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Esercizio 40  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si consideri un sistema costituito da due punti materiali di massa m_1 e m_2, collegati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo trascurabile. Il sistema è vincolato a muoversi su un piano orizzontale liscio. Al tempo t=0 le due masse sono poste in quiete a distanza l_0 tra di loro e successivamente vengono lasciate libere di muoversi.
Si dimostri che per qualsiasi t>0 l’energia potenziale elastica del sistema vale

    \[U(t)=\dfrac{1}{2}k\left[x_2(t)-x_1(t)\right]^2,\]

dove x_1(t) e x_2(t) sono rispettivamente le posizioni di m_1 e m_2 al tempo t in un opportuno sistema di riferimento.

 

 

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Svolgimento.

Il sistema ha la libertà di spostarsi su un piano orizzontale bidimensionale. Tuttavia, dalle premesse del problema emergono evidenze che indicano il moto del sistema come unidimensionale, sviluppandosi esclusivamente lungo la direzione della molla al tempo t=0. Questo è giustificato dal fatto che, all’istante t=0, il sistema è in uno stato di quiete, privo di momenti torcenti in grado di avviare una rotazione delle due masse, limitando così il moto a una sola dimensione. Di conseguenza, per una descrizione accurata del problema, possiamo adottare un sistema di riferimento inerziale Oxz, solidale con il piano orizzontale. In questo sistema, l’origine O coincide con la posizione x_1(0) di m_1 al tempo t=0, mentre l’asse x si estende in direzione di m_2, con x_2(0) = l_0, come illustrato nella figura 1. Denoteremo con \hat{x} il versore associato all’asse x. Le coordinate lungo l’asse x di m_1 e m_2 al tempo t saranno indicate rispettivamente come x_1(t) e x_2(t), mentre le loro velocità saranno \dot{x}_1(t) e \dot{x}_2(t). Dalle condizioni iniziali, \dot{x}_1(0) = \dot{x}_2(0) = 0. Procediamo ora all’identificazione delle forze che agiscono sul sistema. Su m_1 e m_2 operano le forze peso m_1\vec{g} e m_2\vec{g}, entrambe dirette lungo l’asse z negativo, e le reazioni vincolari \vec{N}_1 e \vec{N}_2 del piano orizzontale, orientate nel verso positivo di z. Poiché il piano di movimento di m_1 e m_2 è privo di attrito, tali forze sono trascurabili ai fini del problema. Infine, nel sistema operano le due forze elastiche \vec{F}_1 e \vec{F}_2, che agiscono su m_1 e m_2 rispettivamente e tendono a ripristinare la molla alla sua lunghezza a riposo. Tutte queste forze sono illustrate nella figura 2.    

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Le forze elastiche \vec{F}_1 e \vec{F}_2 possono essere descritte attraverso la legge di Hooke come il prodotto tra la costante elastica k e l’allungamento della molla rispetto alla sua posizione di riposo. Poiché in questo caso la lunghezza a riposo della molla è trascurabile, il suo allungamento è pari alla sua lunghezza in ogni istante t, cioè x_2(t)-x_1(t):

(1)   \begin{equation*} \vec{F}_1(t) = k\left[x_2(t)-x_1(t)\right]\hat{x} \qquad \text{e} \qquad \vec{F}_2(t) = - k\left[x_2(t)-x_1(t)\right]\hat{x}. \end{equation*}

Poiché \vec{F}_1 e \vec{F}_2 sono forze interne al sistema composto da m_1, m_2 e dalla molla, in accordo con il terzo principio della dinamica, risultano essere uguali in modulo ma opposte in verso:

(2)   \begin{equation*} \vec{F}_1 = - \vec{F}_2, \end{equation*}

come evidenziato in (1).

