Esercizio sistemi di punti materiali 17

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 17 rappresenta il diciassettesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 16, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 18.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 17

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Una pallina di massa $m$ si trova su un piano orizzontale liscio ed è collegata, tramite un filo inestensibile, di massa trascurabile e passante per un piccolo foro $O$ praticato nel piano, a un corpo di massa $M$ , posto al di sotto del piano lungo la verticale passante per $O$ . All’istante $t=0$ la pallina si trova a distanza $d$ da $O$ e viene messa in moto lungo il piano con velocità $\vec{v}_0$ perpendicolare al filo e giacente sul piano orizzontale, come rappresentato in figura 1.

Si descrivano tutte le forze che agiscono sul sistema, determinando in particolare la reazione vincolare $\vec{R}$ che il piano esercita sul filo nel punto $O$ .
Si determini il valore $v_0^\star$ del modulo di $\vec{v}_0$ tale per cui $m$ inizia a ruotare restando a distanza $d$ da $O$ .
Si trovino i valori della minima distanza $r_{\min}$ e della massima distanza $r_{\max}$ da $O$ raggiunte da $m$ durante il moto in funzione di $v_0$ .
Si dimostri che per qualsiasi valore di $v_0\neq0$ non è possibile che $m$ raggiunga il punto $O$ , mentre ciò sarebbe possibile se il piano su cui si muove $m$ presentasse attrito.

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , con l’origine coincidente con il foro $O$ del piano, gli assi $x$ e $y$ giacenti sul piano orizzontale e l’asse $z$ ortogonale a esso, come riportato in figura 2. Chiamiamo $\hat{x}$ , $\hat{y}$ e $\hat{z}$ rispettivamente i versori associati agli assi cartesiani $x$ , $y$ e $z$ . Nel sistema di riferimento scelto la massa $M$ è sottoposta alla forza peso $M\vec{g}$ , diretta nel verso delle $z$ negative, e alla tensione $\vec{T}_M$ del filo, diretta nel verso delle $z$ positive. La massa $m$ è invece sottoposta alla forza peso $m\vec{g}$ , diretta nel verso delle $z$ negative, alla reazione vincolare $\vec{N}$ del piano orizzontale, diretta nel verso delle $z$ positive e tale da bilanciare la forza peso $m\vec{g}$ , e alla tensione $\vec{T}_m$ del filo, che è diretta radialmente verso il punto $O$ . Restano ora da descrivere le forze che agiscono sul punto $O$ . Lo spezzone di filo verticale esercita sul punto $O$ una tensione $-\vec{T}_M$ diretta nel verso delle $z$ negative, uguale e opposta alla tensione $\vec{T}_M$ che agisce sul corpo $M$ , perché il filo è inestensibile e di massa trascurabile. Lo stesso discorso vale per lo spezzone di filo che si trova sul piano orizzontale, che esercita sul punto $O$ una tensione $-\vec{T}_m$ diretta lungo la direzione del filo verso $m$ . A queste forze va aggiunta la reazione vincolare $\vec{R}$ che il piano orizzontale esercita sul filo nel punto $O$ , dovuta al fatto che il piano orizzontale si comporta come un vincolo per il filo ed esercita una certa reazione vincolare nel punto in cui quest’ultimo cambia direzione, analogamente a quello che succede in una carrucola. Tutte le forze qui descritte sono riportate in figura 2, insieme al sistema di riferimento scelto.

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