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Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Su due guide orizzontali e parallele, poste in un piano verticale e distanti tra loro d, possono scorrere senza attrito due piccoli anelli di masse m_1 e m_2. I due anelli sono collegati tra loro da una molla ideale, di massa trascurabile, lunghezza a riposo trascurabile e costante elastica k. All’istante t=0 tramite un’opportuna forza esterna l’anello di massa m_1 si mette in moto con una velocità di modulo v_1 diretta parallelamente alle guide, come in figura 1, mentre il secondo anello a quell’istante è in quiete. Supporre che m_1 ed m_2, all’istante t=0 siano allineati, come in figura 1. Le velocità dei due corpi all’istante iniziale vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Si calcoli l’allungamento massimo della molla e il tempo minimo \tau che si deve attendere affinché ciò avvenga.

 

 

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Richiami teorici.

Di seguito, una serie di richiami teorici che serviranno nel corso dello svolgimento di questo esercizio.

  1. Fissato un sistema di riferimento inerziale Oxyz, dal quale si osserva un sistema fisico di n punti materiali di massa m_1, m_2,\dots, m_n, il centro di massa è definito come

        \[\vec{r}_{\text{CM}}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k},\]

    dove \vec{r}_1, \vec{r}_2,\dots,\vec{r}_n, sono rispettivamente i vettori posizione di m_1, m_2,\dots, m_n.

  2. Consideriamo un sistema fisico composto da n punti materiali e non soggetto a forze esterne. Sotto tali condizioni il centro di massa del sistema rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale Oxy. Scegliamo un sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime solidale con il centro di massa, ovvero un sistema di riferimento con gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento Oxy, cioè x\parallel x^\prime, y\parallel y^\prime e z\parallel z^\prime, tale per cui l’origine di questo sistema di riferimento sia coincidente con il centro di massa. In queste condizioni il sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime è inerziale. Inoltre, siano \vec{r}^{\,\prime}_1, \vec{r}^{\,\prime}_2,…,\vec{r}^{\,\prime}_n i vettori posizione degli n nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo quanto detto, nel caso particolare in cui nell’istante iniziale il centro di massa O^\prime si trovi sull’asse delle x e x\equiv x^\prime. Il punto P, in figura 1, rappresenta un punto qualunque degli n, dove \vec{r} e \vec{r}^{\,\prime} sono le distanze di P rispettivamente da O e O^\prime, come si può dedurre dalla figura 2.

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    Allora vale

    (1)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k^{\,\prime}=\vec{0}. \end{equation*}

    Si osservi che il precedente risultato ha validità del tutto generale, cioè è valido anche se il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è non inerziale; in altri termini, se il sistema fisico di n punti materiali non è soggetto a forze esterne, l’equazione (1) continua ad essere valida.

  3. Scelto un sistema fisico di n punti materiali, se la somma delle forze è esterna è nulla in una particolare direzione, la componente della velocità del centro di massa lungo quella direzione rimane costante. Inoltre, si ricordi che le forze interne non influenzano il moto del centro di massa.
  4. Nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, per il generico k-esimo punto materiale, vale

    (2)   \begin{equation*} \vec{v}_k=\vec{v}^{\,\prime}_k+\overrightarrow{V}_{\text{CM}}, \end{equation*}

    dove \vec{v}_k, \vec{v}^{\,\prime}_k e \overrightarrow{V}_{\text{CM}} sono rispettivamente la velocità del k-esimo punto materiale nel sistema di riferimento fisso Oxy, la velocità del k-esimo punto materiale nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime solidale con il centro di massa, e la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento fisso Oxy.

  5. Ricordiamo il teorema di König per l’energia cinetica

    (3)   \begin{equation*} K_{\text{totale}} = K^{ \prime} + K_{\text{CM}}, \end{equation*}

    dove K^{ \prime} è l’energia cinetica del sistema fisico in esame rispetto al centro di massa e K_{\text{CM}} è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia cinetica totale di un sistema fisico di n punti materiali rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è data dalla somma dell’energia cinetica del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa.