Osservando la figura 2, si nota che lungo l’asse x non agiscono forze esterne sul sistema. Dal primo principio della dinamica, deduciamo che la quantità di moto del centro di massa del sistema

(3)   \begin{equation*} \vec{p}_{\text{CM}}(t) = \vec{p}_1(t) + \vec{p}_2(t) \end{equation*}

si conserva nella direzione dell’asse x, ossia

(4)   \begin{equation*} p_{\text{CM},x}(t) = p_{\text{CM},x}(0), \end{equation*}

che può essere espressa come

(5)   \begin{equation*} p_{1,x}(t) + p_{2,x}(t) = p_{1,x}(0) + p_{2,x}(0), \end{equation*}

dove p_{1,x}(t) = m_1\dot{x}_1(t) e p_{2,x}(t) = m_2\dot{x}_2(t) rappresentano rispettivamente le componenti x della quantità di moto di m_1 e m_2. Come precedentemente indicato, al tempo t=0, le masse m_1 e m_2 sono stazionarie nel sistema Oxz, implicando \dot{x}_1(0) = \dot{x}_2(0) = 0. Di conseguenza, si ha

(6)   \begin{equation*} p_{\text{CM},x}(0) = m_1\dot{x}_1(0) + m_2\dot{x}_2(0) = 0. \end{equation*}

Conseguentemente, per ogni tempo t\geq0, risulta p_{\text{CM},x}(t) = p_{\text{CM},x}(0) = 0. In altre parole, la quantità di moto del sistema nella direzione x è nulla durante l’intero moto. Pertanto, la coordinata x del centro di massa del sistema, indicata come x_{\text{CM}}(t), rimane costante per ogni t\geq0 e assume il medesimo valore del tempo iniziale t=0:

(7)   \begin{equation*} x_{\text{CM}}(t) = x_{\text{CM}}(0). \end{equation*}

Riformulando l’equazione (7) mediante la definizione di posizione del centro di massa, otteniamo

(8)   \begin{equation*} \dfrac{m_1x_1(t) + m_2x_2(t)}{m_1+m_2} = \dfrac{m_1x_1(0) + m_2x_2(0)}{m_1+m_2}. \end{equation*}

Considerando che x_1(0) = 0 e x_2(0) = l_0, la condizione (8) si semplifica ulteriormente a

(9)   \begin{equation*} \mbox{\fbox{$ m_1x_1(t) + m_2x_2(t) = m_2l_0. $}} \end{equation*}

L’equazione (9) può essere interpretata come una legge di conservazione per la quantità m_1x_1(t)+m_2x_2(t), risultante dalla conservazione della quantità di moto lungo la direzione dell’asse x. Da questa equazione possiamo esprimere x_1 in funzione di x_2 e viceversa:

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} x_1(t) = - \dfrac{m_2}{m_1} x_2(t) + \dfrac{m_2}{m_1}l_0, \\[14pt] x_2(t) = - \dfrac{m_1}{m_2}x_1(t) + l_0. \end{cases} \end{equation*}

Inoltre, da (9), possiamo anche esprimere la costante l_0 in funzione delle variabili x_1(t) e x_2(t), il che potrebbe sembrare inutile ora, ma sarà utile in seguito:

(11)   \begin{equation*} l_0 = \dfrac{m_1}{m_2}x_1(t) + x_2(t). \end{equation*}

Chiamiamo ora U l’energia potenziale totale del sistema. L’unico contributo a U è dovuto alle forze elastiche \vec{F}_1 e \vec{F}_2, che sono forze conservative. In generale, U sarà una funzione delle posizioni x_1 e x_2 delle due masse, le quali sono a loro volta funzioni del tempo, ovvero U = U(x_1,x_2) = U\left(x_1(t),x_2(t)\right) = U(t).

Attualmente, la forma esatta di U non è nota, ma possiamo determinarla ricordando che per definizione di energia potenziale, la forza totale che agisce su una massa è pari alla derivata parziale negativa dell’energia potenziale totale U rispetto alla posizione della stessa particella. Poiché le uniche forze che agiscono nella direzione x sono le forze elastiche F_1 e F_2, possiamo scrivere:

(12)   \begin{equation*} \begin{cases} F_1 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_1}, \\[14pt] F_2 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_2}. \end{cases} \end{equation*}

Ricordando le espressioni per F_1 e F_2 in (1), possiamo riscrivere il sistema (12) nel seguente modo:

(13)   \begin{equation*} \begin{cases} F_1 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_1} = k\left(x_2-x_1\right), \\[14pt] F_2 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_2} = -k\left(x_2-x_1\right), \end{cases} \end{equation*}

che costituisce un sistema di due equazioni differenziali accoppiate, aventi come variabili x_1 e x_2, e come incognita l’energia potenziale totale U(x_1,x_2).

