Esercizio sistemi di punti materiali 40

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

Home » Esercizio sistemi di punti materiali 40

Esercizio sui sistemi di punti materiali 40 rappresenta il quarantesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 39.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 40

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri un sistema costituito da due punti materiali di massa $m_1$ e $m_2$ , collegati da una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo trascurabile. Il sistema è vincolato a muoversi su un piano orizzontale liscio. Al tempo $t=0$ le due masse sono poste in quiete a distanza $l_0$ tra di loro e successivamente vengono lasciate libere di muoversi.
Si dimostri che per qualsiasi $t>0$ l’energia potenziale elastica del sistema vale

$U(t)=\dfrac{1}{2}k\left[x_2(t)-x_1(t)\right]^2,$

dove $x_1(t)$ e $x_2(t)$ sono rispettivamente le posizioni di $m_1$ e $m_2$ al tempo $t$ in un opportuno sistema di riferimento.

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento.

Il sistema ha la libertà di spostarsi su un piano orizzontale bidimensionale. Tuttavia, dalle premesse del problema emergono evidenze che indicano il moto del sistema come unidimensionale, sviluppandosi esclusivamente lungo la direzione della molla al tempo $t=0$ . Questo è giustificato dal fatto che, all’istante $t=0$ , il sistema è in uno stato di quiete, privo di momenti torcenti in grado di avviare una rotazione delle due masse, limitando così il moto a una sola dimensione. Di conseguenza, per una descrizione accurata del problema, possiamo adottare un sistema di riferimento inerziale $Oxz$ , solidale con il piano orizzontale. In questo sistema, l’origine $O$ coincide con la posizione $x_1(0)$ di $m_1$ al tempo $t=0$ , mentre l’asse $x$ si estende in direzione di $m_2$ , con $x_2(0) = l_0$ , come illustrato nella figura 1. Denoteremo con $\hat{x}$ il versore associato all’asse $x$ . Le coordinate lungo l’asse $x$ di $m_1$ e $m_2$ al tempo $t$ saranno indicate rispettivamente come $x_1(t)$ e $x_2(t)$ , mentre le loro velocità saranno $\dot{x}_1(t)$ e $\dot{x}_2(t)$ . Dalle condizioni iniziali, $\dot{x}_1(0) = \dot{x}_2(0) = 0$ . Procediamo ora all’identificazione delle forze che agiscono sul sistema. Su $m_1$ e $m_2$ operano le forze peso $m_1\vec{g}$ e $m_2\vec{g}$ , entrambe dirette lungo l’asse $z$ negativo, e le reazioni vincolari $\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ del piano orizzontale, orientate nel verso positivo di $z$ . Poiché il piano di movimento di $m_1$ e $m_2$ è privo di attrito, tali forze sono trascurabili ai fini del problema. Infine, nel sistema operano le due forze elastiche $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , che agiscono su $m_1$ e $m_2$ rispettivamente e tendono a ripristinare la molla alla sua lunghezza a riposo. Tutte queste forze sono illustrate nella figura 2.

Rendered by QuickLaTeX.com

Le forze elastiche $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ possono essere descritte attraverso la legge di Hooke come il prodotto tra la costante elastica $k$ e l’allungamento della molla rispetto alla sua posizione di riposo. Poiché in questo caso la lunghezza a riposo della molla è trascurabile, il suo allungamento è pari alla sua lunghezza in ogni istante $t$ , cioè $x_2(t)-x_1(t)$ :

(1) $\begin{equation*} \vec{F}_1(t) = k\left[x_2(t)-x_1(t)\right]\hat{x} \qquad \text{e} \qquad \vec{F}_2(t) = - k\left[x_2(t)-x_1(t)\right]\hat{x}. \end{equation*}$

Poiché $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ sono forze interne al sistema composto da $m_1$ , $m_2$ e dalla molla, in accordo con il terzo principio della dinamica, risultano essere uguali in modulo ma opposte in verso:

(2) $\begin{equation*} \vec{F}_1 = - \vec{F}_2, \end{equation*}$

come evidenziato in (1).

Osservando la figura 2, si nota che lungo l’asse $x$ non agiscono forze esterne sul sistema. Dal primo principio della dinamica, deduciamo che la quantità di moto del centro di massa del sistema

(3) $\begin{equation*} \vec{p}_{\text{CM}}(t) = \vec{p}_1(t) + \vec{p}_2(t) \end{equation*}$

si conserva nella direzione dell’asse $x$ , ossia

(4) $\begin{equation*} p_{\text{CM},x}(t) = p_{\text{CM},x}(0), \end{equation*}$

che può essere espressa come

(5) $\begin{equation*} p_{1,x}(t) + p_{2,x}(t) = p_{1,x}(0) + p_{2,x}(0), \end{equation*}$

dove $p_{1,x}(t) = m_1\dot{x}_1(t)$ e $p_{2,x}(t) = m_2\dot{x}_2(t)$ rappresentano rispettivamente le componenti $x$ della quantità di moto di $m_1$ e $m_2$ . Come precedentemente indicato, al tempo $t=0$ , le masse $m_1$ e $m_2$ sono stazionarie nel sistema $Oxz$ , implicando $\dot{x}_1(0) = \dot{x}_2(0) = 0$ . Di conseguenza, si ha

