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Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Tre masse, m_1, m_2 e m_3, sono in moto lungo un piano orizzontale. Le masse m_1 ed m_2 sono connesse da una molla ideale di costante elastica k, lunghezza a riposo trascurabile e massa trascurabile, e sono soggetti rispettivamente alle forze \vec{F}_1^{(E)} ed \vec{F}_2^{(E)}. La massa m_3 si trova distante dalla massa m_2, come si può dedurre dalla figura 1, ed è soggetta alla forza \vec{F}_3^{(E)}. Le forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)} ed \vec{F}_3^{(E)} hanno direzione, verso e modulo costante, come rappresentato in figura 1. La massa m_1 ha un’accelerazione \vec{a}_1 rispetto ad un sistema di riferimento inerziale di modulo, direzione e verso costante parallelo al piano orizzontale all’istante t=0, come rappresentato in figura 1. Si consideri il sistema fisico composto dalle masse m_1, m_2 ed m_3, da cui si definisca \vec{a}_{\text{CM}} l’accelerazione del centro di massa di tale sistema. Inoltre, siano \vec{a}_2 e \vec{a}_3 le accelerazione rispettivamente di m_2 ed m_3 rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Si richiede di calcolare \left \vert \vec{a}_{\text{CM}}\right \vert, \left \vert \vec{a}_2\right \vert, \left \vert \vec{a}_3\right \vert e di quanto è allungata la molla all’istante iniziale t=0 in funzione di \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert, \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert, \left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert ed \left \vert \vec{a}_1\right \vert.

 

 

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Svolgimento.

Sulla massa m_1 è agente la forza \vec{F}_1^{(E)}, la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza della molla \vec{F}_{\text{M}}. Sulla massa m_2 è agente la forza \vec{F}_2^{(E)}, la forza peso m_2\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_2 e la forza della molla -\vec{F}_{\text{M}}. Sulla massa m_3 è agente la forza \vec{F}_3^{(E)}, la forza peso m_3\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}_3. Come richiesto dal testo dell’esercizio scegliamo come sistema fisico il sistema composto dalle tre masse m_1, m_2 ed m_3. Notiamo che le forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)}, \vec{F}_3^{(E)}, m_1\vec{g}, m_2\vec{g}, m_3\vec{g}, \vec{N}_1, \vec{N}_2 ed \vec{N}_3 sono forze esterne al sistema, mentre \vec{F}_{\text{M}} e -\vec{F}_{\text{M}} sono forze interne al sistema. Tutte le forze (sia esterne che interne al sistema) sono rappresentate in figura 2. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, con l’asse delle x coincidente con il piano orizzontale, come rappresentato in figura 2.

 

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Siano a_{\text{CM},x} e a_{\text{CM},y} le componenti lungo l’asse delle x e delle y di \vec{a}_{CM}. Definiamo F_1^{(E)}, F_2^{(E)} e F_3^{(E)} le componenti lungo l’asse delle x rispettivamente delle forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)} ed \vec{F}_3^{(E)}. Il centro di massa viene influenzato dalle sole forze esterne, pertanto proiettando le forze esterne nella direzione degli assi delle x e delle y, ed applicando la prima legge cardinale per i sistemi di punti materiali, si ha

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} F_1^{(E)} + F_2^{(E)} + F_3^{(E)} = (m_1 + m_2 + m_3)\ a_{\text{CM},x} \\[4pt] N_1 - m_1g + N_2 - m_2g + N_3 - m_3g= (m_1 + m_2 + m_3)\ a_{\text{CM},y}. \end{cases} \end{equation*}

I punti materiali m_1, m_2 e m_3 sono vincolati a muoversi nella sola direzione orizzontale, pertanto nella direzione dell’asse delle y la somma delle forze è nulla per tutti e tre; vale a dire che le accelerazioni nella direzione dell’asse delle y di tutti e tre i punti materiali è nulla. Applicando la seconda legge della dinamica a m_1, m_2 e m_3 e considerando quanto detto, si ha rispettivamente

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} N_1 - m_1g=0\\ N_2 - m_2g=0\\ N_3 - m_3g=0, \end{cases} \end{equation*}

da cui la seconda equazione del sistema (1) diventa

(3)   \begin{equation*} N_1 - m_1g + N_2 - m_2g + N_3 - m_3g=0=a_{\text{CM},y} (m_1 + m_2 + m_3), \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} \boxed{a_{\text{CM},y}=0.} \end{equation*}

Per la scelta del sistema di riferimento, si ha F_1^{(E)}>0, F_2^{(E)}>0 e F_3^{(E)}>0, pertanto vale: F_1^{(E)}=\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert, F_2^{(E)}=\left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert e F_3^{(E)}=\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert; in altri termini le componenti dei vettori {F}_1^{(E)}, {F}_2^{(E)}, {F}_3^{(E)} sono coincidenti con i moduli rispettivamente delle forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)}, \vec{F}_3^{(E)}. Dalla prima equazione del sistema (1), sfruttando quanto detto, si ha