Ora, utilizzando le relazioni in (10), possiamo disaccoppiare le due equazioni differenziali in (13) esprimendo x_2 in funzione di x_1 nella prima equazione e x_1 in funzione di x_2 nella seconda:

(14)   \begin{equation*} \begin{cases} - \dfrac{\partial U}{\partial x_1} = k\left[\left(-\dfrac{m_1}{m_2}x_1+l_0\right)-x_1\right], \\[14pt] - \dfrac{\partial U}{\partial x_2} = -k\left[x_2-\left(-\dfrac{m_2}{m_1}x_2+\dfrac{m_2}{m_1}l_0\right)\right]. \end{cases} \end{equation*}

Raccogliendo i termini contenenti x_1 e x_2, otteniamo:

(15)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x_1} = k\left[\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)x_1-l_0\right], \\[14pt] \dfrac{\partial U}{\partial x_2} = k\left[\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)x_2-\dfrac{m_2}{m_1}l_0\right]. \end{cases} \end{equation*}

Si tratta ora di un sistema di due equazioni differenziali disaccoppiate. Risolvendo entrambe per integrazione diretta, otteniamo:

(16)   \begin{equation*} \begin{cases} \mathcal{U}_1(x_1) = \dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)x_1^2 - kl_0x_1 + c_1, \\[10pt] \mathcal{U}_2(x_2) = \dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)x_2^2 - k\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2 + c_2, \end{cases} \end{equation*}

dove c_1 e c_2 rappresentano le costanti di integrazione.    


Osservazione importante.

da un punto di vista fisico, le funzioni \mathcal{U}_1(x_1) e \mathcal{U}_2(x_2) rappresentano le energie potenziali associate alle forze \vec{F}_1 e \vec{F}_2, rispettivamente. Sebbene \mathcal{U}_1(x_1) e \mathcal{U}_2(x_2) siano soluzioni delle equazioni differenziali (15)_1 e (15)_2, esse non costituiscono soluzioni globali U(x_1,x_2) del sistema (15). Questo si evince facilmente dal fatto che:

(17)   \begin{equation*} \dfrac{\partial\mathcal{U}_1(x_1)}{\partial x_2} = 0 \qquad \text{e} \qquad \dfrac{\partial\mathcal{U}_2(x_2)}{\partial x_1} = 0, \end{equation*}

indicando che \mathcal{U}_1(x_1) e \mathcal{U}_2(x_2) non sono soluzioni valide per l’energia potenziale totale U(x_1,x_2) del sistema.

Tuttavia, l’energia potenziale totale U(x_1,x_2) del sistema può essere calcolata come la somma delle energie potenziali associate alle forze che agiscono sul sistema, ovvero:

(18)   \begin{equation*} U(x_1,x_2) = \mathcal{U}_1(x_1) + \mathcal{U}_2(x_2). \end{equation*}

È facile verificare che la definizione di U(x_1,x_2) in questo modo costituisce una soluzione globale del sistema (15).

\medbreak

Pertanto, possiamo scrivere l’energia potenziale totale come:

(19)   \begin{equation*} U(x_1,x_2) = \dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)x_1^2+\dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)x_2^2-kl_0x_1-k\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2 + c, \end{equation*}

dove c=c_1+c_2 rappresenta una costante di integrazione generica, la quale può essere fissata scegliendo il livello di riferimento dell’energia potenziale elastica. Raccogliendo k risulta

    \[\begin{aligned} U(x_1,x_2) & = k\left[\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\dfrac{x_1^2}{2}+\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2\right] + c \\ & = k\left[\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2\right] + c. \end{aligned}\]

Successivamente, possiamo riscrivere la somma dei termini quadrati \dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2} come:

(20)   \begin{equation*} \dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2} = \dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2} - x_1x_2 + x_1x_2 = \dfrac{1}{2}\left(x_2-x_1\right)^2 + x_1x_2. \end{equation*}

Sostituendo questa espressione in U(x_1,x_2) otteniamo:

(21)   \begin{equation*} U = k\left[\dfrac{1}{2}\left(x_2-x_1\right)^2+x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2\right] + c. \end{equation*}

L’espressione di U riportata nel testo del problema e che stiamo cercando di dimostrare è:

(22)   \begin{equation*} U = \dfrac{1}{2}k\left(x_2-x_1\right)^2 + c, \end{equation*}

corrispondente al primo termine di (21). Rimane ora da dimostrare che la somma degli altri termini in (21), ossia:

(23)   \begin{equation*} x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2, \end{equation*}