 


Svolgimento.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’origine O in corrispondenza della posizione iniziale dell’anello di massa m_2, come illustrato in figura 3. Costruiamo il diagramma di corpo libero per entrambi gli anelli: sull’anello di massa m_1 agiscono la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare con la guida \vec{N}_1 e la forza elastica della molla \vec{f}_{\text{el}}; sull’anello di massa m_2 agiscono la forza peso m_2\vec{g}, la reazione vincolare con la guida \vec{N}_2 e la forza elastica della molla -\vec{f}_{\text{el}}. Tutte le forze sono rappresentate in figura 3.

 

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Scegliamo come sistema fisico le due masse m_1 ed m_2. In questo sistema fisico le forze interne sono le forze \vec{f}_{\text{el}} e -\vec{f}_{\text{el}}, mentre le forze esterne sono \vec{N}_1, \vec{N}_2, m_1 \vec{g} e m_2\vec{g}. Le forze esterne sono tutte orientate parallelamente all’asse delle y, pertanto si conserva la quantità di moto totale del sistema nella direzione orizzontale, in altri termini il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle x. Siano x_1(0)=0, y_1(0)=d, x_2(0)=0 e y_2(0)=0 rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle x di m_1, la posizione iniziale lungo l’asse delle y di m_1, la posizione iniziale lungo l’asse delle x di m_2 e la posizione iniziale lungo l’asse delle y di m_2. Siano x_{\text{CM,in}} e y_{\text{CM,in}} rispettivamente la posizione iniziale lungo l’asse delle x del centro di massa e la posizione iniziale lungo l’asse delle y del centro di massa. Sfruttando quando detto, si trova che, le coordinate del centro di massa nella configurazione all’istante t=0 sono date da

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1x_1(0)+m_2x_2(0)}{m_1+m_2}\\\\ y_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1y_1(0)+m_2y_2(0)}{m_1+m_2} \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x_{\text{CM,in}}=0\\\\ y_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1d}{m_1+m_2}. \end{cases} \end{equation*}

Per definizione la velocità del centro di massa \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t), nel generico istante di tempo t>0, è data da

(5)   \begin{equation*} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)=\dfrac{m_1\vec{v}_{1}(t)+m_2\vec{v}_{2}(t)}{m_1+m_2}, \end{equation*}

dove \vec{v}_1(t) e \vec{v}_2(t) sono rispettivamente le velocità di m_1 e m_2 rispetto al sistema di riferimento fisso, in un generico istante t>0. Siano v_{1,x}(t) e v_{1,y}(t) rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{v}_1. Siano v_{2,x}(t) e v_{2,y}(t) rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \vec{v}_2. Inoltre, siano \hat{x} e \hat{y} i versori rispettivamente dell’asse delle x e delle y. Sfruttando quanto definito, l’equazione (5) diventa

(6)   \begin{equation*} \begin{aligned} \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t)&=\dfrac{m_1\left(v_{1,x}(t)\, \hat{x}+v_{1,y}(t)\,\hat{y}\right)+m_2\left(v_{2,x}(t)\, \hat{x}+v_{2,y}(t)\,\hat{y}\right)}{m_1+m_2}=\\ &=\dfrac{\left(m_1v_{1,x}(t) +m_2v_{2,x}(t) \right)\hat{x}+\left(m_1v_{1,y}(t)+m_2v_{2,y}(t)\right)\hat{y}}{m_1+m_2}. \end{aligned} \end{equation*}

Siano V_{\text{CM},x}(t) e V_{\text{CM},y}(t) rispettivamente le componenti lungo l’asse delle x e delle y del vettore \overrightarrow{V}_{\text{CM}}(t). Pertanto, di nuovo, sfruttando quanto appena detto, la precedente equazione diventa

(7)   \begin{equation*} V_{\text{CM},x}(t)\,\hat{x}+V_{\text{CM},y}(t)\,\hat{y}=\dfrac{\left(m_1v_{1,x}(t) +m_2v_{2,x}(t) \right)\hat{x}+\left(m_1v_{1,y}(t)+m_2v_{2,y}(t)\right)\hat{y}}{m_1+m_2}, \end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} V_{\text{CM},x}(t)=\dfrac{m_1v_{1,x}(t) +m_2v_{2,x}(t) }{m_1+m_2}\\[10pt] V_{\text{CM},y}(t)=\dfrac{m_1v_{1,y}(t) +m_2v_{2,y}(t) }{m_1+m_2}. \end{cases} \end{equation*}