(5)   \begin{equation*} \boxed{a_{\text{CM},x}=\dfrac{ \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert}{m_1 + m_2 + m_3}.} \end{equation*}

Avvalendoci di quanto ottenuto nelle equazioni (4) e (5), si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{a}_{\text{CM}} = \left( \dfrac{\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert}{m_1 + m_2 + m_3},\ 0 \right).}\]

Si osservi che, siccome le forze \vec{F}_1^{(E)}, \vec{F}_2^{(E)} ed \vec{F}_3^{(E)} sono dirette parallelamente al piano orizzontale, abbiamo assunto che nella direzione dell’asse delle y le componenti di tutte e tre le forze risultano essere nulle.

 

Siano a_{1,x} e a_{1,y} rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{a}_1. Siano a_{2,x} e a_{2,y} rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{a}_2. Dalla seconda legge della dinamica per m_1 e m_2 nella direzione dell’asse delle x e delle y, si ha

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + F_{\text{M}} = m_1 a_{1,x} \\[10pt] \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert - F_{\text{M}}= m_2 a_{2,x}\\[10pt] a_{1,y}=0\\[10pt] a_{2,y}=0, \end{cases} \end{equation*}

dove F_M è la componente della forza della molla diretta lungo l’asse delle x. Per ipotesi di massa trascurabile, la molla è allungata di una quantità \Delta x, per cui F_{\text{M}}=k\Delta x. Avvalendoci di quanto detto il precedente sistema diventa

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + k \Delta x = m_1 a_{1,x} \\[10pt] \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert - k \Delta x = m_2 a_{2,x}\\[10pt] a_{1,y}=0\\[10pt] a_{2,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Per la scelta del sistema di riferimento si ha a_{1,x}>0, inoltre dalla terza equazione del precedente sistema si ottiene a_{1,y}=0, quindi \sqrt{a^2_{1,x}+a_{1,y}^2}=a_{1,x}=\left \vert \vec{a}_1\right \vert, di conseguenza il precedente sistema diventa

(8)   \begin{equation*}  \begin{cases} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + k \Delta x = m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert \\[10pt] \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert - k \Delta x = m_2 a_{2,x}\\[10pt] a_{1,y}=0\\[10pt] a_{2,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del precedente sistema, si trova

    \[\boxcolorato{fisica}{\Delta x = \frac{m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert - \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert }{k},}\]

cioè l’allungamento della molla all’istante t=0. Successivamente, sommando membro a membro le prime due equazioni del sistema (8), ricaviamo

(9)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert = m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert + m_2 a_{2,x}, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} a_{2,x}= \frac{\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert }{m_2}, \end{equation*}

cioè la componente dell’accelerazione lungo l’asse delle x del vettore \vec{a}_2 all’istante t=0. Notiamo che se

(11)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert >0 \end{equation*}

allora

(12)   \begin{equation*} a_{2,x}>0, \end{equation*}

altrimenti se

(13)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert <0 \end{equation*}

segue che

(14)   \begin{equation*} a_{2,x}<0. \end{equation*}

Dalle equazioni (8)_4 e (10) si può concludere che all’istante t=0, si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{ a}_2 =\left(\frac{\left \vert \vec{F}_1^{(E)}\right \vert + \left \vert \vec{F}_2^{(E)}\right \vert- m_1 \left \vert \vec{a}_1\right \vert }{m_2},0\right).}\]

Siano a_{3,x} e a_{3,y} la componente lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{a}_3. La massa m_3 nella direzione dell’asse delle x positive è soggetta alla sola forza \vec{F}_3^{(E)}, per cui applicando la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x a m_3, si ottiene

(15)   \begin{equation*} \begin{cases} F_3^{(E)} = m_3 a_{3,x} \\ 0= a_{3,y}, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(16)   \begin{equation*} \begin{cases} a_{3,x} = \dfrac{F_3^{(E)}}{m_3} \\[10pt] a_{3,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Per la scelta del sistema di riferimento, si ha F_3^{(E)}\geq 0, quindi F_3^{(E)}=\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert, da cui il precedente sistema diventa

(17)   \begin{equation*} \begin{cases} a_3 = \dfrac{\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert }{m_3}>0\\[10pt] a_{3,y}=0. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema si può concludere che all’istante t=0, si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{\vec{ a}_3 =\left(\frac{\left \vert \vec{F}_3^{(E)}\right \vert }{m_3},0\right).}\]