Home » Sistemi di punti materiali 7
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Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una massa puntiforme m_1 è attaccata tramite un filo di lunghezza L e massa trascurabile ad un anello di massa m_2. L’anello m_2 può scorrere senza attriti lungo una guida rettilinea orizzontale. All’istante iniziale la massa m_1 è ferma alla stessa quota dell’anello (filo orizzontale). Nell’istante in cui il filo è in direzione verticale, determinare:

a) la velocità della massa m_1;

b) di quanto risulta spostata la massa m_2 rispetto alla posizione iniziale.

Eseguire i calcoli numerici con m_1=0.5\,\text{kg}, m_2=1.5\,\text{kg}, L=60\,\text{cm}.

 

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Svolgimento punto a. Fissiamo innanzitutto un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy in corrispondenza della posizione iniziale dell’anello con l’asse y diretto verso l’alto come illustrato in figura 1.

 

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Il sistema fisico in esame è un sistema di due punti materiali (il filo ha massa trascurabile), in cui lungo l’asse delle x non agiscono forze esterne per cui si conserva la quantità di moto del centro di massa lungo questa direzione, ossia

(1)   \begin{equation*} M_{tot}V_{CM,x}(t)=cost \quad \Leftrightarrow \quad m_1v_{1,x}(t)+m_2v_{2,x}(t)=cost, \end{equation*}

dove M_{tot}=m_1+m_2, v_{1,x} la velocità lungo l’asse delle x di m_1 e v_{2,x} la velocità lungo
l’asse delle x di m_2, entrambe in un generico istante t.
Poiché al tempo t=0\,\text{s} entrambi i corpi sono fermi, ossia v_{1,x}(0)=v_{2,x}(0)=0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}, allora la costante nell’eq.(1) è proprio 0. Quindi per ogni istante di tempo t

(2)   \begin{equation*} m_1v_{1,x}(t)+m_2v_{2,x}(t)=0. \end{equation*}

Dall’eq.(2) segue che il centro di massa è in quiete per ogni istante di tempo t.
Consideriamo adesso l’evoluzione del sistema quando il filo che collega le due masse è in posizione verticale come figura 2. Nell’intero processo le uniche forze agenti sono le reazioni vincolari e le tensioni del filo che non compiono lavoro, e la forza peso che è conservativa: quindi l’energia meccanica del sistema si conserva.

 

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Fissato, arbitrariamente, lo zero dell’energia gravitazionale in corrispondenza del punto più basso al quale giunge la massa m_2 quando il filo è in posizione verticale abbiamo:

(3)   \begin{equation*} \frac{1}{2}m_1v_{1}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2}^2=m_1gL \end{equation*}

L’equazione (3) traduce il processo fisico mediante il quale tutta l’energia potenziale gravitazionale posseduta dal corpo di massa m_1 viene convertita in energia cinetica distribuita tra lo stesso m_1 ed anche l’anello di massa m_2.
Osserviamo che nell’eq.(3) sono presenti i moduli al quadrato delle velocità (ad esempio v_{1}^2=v_{1,x}^2+v_{1,y}^2) ma noi abbiamo solo informazioni sulle componenti x (tramite l’eq.(2)). In realtà quando il filo è orizzontale il vettore velocità di entrambi i corpi è ortogonale alla direzione del filo, ossia \vec{v}_{1}=\vec{v}_{1,x} e \vec{v}_{2}=\vec{v}_{2,x}. \newline
Mettendo a sistema l’eq.(3) con l’eq.(2) (valutata all’istante di tempo per cui il filo risulta essere verticale) otteniamo

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{1}{2}m_1v_{1}^2+\dfrac{1}{2}m_2v_{2}^2=m_1gL \\\\ m_1v_{1}-m_2v_{2}=0. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{1}{2}m_1\left(\dfrac{m_{1}v_{1}}{m_2}\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2v_{2}^2=m_1gL \\\\ v_{2}=\dfrac{m_1v_{1}}{m_2}. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} {m_{1}v_{1}^2}+\dfrac{m_{1}^2}{m_{2}}v_{1}^2=2m_1gL \\\\ v_{2}=\dfrac{m_1v_{1}}{m_2} \end{cases} \nonumber \end{equation*}

o anche

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\cancel{m_{1}}(m_{1}+m_{2})}{m_{2}}v_{1}^2=2\cancel{m_1}gL \\\\ v_{2}=\dfrac{m_1v_{1}}{m_2} \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} v_{1}=\sqrt{\dfrac{2m_2gL}{m_1+m_2}}\\\\ v_{2}=\dfrac{m_1v_{1}}{m_2}. \end{cases} \end{equation*}

Si conclude che

 

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_{1}=\sqrt{\frac{2m_2gL}{m_1+m_2}}=\text{2,97}\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.}\]

 

Punto b).  Per la risoluzione del secondo punto possiamo sfruttare ciò che abbiamo appreso da quello precedente: la coordinata della posizione del centro di massa non cambia durante il moto dei due corpi in esame. Prendiamo come sistema di riferimento fisso lo stesso usato in figura 1. La coordinata iniziale del centro di massa sarà dunque

(6)   \begin{equation*} x_{CM,i}=\frac{-m_1L}{m_1+m_2}. \end{equation*}

Come detto, poichè la coordinata del centro di massa resta invariata nel tempo significa che il sistema dei due punti materiali evolverà in maniera tale che

(7)   \begin{equation*} x_{CM,f}=x_{CM,i}=-\frac{m_1L}{m_1+m_2}. \end{equation*}

Per definizione la coordinata x finale del centro di massa è data da

(8)   \begin{equation*} x_{CM,f}=\frac{x_{1,f}m_1+x_{2,f}m_2}{m_1+m_2}, \end{equation*}

con x_{1,f} ed x_{2,f} le coordinate finali rispettivamente del corpo m_1 ed m_2.
Poiché nella situazione finale il filo è verticale allora x_{1,f}= x_{2,f} (vedi figura 3) per cui

(9)   \begin{equation*} x_{CM,f}=x_{1,f}. \end{equation*}

 

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Confrontando l’eq.(9) con l’eq.(7) segue che l’anello si è spostato, rispetto alla posizione iniziale, di una distanza pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ D=\left|\frac{-m_1L}{m_1+m_2}\right|=\text{0,15}\,\text{m} . }\]

 

 

Fonte: Traccia di esame di Fisica 1, Tor Vergata.