(6) $\begin{equation*} p_{\text{CM},x}(0) = m_1\dot{x}_1(0) + m_2\dot{x}_2(0) = 0. \end{equation*}$

Conseguentemente, per ogni tempo $t\geq0$ , risulta $p_{\text{CM},x}(t) = p_{\text{CM},x}(0) = 0$ . In altre parole, la quantità di moto del sistema nella direzione $x$ è nulla durante l’intero moto. Pertanto, la coordinata $x$ del centro di massa del sistema, indicata come $x_{\text{CM}}(t)$ , rimane costante per ogni $t\geq0$ e assume il medesimo valore del tempo iniziale $t=0$ :

(7) $\begin{equation*} x_{\text{CM}}(t) = x_{\text{CM}}(0). \end{equation*}$

Riformulando l’equazione (7) mediante la definizione di posizione del centro di massa, otteniamo

(8) $\begin{equation*} \dfrac{m_1x_1(t) + m_2x_2(t)}{m_1+m_2} = \dfrac{m_1x_1(0) + m_2x_2(0)}{m_1+m_2}. \end{equation*}$

Considerando che $x_1(0) = 0$ e $x_2(0) = l_0$ , la condizione (8) si semplifica ulteriormente a

(9) $\begin{equation*} \mbox{\fbox{$ m_1x_1(t) + m_2x_2(t) = m_2l_0. $}} \end{equation*}$

L’equazione (9) può essere interpretata come una legge di conservazione per la quantità $m_1x_1(t)+m_2x_2(t)$ , risultante dalla conservazione della quantità di moto lungo la direzione dell’asse $x$ . Da questa equazione possiamo esprimere $x_1$ in funzione di $x_2$ e viceversa:

(10) $\begin{equation*} \begin{cases} x_1(t) = - \dfrac{m_2}{m_1} x_2(t) + \dfrac{m_2}{m_1}l_0, \\[14pt] x_2(t) = - \dfrac{m_1}{m_2}x_1(t) + l_0. \end{cases} \end{equation*}$

Inoltre, da (9), possiamo anche esprimere la costante $l_0$ in funzione delle variabili $x_1(t)$ e $x_2(t)$ , il che potrebbe sembrare inutile ora, ma sarà utile in seguito:

(11) $\begin{equation*} l_0 = \dfrac{m_1}{m_2}x_1(t) + x_2(t). \end{equation*}$

Chiamiamo ora $U$ l’energia potenziale totale del sistema. L’unico contributo a $U$ è dovuto alle forze elastiche $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , che sono forze conservative. In generale, $U$ sarà una funzione delle posizioni $x_1$ e $x_2$ delle due masse, le quali sono a loro volta funzioni del tempo, ovvero $U = U(x_1,x_2) = U\left(x_1(t),x_2(t)\right) = U(t)$ .

Attualmente, la forma esatta di $U$ non è nota, ma possiamo determinarla ricordando che per definizione di energia potenziale, la forza totale che agisce su una massa è pari alla derivata parziale negativa dell’energia potenziale totale $U$ rispetto alla posizione della stessa particella. Poiché le uniche forze che agiscono nella direzione $x$ sono le forze elastiche $F_1$ e $F_2$ , possiamo scrivere:

(12) $\begin{equation*} \begin{cases} F_1 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_1}, \\[14pt] F_2 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_2}. \end{cases} \end{equation*}$

Ricordando le espressioni per $F_1$ e $F_2$ in (1), possiamo riscrivere il sistema (12) nel seguente modo:

(13) $\begin{equation*} \begin{cases} F_1 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_1} = k\left(x_2-x_1\right), \\[14pt] F_2 = - \dfrac{\partial U}{\partial x_2} = -k\left(x_2-x_1\right), \end{cases} \end{equation*}$

che costituisce un sistema di due equazioni differenziali accoppiate, aventi come variabili $x_1$ e $x_2$ , e come incognita l’energia potenziale totale $U(x_1,x_2)$ .

