Esercizio 6 . Due masse puntiformi
e
sono inizialmente ferme nell’origine dell’asse
. All’istante
la massa
inizia a muoversi con un’accelerazione
mentre
parte con una velocità
che resta costante. Determinare dopo quanto tempo il centro di massa del sistema transita nell’origine e la sua velocità in quell’istante.
Effettuare i calcoli per: ,
,
,
.
Svolgimento. Abbiamo un sistema di due punti materiali non isolato pertanto l’accelerazione del centro di massa è diversa da zero, in altri termine il moto del centro di massa è un moto vario.
Scegliamo un sistema di riferimento fisso con origine centrato nella posizione iniziale delle due masse.
Scriviamo la definizione della posizione del centro di massa per un sistema di due punti materiali unidimensionale di massa rispettivamente ed
, la cui equazione del moto è data rispettivamente da
ed
.
La posizione del centro di massa al tempo generico è data dalla seguente relazione:
(1)
Dalla cinematica ricordiamo che la velocità è la derivata prima rispetto al tempo della posizione per cui
(2)
e
(3)
Analogamente essendo l’accelerazione la derivata prima rispetto al tempo della velocità si ha che
(4)
e
(5)
Per si ha
(6)
Sapendo che si trova che
, da cui
(7)
Si ha
(8)
Nuovamente, dalle condizioni iniziali, sappiamo che , quindi
.
La legge oraria del punto materiale è
(9)
Per il punto materiale , sapendo che si muove di moto rettilineo uniforme nel verso negativo delle
, si ha
(10)
Dunque, dalla (9) e (10), si ottiene la posizione del centro di massa, ovvero:
(11)
Ponendo
(12)
si trova che
(13)
cioè
(14)
Il centro di massa si trova nell’origine all’istante iniziale e all’istante
s. Si conclude che il tempo cercato è:
Per calcolare la velocità del centro di massa deriviamo (11), ottenendo:
(15)
da cui, sostituendo in
, si ottiene:
Per completezza riportiamo i grafici di e
.
Si osservi che si poteva calcolare la velocità del centro di massa anche dalla definizione, ossia .
Approfondimento. Proponiamo un procedimento alternativo per calcolare applicando il noto metodo della somiglianza. Per il corpo 1 è possibile imporre il seguente problema di Cauchy:
(16)
Dobbiamo risolvere una equazione differenziale del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e non omogenea.
Dalla teoria dell’equazioni differenziali ricordiamo che
(17)
dove è la soluzione dell’omogenea associata mentre
è la soluzione particolare.
Troviamo prima la soluzione dell’omogenea associata, ossia
(18)
L’equazione caratteristica è:
(19)
per cui ha molteplicità doppia.
La soluzione dell’omogenea associata è ():
(20)
con e
costanti reali da fissare con le opportune condizioni al contorno.
Applicando il metodo della somiglianza, si trova che la soluzione particolare è
(21)
Derivando due volte si trova
(22)
Sostituendo nella prima equazione di (16), si ottiene:
(23)
da cui è possibile impostare il seguente sistema:
(24)
cioè
(25)
Abbiamo dunque
(26)
Derivando e imponendo le condizioni del problema di Cauchy, si ottiene
(27)
per cui
(28)
come ottenuto in precedenza.
Fonte: esercizio numero 2 dell’esame di fisica 1 del 14 luglio 2016 del corso di fisica 1 dell’università di Roma Tor Vergata.