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Esercizio 40 . Si consideri un sistema costituito da due punti materiali di massa e , collegati da una molla di costante elastica e lunghezza a riposo trascurabile. Il sistema è vincolato a muoversi su un piano orizzontale liscio. Al tempo le due masse sono poste in quiete a distanza tra di loro e successivamente vengono lasciate libere di muoversi.
Si dimostri che per qualsiasi l’energia potenziale elastica del sistema vale
dove e sono rispettivamente le posizioni di e al tempo in un opportuno sistema di riferimento.
Svolgimento.
Le forze elastiche e possono essere descritte attraverso la legge di Hooke come il prodotto tra la costante elastica e l’allungamento della molla rispetto alla sua posizione di riposo. Poiché in questo caso la lunghezza a riposo della molla è trascurabile, il suo allungamento è pari alla sua lunghezza in ogni istante , cioè :
(1)
Poiché e sono forze interne al sistema composto da , e dalla molla, in accordo con il terzo principio della dinamica, risultano essere uguali in modulo ma opposte in verso:
(2)
come evidenziato in (1).
Osservando la figura 2, si nota che lungo l’asse non agiscono forze esterne sul sistema. Dal primo principio della dinamica, deduciamo che la quantità di moto del centro di massa del sistema
(3)
si conserva nella direzione dell’asse , ossia
(4)
(5)
dove e rappresentano rispettivamente le componenti della quantità di moto di e . Come precedentemente indicato, al tempo , le masse e sono stazionarie nel sistema , implicando . Di conseguenza, si ha
(6)
Conseguentemente, per ogni tempo , risulta . In altre parole, la quantità di moto del sistema nella direzione è nulla durante l’intero moto. Pertanto, la coordinata del centro di massa del sistema, indicata come , rimane costante per ogni e assume il medesimo valore del tempo iniziale :
(7)
Riformulando l’equazione (7) mediante la definizione di posizione del centro di massa, otteniamo
(8)
Considerando che e , la condizione (8) si semplifica ulteriormente a
(9)
L’equazione (9) può essere interpretata come una legge di conservazione per la quantità , risultante dalla conservazione della quantità di moto lungo la direzione dell’asse . Da questa equazione possiamo esprimere in funzione di e viceversa:
(10)
Inoltre, da (9), possiamo anche esprimere la costante in funzione delle variabili e , il che potrebbe sembrare inutile ora, ma sarà utile in seguito:
(11)
Chiamiamo ora l’energia potenziale totale del sistema. L’unico contributo a è dovuto alle forze elastiche e , che sono forze conservative. In generale, sarà una funzione delle posizioni e delle due masse, le quali sono a loro volta funzioni del tempo, ovvero .
Attualmente, la forma esatta di non è nota, ma possiamo determinarla ricordando che per definizione di energia potenziale, la forza totale che agisce su una massa è pari alla derivata parziale negativa dell’energia potenziale totale rispetto alla posizione della stessa particella. Poiché le uniche forze che agiscono nella direzione sono le forze elastiche e , possiamo scrivere:
(12)
Ricordando le espressioni per e in (1), possiamo riscrivere il sistema (12) nel seguente modo:
(13)
che costituisce un sistema di due equazioni differenziali accoppiate, aventi come variabili e , e come incognita l’energia potenziale totale .
Ora, utilizzando le relazioni in (10), possiamo disaccoppiare le due equazioni differenziali in (13) esprimendo in funzione di nella prima equazione e in funzione di nella seconda:
(14)
Raccogliendo i termini contenenti e , otteniamo:
(15)
Si tratta ora di un sistema di due equazioni differenziali disaccoppiate. Risolvendo entrambe per integrazione diretta, otteniamo:
(16)
dove e rappresentano le costanti di integrazione.
Osservazione importante.
(17)
indicando che e non sono soluzioni valide per l’energia potenziale totale del sistema.
Tuttavia, l’energia potenziale totale del sistema può essere calcolata come la somma delle energie potenziali associate alle forze che agiscono sul sistema, ovvero:
(18)
È facile verificare che la definizione di in questo modo costituisce una soluzione globale del sistema (15).
\medbreak
Pertanto, possiamo scrivere l’energia potenziale totale come:
(19)
dove rappresenta una costante di integrazione generica, la quale può essere fissata scegliendo il livello di riferimento dell’energia potenziale elastica. Raccogliendo risulta
Successivamente, possiamo riscrivere la somma dei termini quadrati come:
(20)
Sostituendo questa espressione in otteniamo:
(21)
L’espressione di riportata nel testo del problema e che stiamo cercando di dimostrare è:
(22)
corrispondente al primo termine di (21). Rimane ora da dimostrare che la somma degli altri termini in (21), ossia:
(23)
è una costante che dipende solo dalle costanti del problema (, , ), ma non dalle variabili e . Come prima cosa esprimiamo in funzione di e , come trovato in (11):
(24)
Svolgendo le parentesi otteniamo:
(25)
ossia:
(26)
Facendo il denominatore comune, otteniamo:
(27)
Il numeratore può essere raccolto come un quadrato di binomio:
(28)
Dall’equazione (9), ricordiamo che vale . Ne segue che:
(29)
il quale dipende soltanto dalle costanti del problema (, e ) e non da e , e può quindi essere inglobato nella costante additiva arbitraria .
Abbiamo quindi dimostrato la nostra tesi:
(30)
Osservazione.
L’energia potenziale totale del sistema rappresenta la somma di due contributi dovuti rispettivamente alle masse e . Questo implica che nel sistema sono presenti due forze, e , che compiono lavoro, rappresentato da e . Pur avendo lo stesso modulo, queste forze agiscono su corpi di massa differente, e , e compiono quindi lavori diversi.
Va notato che l’affermazione secondo cui coppie di forze uguali e opposte compiono lavori uguali e opposti è generalmente falsa in un sistema di punti materiali. Solo in un corpo rigido, dove il vincolo di rigidità assicura che tutti i punti compiano gli stessi spostamenti, coppie di forze interne uguali e opposte compiono lavori uguali e opposti. Questo dettaglio è fondamentale per il bilancio energetico totale del sistema.
In molti esercizi di fisica, si tratta il caso in cui una molla ha un’estremità vincolata a un oggetto immobile (soffitto, parete, ecc.) e l’altra estremità attaccata a una massa libera di muoversi. In questo contesto, la forza elastica sull’estremità vincolata della molla non causa alcuno spostamento e quindi il lavoro compiuto è nullo. Quindi, in questi sistemi, l’energia potenziale totale si riduce all’energia potenziale elastica della massa all’estremità libera della molla. È importante notare che questa situazione rappresenta solo un caso speciale e, in generale, bisogna considerare entrambi i contributi all’energia potenziale dovuti alla coppia di forze elastiche che agiscono sul sistema.
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