Ora, utilizzando le relazioni in (10), possiamo disaccoppiare le due equazioni differenziali in (13) esprimendo $x_2$ in funzione di $x_1$ nella prima equazione e $x_1$ in funzione di $x_2$ nella seconda:

(14) $\begin{equation*} \begin{cases} - \dfrac{\partial U}{\partial x_1} = k\left[\left(-\dfrac{m_1}{m_2}x_1+l_0\right)-x_1\right], \\[14pt] - \dfrac{\partial U}{\partial x_2} = -k\left[x_2-\left(-\dfrac{m_2}{m_1}x_2+\dfrac{m_2}{m_1}l_0\right)\right]. \end{cases} \end{equation*}$

Raccogliendo i termini contenenti $x_1$ e $x_2$ , otteniamo:

(15) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x_1} = k\left[\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)x_1-l_0\right], \\[14pt] \dfrac{\partial U}{\partial x_2} = k\left[\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)x_2-\dfrac{m_2}{m_1}l_0\right]. \end{cases} \end{equation*}$

Si tratta ora di un sistema di due equazioni differenziali disaccoppiate. Risolvendo entrambe per integrazione diretta, otteniamo:

(16) $\begin{equation*} \begin{cases} \mathcal{U}_1(x_1) = \dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)x_1^2 - kl_0x_1 + c_1, \\[10pt] \mathcal{U}_2(x_2) = \dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)x_2^2 - k\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2 + c_2, \end{cases} \end{equation*}$

dove $c_1$ e $c_2$ rappresentano le costanti di integrazione.

Osservazione importante.

da un punto di vista fisico, le funzioni $\mathcal{U}_1(x_1)$ e $\mathcal{U}_2(x_2)$ rappresentano le energie potenziali associate alle forze $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , rispettivamente. Sebbene $\mathcal{U}_1(x_1)$ e $\mathcal{U}_2(x_2)$ siano soluzioni delle equazioni differenziali (15) $_1$ e (15) $_2$ , esse non costituiscono soluzioni globali $U(x_1,x_2)$ del sistema (15). Questo si evince facilmente dal fatto che:

(17) $\begin{equation*} \dfrac{\partial\mathcal{U}_1(x_1)}{\partial x_2} = 0 \qquad \text{e} \qquad \dfrac{\partial\mathcal{U}_2(x_2)}{\partial x_1} = 0, \end{equation*}$

indicando che $\mathcal{U}_1(x_1)$ e $\mathcal{U}_2(x_2)$ non sono soluzioni valide per l’energia potenziale totale $U(x_1,x_2)$ del sistema.

Tuttavia, l’energia potenziale totale $U(x_1,x_2)$ del sistema può essere calcolata come la somma delle energie potenziali associate alle forze che agiscono sul sistema, ovvero:

(18) $\begin{equation*} U(x_1,x_2) = \mathcal{U}_1(x_1) + \mathcal{U}_2(x_2). \end{equation*}$

È facile verificare che la definizione di $U(x_1,x_2)$ in questo modo costituisce una soluzione globale del sistema (15).

medbreak

Pertanto, possiamo scrivere l’energia potenziale totale come:

(19) $\begin{equation*} U(x_1,x_2) = \dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)x_1^2+\dfrac{1}{2}k\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)x_2^2-kl_0x_1-k\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2 + c, \end{equation*}$

dove $c=c_1+c_2$ rappresenta una costante di integrazione generica, la quale può essere fissata scegliendo il livello di riferimento dell’energia potenziale elastica. Raccogliendo $k$ risulta

$\begin{aligned} U(x_1,x_2) & = k\left[\left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\dfrac{x_1^2}{2}+\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2\right] + c \\ & = k\left[\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2\right] + c. \end{aligned}$

Successivamente, possiamo riscrivere la somma dei termini quadrati $\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2}$ come:

(20) $\begin{equation*} \dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2} = \dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{x_2^2}{2} - x_1x_2 + x_1x_2 = \dfrac{1}{2}\left(x_2-x_1\right)^2 + x_1x_2. \end{equation*}$

Sostituendo questa espressione in $U(x_1,x_2)$ otteniamo:

(21) $\begin{equation*} U = k\left[\dfrac{1}{2}\left(x_2-x_1\right)^2+x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2\right] + c. \end{equation*}$

L’espressione di $U$ riportata nel testo del problema e che stiamo cercando di dimostrare è:

(22) $\begin{equation*} U = \dfrac{1}{2}k\left(x_2-x_1\right)^2 + c, \end{equation*}$

corrispondente al primo termine di (21). Rimane ora da dimostrare che la somma degli altri termini in (21), ossia:

(23) $\begin{equation*} x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-l_0x_1-\dfrac{m_2}{m_1}l_0x_2, \end{equation*}$

è una costante che dipende solo dalle costanti del problema ( $m_1$ , $m_2$ , $l_0$ ), ma non dalle variabili $x_1$ e $x_2$ . Come prima cosa esprimiamo $l_0$ in funzione di $x_1$ e $x_2$ , come trovato in (11):