All’istante t=0 l’anello di massa m_2 è in quiete, cioè vale v_{2,x}(0)=0, mentre il corpo di massa m_1 ha velocità di componente v_{1,x}(0)=v_1 nella direzione positiva dell’asse delle x. Avvalendoci delle condizioni iniziali dei due corpi m_1 ed m_2, calcoliamo la velocità costante del centro di massa, nella direzione dell’asse delle x, cioè

(9)   \begin{equation*} V_{\text{CM},x}(t)=\dfrac{m_1v_{1,x}(0) +m_2v_{2,x}(0) }{m_1+m_2}=\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}. \end{equation*}

Osserviamo che, lungo l’asse delle y, i punti materiali m_1 ed m_2 hanno quota costante, pertanto per ogni istante t\geq0 si ha

(10)   \begin{equation*} y_{\text{CM}}(t)=y_{\text{CM,in}}=\dfrac{m_1d}{m_1+m_2}, \end{equation*}

dove si è usato il risultato pervenuto nell’equazione (4); in altri termini, lungo l’asse delle y il centro di massa rimane in quiete e si trova nella posizione definita nell’equazione (10) indefinitamente. Scegliamo un sistema di riferimento O'x'y^\prime, solidale con il centro di massa, con l’origine O' centrata nel centro di massa del sistema, come illustrato in figura 4 ad un generico istante t>0.

 

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Osserviamo che, poiché il centro di massa si muove di moto rettilineo, uniforme il sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime è inerziale; pertanto, sui corpi m_1 ed m_2 non vanno considerate le forze apparenti. Siano x_1^\prime e x_2^\prime rispettivamente le posizioni di m_1 ed m_2 lungo l’asse delle x^\prime. Supponiamo che, dopo l’istante t=0, il sistema si trovi nella configurazione generica mostrata in figura 4, in cui le masse m_1 e m_2 si trovano ad una ascissa x'_1 ed x'_2 all’origine O' rispettivamente. La molla che collega i due anelli subirà un allungamento orizzontale pari a \left \vert x'_1-x'_2\right \vert (oltre che un allungamento verticale ininfluente dal punto di vista dinamico perché i due corpi si muovono solo lungo l’asse delle x^\prime). Dal secondo principio della dinamica lungo l’asse delle x' per il corpo m_1, abbiamo

(11)   \begin{equation*} -k(x'_1-x'_2)=m_1\dfrac{d^2x'_1}{dt^2}, \end{equation*}

dove -k(x'_1-x'_2) è la componente delle x^\prime della forza della molla \vec{f}_\text{el}. Per poter risolvere l’equazione (11) è necessario esplicitare la variabile x'_2 in funzioni di x'_1, in modo tale da avere l’equazione (11) in funzione della sola variabile x'_1. Per fare ciò, ricordiamo che, per definizione di centro di massa, l’ascissa del centro di massa rispetto a tale sistema è nulla, ossia

(12)   \begin{equation*} m_1x'_1+m_2x'_2=0, \end{equation*}

da cui

(13)   \begin{equation*} x'_2=-\dfrac{m_1}{m_2}x'_1. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (13) con l’equazione (11), si ottiene

(14)   \begin{equation*} -k\left(x'_1+\dfrac{m_1}{m_2}x'_1\right)=m_1\dfrac{d^2x'_1}{dt^2}\quad\Leftrightarrow\quad -k\left(\dfrac{m_1+m_2}{m_2}\right)x'_1=m_1\dfrac{d^2x'_1}{dt^2}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d^2x'_1}{dt^2}+k\left(\dfrac{m_1+m_2}{m_1m_2}\right)x'_1=0. \end{equation*}

Definiamo

(15)   \begin{equation*} \mu\equiv\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}, \end{equation*}

cioè la massa ridotta del sistema in esame; per cui l’equazione (14) diventa

(16)   \begin{equation*} \dfrac{d^2x'_1}{dt^2}+\dfrac{k}{\mu}x'_1=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d^2x'_1}{dt^2}+\omega^2 x'_1=0, \end{equation*}

dove \omega^2=k/\mu. L’equazione (16) è l’equazione del moto di un corpo di massa \mu che si muove di moto armonico semplice, avente legge oraria