è una costante che dipende solo dalle costanti del problema (m_1, m_2, l_0), ma non dalle variabili x_1 e x_2. Come prima cosa esprimiamo l_0 in funzione di x_1 e x_2, come trovato in (11):

(24)   \begin{equation*} x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-\left(\dfrac{m_1}{m_2}x_1+x_2\right)x_1-\dfrac{m_2}{m_1}\left(\dfrac{m_1}{m_2}x_1+x_2\right)x_2. \end{equation*}

Svolgendo le parentesi otteniamo:

(25)   \begin{equation*} x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-\dfrac{m_1}{m_2}x_1^2-x_1x_2-x_1x_2-\dfrac{m_2}{m_1}x_2^2, \end{equation*}

ossia:

(26)   \begin{equation*} -x_1x_2-\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}-\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}. \end{equation*}

Facendo il denominatore comune, otteniamo:

(27)   \begin{equation*} - \dfrac{2m_1m_2x_1x_2+m_1^2x_1^2+m_2^2x_2^2}{2m_1m_2}. \end{equation*}

Il numeratore può essere raccolto come un quadrato di binomio:

(28)   \begin{equation*} -\dfrac{\left(m_1x_1+m_2x_2\right)^2}{2m_1m_2}. \end{equation*}

Dall’equazione (9), ricordiamo che vale m_1x_1+m_2x_2 = m_2l_0. Ne segue che:

(29)   \begin{equation*} -\dfrac{\left(m_1x_1+m_2x_2\right)^2}{2m_1m_2} = -\dfrac{m_2^2l_0^2}{2m_1m_2} = -\dfrac{m_2}{2m_1}l_0^2, \end{equation*}

il quale dipende soltanto dalle costanti del problema (m_1, m_2 e l_0) e non da x_1 e x_2, e può quindi essere inglobato nella costante additiva arbitraria c.

Abbiamo quindi dimostrato la nostra tesi:

(30)   \begin{equation*} \fbox{\mbox{$U = \dfrac{1}{2}k\left(x_2-x_1\right)^2 + c.$}} \end{equation*}

   


Osservazione.

L’energia potenziale totale del sistema U(x_1, x_2) è stata determinata come la somma delle energie potenziali \mathcal{U}_1(x_1) e \mathcal{U}_2(x_2) associate alle forze elastiche \vec{F}_1 e \vec{F}_2. Il risultato ottenuto in (30) evidenzia che l’energia potenziale totale dipende esclusivamente dall’allungamento x_2-x_1 della molla e non dalle posizioni assolute di x_1 e x_2. Questo comportamento è in accordo con il principio secondo il quale, per la legge di Hooke, la forza elastica su entrambi gli estremi della molla dipende solo dall’allungamento della stessa.

L’energia potenziale totale del sistema U(x_1, x_2) rappresenta la somma di due contributi dovuti rispettivamente alle masse m_1 e m_2. Questo implica che nel sistema sono presenti due forze, \vec{F}_1 e \vec{F}_2, che compiono lavoro, rappresentato da L_1 e L_2. Pur avendo lo stesso modulo, queste forze agiscono su corpi di massa differente, m_1 e m_2, e compiono quindi lavori diversi.

Va notato che l’affermazione secondo cui coppie di forze uguali e opposte compiono lavori uguali e opposti è generalmente falsa in un sistema di punti materiali. Solo in un corpo rigido, dove il vincolo di rigidità assicura che tutti i punti compiano gli stessi spostamenti, coppie di forze interne uguali e opposte compiono lavori uguali e opposti. Questo dettaglio è fondamentale per il bilancio energetico totale del sistema.

In molti esercizi di fisica, si tratta il caso in cui una molla ha un’estremità vincolata a un oggetto immobile (soffitto, parete, ecc.) e l’altra estremità attaccata a una massa m libera di muoversi. In questo contesto, la forza elastica sull’estremità vincolata della molla non causa alcuno spostamento e quindi il lavoro compiuto è nullo. Quindi, in questi sistemi, l’energia potenziale totale U(x_1, x_2) si riduce all’energia potenziale elastica \mathcal{U}_1(x_1) della massa all’estremità libera della molla. È importante notare che questa situazione rappresenta solo un caso speciale e, in generale, bisogna considerare entrambi i contributi all’energia potenziale dovuti alla coppia di forze elastiche che agiscono sul sistema.