(24) $\begin{equation*} x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-\left(\dfrac{m_1}{m_2}x_1+x_2\right)x_1-\dfrac{m_2}{m_1}\left(\dfrac{m_1}{m_2}x_1+x_2\right)x_2. \end{equation*}$

Svolgendo le parentesi otteniamo:

(25) $\begin{equation*} x_1x_2+\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}+\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}-\dfrac{m_1}{m_2}x_1^2-x_1x_2-x_1x_2-\dfrac{m_2}{m_1}x_2^2, \end{equation*}$

ossia:

(26) $\begin{equation*} -x_1x_2-\dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{x_1^2}{2}-\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{x_2^2}{2}. \end{equation*}$

Facendo il denominatore comune, otteniamo:

(27) $\begin{equation*} - \dfrac{2m_1m_2x_1x_2+m_1^2x_1^2+m_2^2x_2^2}{2m_1m_2}. \end{equation*}$

Il numeratore può essere raccolto come un quadrato di binomio:

(28) $\begin{equation*} -\dfrac{\left(m_1x_1+m_2x_2\right)^2}{2m_1m_2}. \end{equation*}$

Dall’equazione (9), ricordiamo che vale $m_1x_1+m_2x_2 = m_2l_0$ . Ne segue che:

(29) $\begin{equation*} -\dfrac{\left(m_1x_1+m_2x_2\right)^2}{2m_1m_2} = -\dfrac{m_2^2l_0^2}{2m_1m_2} = -\dfrac{m_2}{2m_1}l_0^2, \end{equation*}$

il quale dipende soltanto dalle costanti del problema ( $m_1$ , $m_2$ e $l_0$ ) e non da $x_1$ e $x_2$ , e può quindi essere inglobato nella costante additiva arbitraria $c$ .

Abbiamo quindi dimostrato la nostra tesi:

(30) $\begin{equation*} \fbox{\mbox{$U = \dfrac{1}{2}k\left(x_2-x_1\right)^2 + c.$}} \end{equation*}$

Osservazione.

L’energia potenziale totale del sistema $U(x_1, x_2)$ è stata determinata come la somma delle energie potenziali $\mathcal{U}_1(x_1)$ e $\mathcal{U}_2(x_2)$ associate alle forze elastiche $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ . Il risultato ottenuto in (30) evidenzia che l’energia potenziale totale dipende esclusivamente dall’allungamento $x_2-x_1$ della molla e non dalle posizioni assolute di $x_1$ e $x_2$ . Questo comportamento è in accordo con il principio secondo il quale, per la legge di Hooke, la forza elastica su entrambi gli estremi della molla dipende solo dall’allungamento della stessa.

L’energia potenziale totale del sistema $U(x_1, x_2)$ rappresenta la somma di due contributi dovuti rispettivamente alle masse $m_1$ e $m_2$ . Questo implica che nel sistema sono presenti due forze, $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , che compiono lavoro, rappresentato da $L_1$ e $L_2$ . Pur avendo lo stesso modulo, queste forze agiscono su corpi di massa differente, $m_1$ e $m_2$ , e compiono quindi lavori diversi.

Va notato che l’affermazione secondo cui coppie di forze uguali e opposte compiono lavori uguali e opposti è generalmente falsa in un sistema di punti materiali. Solo in un corpo rigido, dove il vincolo di rigidità assicura che tutti i punti compiano gli stessi spostamenti, coppie di forze interne uguali e opposte compiono lavori uguali e opposti. Questo dettaglio è fondamentale per il bilancio energetico totale del sistema.

In molti esercizi di fisica, si tratta il caso in cui una molla ha un’estremità vincolata a un oggetto immobile (soffitto, parete, ecc.) e l’altra estremità attaccata a una massa $m$ libera di muoversi. In questo contesto, la forza elastica sull’estremità vincolata della molla non causa alcuno spostamento e quindi il lavoro compiuto è nullo. Quindi, in questi sistemi, l’energia potenziale totale $U(x_1, x_2)$ si riduce all’energia potenziale elastica $\mathcal{U}_1(x_1)$ della massa all’estremità libera della molla. È importante notare che questa situazione rappresenta solo un caso speciale e, in generale, bisogna considerare entrambi i contributi all’energia potenziale dovuti alla coppia di forze elastiche che agiscono sul sistema.

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti, contenuti in 178 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei sistemi di punti materiali in meccanica classica.

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

Leggi...

Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

Leggi...

Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.

Esercizi di Meccanica razionale

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi...

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

Document

Menu

Chiudi

Esercizio sistemi di punti materiali 40

Testo esercizio sistemi di punti materiali 40

Svolgimento.

Osservazione importante.

Osservazione.

Scarica gli esercizi svolti

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Leggi...

Esercizi di Meccanica classica

Leggi..

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Leggi...

Esercizi di Meccanica razionale

Leggi...

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Suggerimenti, refusi ed errori

Cosa dicono di noi