Scarica gli esercizi svolti
Ottieni il documento contenente 40 esercizi risolti, contenuti in 178 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei sistemi di punti materiali in meccanica classica.
Esercizio 38 . Un punto materiale di massa é inizialmente in quiete in cima ad un piano inclinato di un angolo (compreso tra 0 e ), avente altezza . Il punto esplode in due frammenti di massa e rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento si muove in discesa lungo il piano inclinato con velocità di modulo . Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e é , e che si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal frammento in funzione di , e .
Svolgimento.
Per calcolare l’altezza raggiunta da é necessario calcolare la sua velocità iniziale, ovvero nell’istante immediatamente successivo all’esplosione, chiamata . Prima dell’esplosione il corpo di massa é in quiete. Dopo l’esplosione, il corpo di massa si divide in due corpi con masse ed e con velocità iniziali e rispettivamente. L’esplosione avviene grazie a forze interne, pertanto dato che la somma delle forze esterne è nulla, si conserva la quantità di moto totale del sistema fisico composto delle due masse, ovvero deve valere
(1)
dove e rappresentano rispettivamente la quantità di moto un’istante prima dell’esplosione e un’istante dopo l’esplosione del sistema.
Per la definizione di quantità di moto, la precedente equazione può essere riscritta come di seguito
(2)
dove è la velocità del sistema un’istante prima dell’urto, mentre e sono state definite precedentemente. Osserviamo che il sistema è inizialmente in quiete, pertanto .
Per le ipotesi date dal problema e ricordando che dopo l’esplosione si conserva la massa totale (per il postulato fondamentale di Lavoisier), si ha che le masse devono soddisfare il seguente sistema
(3)
da cui
(4)
La velocità iniziale del frammento nell’istante seguente all’esplosione è diretta lungo il piano inclinato, pertanto proiettandola nella direzione dell’asse delle e dell’asse delle , è possibile riscrivere l’equazione (2) come di seguito (si veda la Figura 3)
(5)
dove e sono rispettivamente i versori dell’asse delle e delle . Dalla precedente equazione otteniamo
(6)
Per la seconda legge della dinamica, sul corpo di massa si ha
(7)
dove è la reazione vincolare, è la forza peso, è la forza di attrito dinamico e è l’accelerazione del corpo di massa . Scegliendo di proiettare i vettori appena descritti lungo gli assi del sistema di riferimento , si ha
(8)
dove è il modulo della reazione vincolare lungo l’asse delle , è la proiezione della forza peso lungo l’asse delle , è il modulo della forza di attrito lungo l’asse delle , è la proiezione della forza peso lungo l’asse delle e è la componente dell’accelerazione lungo l’asse delle . Richiamando la relazione tra modulo della forza di attrito dinamico e modulo della forza normale, , dal precedente sistema si ottiene
(9)
Per calcolare la velocità , utilizziamo nuovamente il sistema di riferimento . Considerando come istante iniziale quello in cui si trova alla quota e come istante finale quello in cui si trova alla quota , tenendo conto dell’equazione (9), ricordando come si calcola il lavoro di una forza di modulo, direzione e verso costanti (che in questo caso è la forza di attrito dinamico) e osservando che la lunghezza del piano inclinato è pari a , applicando il teorema delle forze vive su si ha
(10)
da cui
(11)
(12)
Si osservi che la precedente equazione è ben definita se e solo se
(13)
che esprime il fatto che il coefficiente di attrito dinamico è sufficiente a far decelerare la massa lungo il piano inclinato. Inoltre, si osservi il fatto ovvio che
(14)
e
(15)
rappresentano rispettivamente il lavoro della forza peso per andare dalla quota a e il lavoro della forza di attrito dinamico per andare lungo il piano inclinato dalla quota a . Mettendo a sistema l’equazione (12) con l’equazione (6) si ottiene
(16)
Osserviamo che sul corpo l’unica forza agente è la forza peso , pertanto, si muove di moto parabolico. Per determinare l’altezza massima raggiunga da applichiamo la conservazione dell’energia meccanica. Ricordiamo che nel moto parabolico la velocità lungo l’asse delle risulta nulla una volta raggiunta la quota massima, mentre la velocità lungo l’asse delle rimane costante durante tutto il moto. Dunque, considerando come istante iniziale quello in cui il corpo si trova alla quota e come istante finale quello in cui raggiunte la quota massima , per la conservazione dell’energia si ha
(17)
dove a sinistra é calcolata l’energia meccanica iniziale e a destra quella finale. Si noti che nell’equazione il termine legato all’energia cinetica lungo l’asse si elide essendo presente in entrambi i membri dell’equazione. Risolvendo per la precedente equazione e utilizzando l’equazione (16) si ha
(18)
Sostituendo
(19)
e
(20)
nella precedente equazione otteniamo
Si noti che il risultato é effettivamente maggiore di , che era la quota di partenza.
Esercizi di Meccanica classica
Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.
Leggi..
- Cinematica del punto materiale.
- Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
- Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
- Moti relativi.
- Sistemi di punti materiali.
- Dinamica del corpo rigido.
- Urti .
- Gravitazione .
- Oscillazioni e onde.
- Meccanica dei fluidi.
- Onde meccaniche.
- Statica in meccanica classica.
- Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
- Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.
Tutti gli esercizi di elettromagnetismo
Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di
Leggi...
- Esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrico.
- Esercizi sulla legge di Gauss.
- Esercizi sui conduttori, condensatori, dielettrici ed energia elettrostatica.
- Esercizi sulla corrente elettrica.
- Esercizi sul campo magnetico e forza magnetica.
- Esercizi sulle sorgenti di un campo magnetico e legge di Ampere.
- Esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo.
- Esercizi su oscillazione del campo elettrico e correnti alternate.
- Esercizi sulle onde elettromagnetiche.
- Esercizi sulla riflessione e rifrazione della luce.
- Esercizi sull’ ottica geometrica.
- Esercizi sull’ interferenza.
- Esercizi sulla diffrazione.
- Esercizi sulle proprietà corpuscolari e ondulatorie della materia.
Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.
Esercizi di Meccanica razionale
Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.
Leggi...