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Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un cannone di massa M spara in orizzontale, dalla sommità di una torre di altezza h, un proiettile di massa m, che raggiunge il suolo a distanza D dalla base della torre. Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare il modulo della forza \vec{F} orizzontale e costante che un sistema di ammortizzatori deve esercitare sul cannone perché, per il rinculo, esso arretri di un tratto d prima di fermarsi. Si consideri il cannone di massa M e la massa m come due punti materiali.

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, tale per cui l’origine O degli assi cartesiani coincida con la posizione iniziale del sistema fisico composto da m e M, come mostrato nella figura 2.

 

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Consideriamo come sistema fisico il sistema composto da M e m. Nella direzione dell’asse delle x nell’intervallo di tempo tra lo sparo e il rinculo, ovvero nell’intervallo di tempo in cui non agisce il sistema di freni sul cannone, non sono presenti forze esterne e lo sparo avviene grazie a forze interne al sistema, pertanto nella direzione dell’asse delle x la quantità di moto totale del sistema si conserva. All’istante iniziale entrambe le masse sono ferme, quindi la quantità di moto totale iniziale, prima dello sparo, è

(1)   \begin{equation*} P_{\text{in},x}^{\text{tot}} = 0 . \end{equation*}

Immediatamente dopo lo sparo, invece, la quantità di moto totale vale

(2)   \begin{equation*} P_{\text{fin},x}^{\text{tot}} = MV_{M} + mv_m, \end{equation*}

dove v_{{M}} e v_m sono rispettivamente la componente lungo l’asse delle x della velocità di M immediatamente dopo lo sparo e la componente lungo l’asse delle x di m immediatamente dopo lo sparo. Per la conservazione della quantità di moto, avvalendoci delle equazioni (1) e (2), abbiamo

(3)   \begin{equation*} MV_{{M}} + mv_m = 0 , \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} V_{{M}} = -\frac{m}{M}v_m. \end{equation*}

Elevando al quadrato ambo i membri della precedente equazione, si trova

(5)   \begin{equation*} V^2_{{M}} = \frac{m^2}{M^2}v^2_m. \end{equation*}

Dall’equazione (4) deduciamo che le velocità dei due corpi, come ci si poteva già aspettare dalla fisica del problema, hanno verso opposto lungo l’asse delle x. Dalla fisica del problema, è chiaro che, le velocità \vec{V}_M e \vec{v}_m avranno i versi indicati in figura 3.

 

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Dopo lo sparo il proiettile di massa m si muove di moto parabolico, fino ad impattare col terreno dopo aver percorso una distanza orizzontale D e una distanza verticale h. Sia t=t_0 l’istante di tempo, immediatamente dopo lo sparo, in cui il corpo di massa m inizia il suo moto parabolico. Le leggi orarie del moto di m dopo lo sparo, per t\geq t_0, lungo l’asse delle x e delle y, sono rispettivamente

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t) = v_m (t-t_0) \\[10pt] y(t) = - \dfrac{1}{2}g(t-t_0)^2. \end{cases} \end{equation*}

Il tempo che ci interessa è quello in cui il proiettile raggiunge il terreno, ossia il tempo t=t^* tale che:

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t^*) = D = v_m (t^*-t_0) \\[10pt] y(t^*) = -h = - \dfrac{1}{2}g(t^*-t_0)^2, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} t^*-t_0 =\dfrac{D}{v_m}\\[10pt] h = \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{D}{v_m}\right)^2, \end{cases} \end{equation*}

conseguentemente

(9)   \begin{equation*} v_m^2 = \frac{gD^2}{2h}. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (9) con l’equazione (5), si trova

(10)   \begin{equation*} V_{M}^2 = \frac{m^2}{M^2} v_m^2 = \frac{m^2D^2g}{2hM^2}. \end{equation*}

Il cannone dopo lo sparo ha una velocità vec{V}_{M} diretta nel verso negativo dell’asse delle x con componente V_{{M}}, dopo di che subisce una forza frenante costante \vec{F}. Il cannone si ferma dopo aver percorso una distanza d lungo il piano orizzontale. Si osservi che, siccome, il cannone dopo lo sparo si muove nel verso negativo delle x la forza \vec{F} deve essere diretta nel verso positivo delle x affinché possa rallentare il cannone. Essendo questa l’unica forza orizzontale agente sul cannone, per la seconda legge della dinamica lungo l’asse delle x, abbiamo

(11)   \begin{equation*} a =\frac{ \vert \vec{F} \vert }{M}, \end{equation*}

dove a è la componente dell’accelerazione \vec{a} del cannone lungo l’asse delle x. La componente a è costante perché \vert \vec{F} \vert è costante, di conseguenza il moto del cannone è uniformemente decelerato, come si può dedurre dall’equazione (11). Definiamo x la posizione di M lungo l’asse delle x. Il modulo quadro della velocità di M in funzione della posizione x è

(12)   \begin{equation*} V^2(x) = V^2_{{M}} + 2a x. \end{equation*}

Avvalendoci delle equazioni (10) e (11), la precedente equazione diventa

(13)   \begin{equation*} V^2(x) = \frac{m^2D^2g}{2hM^2}+\dfrac{2 \vert \vec{F} \vert}{M}x. \end{equation*}

Ponendo x = -d si ha V^2(-d) = 0, da cui la precedente equazione diventa

(14)   \begin{equation*} 0 = \frac{m^2gD^2}{2M^2h} - 2d\frac{\vert \vec{F} \vert}{M} , \end{equation*}

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{\vert\vec{F}\vert = \frac{m^2gD^2}{4dhM},}\]

che è esattamente quello che si voleva trovare.

 

 


Fonte.

Esercizi Fisica – Meccanica e Termodinamica – Mencuccini e Silvestrini.