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Esercizio 38  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m é inizialmente in quiete in cima ad un piano inclinato di un angolo \alpha (compreso tra 0 e \pi/2), avente altezza h. Il punto esplode in due frammenti di massa m_1 e m_2 = 0.5 m_1 rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento m_1 si muove in discesa lungo il piano inclinato con velocità di modulo v_1. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e m_1 é \mu, e che m_1 si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal frammento m_2 in funzione di \alpha, h e \mu.

 

 

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Svolgimento.

Per risolvere il problema, si definiscono due sistemi di riferimento fissi Oxy e O_1x_1y_1, posizionati come in figura 2.

 

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   Per calcolare l’altezza raggiunta da m_2 é necessario calcolare la sua velocità iniziale, ovvero nell’istante immediatamente successivo all’esplosione, chiamata \vec{v}_2. Prima dell’esplosione il corpo di massa m é in quiete. Dopo l’esplosione, il corpo di massa m si divide in due corpi con masse m_1 ed m_2 e con velocità iniziali \vec{v}_1 e \vec{v}_2 rispettivamente. L’esplosione avviene grazie a forze interne, pertanto dato che la somma delle forze esterne è nulla, si conserva la quantità di moto totale del sistema fisico composto delle due masse, ovvero deve valere

(1)   \begin{equation*} 		\vec{p}_-= \vec{p}_+, 	\end{equation*}

dove \vec{p}_- e \vec{p}_+ rappresentano rispettivamente la quantità di moto un’istante prima dell’esplosione e un’istante dopo l’esplosione del sistema.

Per la definizione di quantità di moto, la precedente equazione può essere riscritta come di seguito

(2)   \begin{equation*} 		m \vec{v}_- = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2, 	\end{equation*}

dove \vec{v}_- è la velocità del sistema un’istante prima dell’urto, mentre \vec{v}_1 e \vec{v}_2 sono state definite precedentemente. Osserviamo che il sistema è inizialmente in quiete, pertanto \vec{v}_-=\vec{0}.

Per le ipotesi date dal problema e ricordando che dopo l’esplosione si conserva la massa totale (per il postulato fondamentale di Lavoisier), si ha che le masse devono soddisfare il seguente sistema

(3)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 			m_1 + m_2 = m\\ 			m_2 - 0.5 m_1 = 0, 		\end{cases} 	\end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} 		m_1 = \dfrac{2}{3} m \quad \text{e}\quad  m_2 = \dfrac{1}{3} m. 	\end{equation*}

La velocità iniziale \vec{v}_1 del frammento nell’istante seguente all’esplosione è diretta lungo il piano inclinato, pertanto proiettandola nella direzione dell’asse delle x e dell’asse delle y, è possibile riscrivere l’equazione (2) come di seguito (si veda la Figura 3)

(5)   \begin{equation*} 		m_1 v_1(-\cos\alpha\, \hat{x} -\sin\alpha\,\hat{y}) + m_2 \vec{v}_2=\vec{0}, 	\end{equation*}

dove \hat{x} e \hat{y} sono rispettivamente i versori dell’asse delle x e delle y. Dalla precedente equazione otteniamo

(6)   \begin{equation*} 		\vec{v}_2  = \dfrac{m_1}{m_2}v_1(\cos\alpha\, \hat{x} +\sin\alpha\,\hat{y}). 	\end{equation*}

  

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Per la seconda legge della dinamica, sul corpo di massa m_1 si ha

(7)   \begin{equation*} 		\vec{N}+m_1\vec{g}+\vec{f}_d=m_1\vec{a}_1, 	\end{equation*}

dove \vec{N} è la reazione vincolare, m_1\vec{g} è la forza peso, \vec{f}_d è la forza di attrito dinamico e \vec{a}_1 è l’accelerazione del corpo di massa m_1. Scegliendo di proiettare i vettori appena descritti lungo gli assi del sistema di riferimento O_1x_1y_1, si ha

(8)   \begin{equation*} 		\begin{cases} N - m_1g\cos \alpha = 0\\ 			-f_d+m_1g\sin \alpha =m_1a_1, 		\end{cases} 	\end{equation*}

dove N è il modulo della reazione vincolare lungo l’asse delle y_1, m_1g\cos \alpha è la proiezione della forza peso lungo l’asse delle y_1, f_d è il modulo della forza di attrito lungo l’asse delle x_1, m_1g\sin \alpha è la proiezione della forza peso lungo l’asse delle x_1 e a_1 è la componente dell’accelerazione lungo l’asse delle x_1. Richiamando la relazione tra modulo della forza di attrito dinamico e modulo della forza normale, f_d=N\mu, dal precedente sistema si ottiene

