}{m_1}\left(\dfrac{x_1+x_2}{t_t} \right) .\]

Si conclude che la velocità di m_1 subito dopo la decompressione della molla è

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_{f,1}=\dfrac{m_2}{m_1}\left(\dfrac{x_1+x_2}{t_t} \right) .}\]

 

Punto b. Scegliamo un nuovo sistema di riferimento Oxy come in figura 2

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Raggiunto il bordo dello scalino, il moto di m_2 è parabolico dato che è soggetto solo alla forza peso. Dunque, dalla cinematica, otteniamo:

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} y(t)=h-\frac{1}{2}gt^2\\\\ x(t)=v_{0,2}t \end{cases} \end{equation*}

Posto y(t)=0\,\,\left[\dfrac{m}{s}\right] e x(t)=x(t^\star)=x_2 otteniamo

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} h=\frac{1}{2}g(t^\star)^2\\\\ x_2=v_{0,2}t^\star. \end{cases} \end{equation*}

Elevando al quadrato (3)_2

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} h=\frac{1}{2}g(t^\star)^2\\\\ x_2^2=v^2_{0,2}(t^\star)^2 \end{cases} \end{equation*}

e facendo il rapporto membro a membro tra (4)_1 e (4)_2 abbiamo

    \[h = \dfrac{1}{2} \, g \, \dfrac{x_2^2}{v_{0,2}^2}.\]

Si conclude che la velocità subito dopo la decompressione della molla è

    \[\boxcolorato{fisica}{ h = \dfrac{1}{2} \, g \, \dfrac{x_2^2}{v_{0,2}^2}.}\]

 

 

1. Primo principio della dinamica o principio d’inerzia.. Un corpo persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo tale corpo non agiscono forze.} il corpo m_2 si muove di moto rettilineo uniforme lungo tutto il tragitto x=x_1 e per x>x_1 il punto si muove di moto parabolico \footnote{Composizione di due moti indipendenti: lungo l’orizzontale abbiamo un moto rettilineo uniforme e lungo la verticale abbiamo un moto rettilineo uniformemente accelerato.

2. Composizione di due moti indipendenti: lungo l’orizzontale abbiamo un moto rettilineo uniforme e lungo la verticale abbiamo un moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

Fonte: Esercizi e problemi di fisica di Paolo Sartori.