(9)   \begin{equation*} 		\vec{f}_d=-N\mu\,\hat{x}=-m_1g\cos\alpha\,\hat{x}.  	\end{equation*}

Per calcolare la velocità v_1, utilizziamo nuovamente il sistema di riferimento Oxy. Considerando come istante iniziale quello in cui m_1 si trova alla quota y_i = h e come istante finale quello in cui si trova alla quota y_f=0, tenendo conto dell’equazione (9), ricordando come si calcola il lavoro di una forza di modulo, direzione e verso costanti (che in questo caso è la forza di attrito dinamico) e osservando che la lunghezza del piano inclinato è pari a h/\sin\alpha, applicando il teorema delle forze vive su m_1 si ha

(10)   \begin{equation*} 		-\dfrac{1}{2}m_1v_1^2=m_1g h-m_1 g \mu \cos \alpha\left(\dfrac{h}{\sin \alpha}\right), 	\end{equation*}

da cui

(11)   \begin{equation*} 		\dfrac{1}{2}m_1v_1^2=-m_1gh+\dfrac{m_1g\mu h}{\tan \alpha } ,		\end{equation*}

ovvero

(12)   \begin{equation*} 	  		v_1 = \sqrt{2 g h}\sqrt{ \frac{\mu}{\tan\alpha} - 1}. 	\end{equation*}

Si osservi che la precedente equazione è ben definita se e solo se

(13)   \begin{equation*} 		\frac{\mu}{\tan(\alpha)} - 1>0, 	\end{equation*}

che esprime il fatto che il coefficiente di attrito dinamico \mu è sufficiente a far decelerare la massa lungo il piano inclinato. Inoltre, si osservi il fatto ovvio che

(14)   \begin{equation*} m_1gh 	\end{equation*}

e

(15)   \begin{equation*} -m_1 g \mu \cos \alpha\left(\dfrac{h}{\sin \alpha}\right) \end{equation*}

rappresentano rispettivamente il lavoro della forza peso per andare dalla quota y_i=h a y_f=0 e il lavoro della forza di attrito dinamico per andare lungo il piano inclinato dalla quota y_i=h a y_f=0. Mettendo a sistema l’equazione (12) con l’equazione (6) si ottiene

(16)   \begin{equation*} 	  		\vec{v}_2 = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{2 g h}\sqrt{ \frac{\mu}{\tan\alpha} - 1} \,\, (\cos\alpha\, \hat{x} + \sin\alpha\,\hat{y}). 	\end{equation*}

Osserviamo che sul corpo m_2 l’unica forza agente è la forza peso m_2\vec{g}, pertanto, m_2 si muove di moto parabolico. Per determinare l’altezza massima raggiunga da m_2 applichiamo la conservazione dell’energia meccanica. Ricordiamo che nel moto parabolico la velocità v_{2,y} lungo l’asse delle y risulta nulla una volta raggiunta la quota massima, mentre la velocità v_{2,x} lungo l’asse delle x rimane costante durante tutto il moto. Dunque, considerando come istante iniziale quello in cui il corpo m_2 si trova alla quota h e come istante finale quello in cui raggiunte la quota massima h_{\max}, per la conservazione dell’energia si ha

(17)   \begin{equation*} 	  		m_2 g h + \frac{1}{2} m_2 v_{2,y}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2,x}^2 = m_2 g h_{\max} + 0 + \frac{1}{2} m_2 v_{2,x}^2, 	\end{equation*}

dove a sinistra é calcolata l’energia meccanica iniziale e a destra quella finale. Si noti che nell’equazione il termine legato all’energia cinetica lungo l’asse x si elide essendo presente in entrambi i membri dell’equazione. Risolvendo per h_{\max} la precedente equazione e utilizzando l’equazione (16) si ha

(18)   \begin{equation*}  h_{\max} = \frac{v_{2,y}^2}{2 g} + h . 	\end{equation*}

Sostituendo

(19)   \begin{equation*} 	v_{2,y}= \frac{m_1}{m_2} \sqrt{2 g h}\sqrt{ \frac{\mu}{\tan\alpha} - 1}\sin \alpha 	\end{equation*}

e

(20)   \begin{equation*} m_1=2m_2 	\end{equation*}

nella precedente equazione otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ h_{\max} = \frac{v_{2,y}^2}{2 g} + h = \left[  \left(\frac{m_1}{m_2}\right)^2 \sin^2 \alpha \left( \frac{\mu}{\tan\alpha} - 1\right) + 1 \right] h.}\]

Si noti che il risultato é effettivamente maggiore di h, che era la quota di partenza.

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