(17)   \begin{equation*} x'_1(t)=A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

dove A e \phi sono rispettivamente l’ampiezza massima del moto di \mu e la fase iniziale del moto armonico di \mu. Derivando rispetto al tempo ambo i membri della precedente equazione, si ottiene

(18)   \begin{equation*} \dfrac{dx_1^\prime}{dt}(t)=A\omega \cos\left(\omega t +\phi\right). \end{equation*}

All’istante t=0 la posizione dell’anello di massa m_1 rispetto al sistema del centro di massa è nulla, infatti dalla prima equazione del sistema (4) abbiamo visto che x_{\text{CM,in}}=0, per cui

(19)   \begin{equation*} x'_1(0)=0\quad\Leftrightarrow\quad A\sin\phi=0\quad\Leftrightarrow\quad \phi=0. \end{equation*}

Derivando rispetto al tempo ambo i membri dell’equazione (12), si ottiene

(20)   \begin{equation*} m_1v'_{1,x}(t)+m_2v'_{2,x}(t)=0, \end{equation*}

dove v'_{1,x}(t) e v'_{2,x}(t) sono rispettivamente dx_1^\prime/dt e dx_2^\prime/dt. Dalla precedente equazione, si trova

(21)   \begin{equation*} v'_{1,x}(t)=-\dfrac{m_2}{m_1}v'_{2,x}(t). \end{equation*}

Sostituendo t=0 nella precedente equazione, si ottiene

(22)   \begin{equation*} v'_{1,x}(0)=-\dfrac{m_2}{m_1}v'_{2,x}(0). \end{equation*}

Tra le velocità v_{1,x}(t), v^\prime_{1,x}(t) e V_{\text{CM},x}, vale

(23)   \begin{equation*} v_{1,x}(t)=V_{\text{CM},x}+v'_{1,x}(t), \end{equation*}

o anche

(24)   \begin{equation*} v_{1,x}(t)-V_{\text{CM},x}=v'_{1,x}(t), \end{equation*}

conseguentemente, sostituendo t=0 nella precedente equazione, si ha

(25)   \begin{equation*} v_{1,x}(0)-V_{\text{CM},x}=v'_{1,x}(0), \end{equation*}

cioè

(26)   \begin{equation*} v_1-\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}=v'_{1,x}(0), \end{equation*}

oppure

(27)   \begin{equation*} \boxed{v'_{1,x}(0)=\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2},} \end{equation*}

dove si è usata l’equazione (9) e la condizione iniziale v_{1,x}(0)=v_1. Sostituendo t=0 nell’equazione (18), sfruttando l’equazione (27), si ha

(28)   \begin{equation*} \dfrac{dx_1^\prime}{dt}(0)=\omega A\cos\phi=\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}, \end{equation*}

da cui, usando il valore di \phi ottenuto nell’equazione (19), si trova

(29)   \begin{equation*} A=\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}. \end{equation*}

Sostituendo i valori di \phi e A ricavati alle equazioni (19) e (29) rispettivamente, la legge oraria (calcolata nell’equazione (17)) del corpo m_1, diventa

(30)   \begin{equation*} \boxed{ x'_1(t)=\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}\sin(\omega t).} \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di x'_1(t) appena ottenuta nell’equazione (13), otteniamo che la legge oraria del corpo m_2 è pari ad

(31)   \begin{equation*} x'_2(t)=-\dfrac{m_1}{m_2}\left(\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}\sin(\omega t)\right),, \end{equation*}

o anche

(32)   \begin{equation*} \boxed{x'_2(t)=-\dfrac{m_1v_1}{\omega(m_1+m_2)}\sin(\omega t).} \end{equation*}

Sia t=\tau il primo istante di tempo tale per cui la funzione \sin \left(\omega t\right) assume il suo valore massimo; per cui deve valere

(33)   \begin{equation*} \omega\tau=\dfrac{\pi}{2}\quad\Leftrightarrow\quad \tau=\dfrac{\pi}{2\omega}, \end{equation*}

affinché \sin \left(\omega t\right) sia pari ad 1. Sostituendo t=\tau nelle equazioni (30) e (32), si ottiene rispettivamente

(34)   \begin{equation*} x'_1(\tau)=\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}=x'_{1,\text{max}} \end{equation*}

e

(35)   \begin{equation*} x'_2(\tau)=-\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}=x'_{2,\text{max}}. \end{equation*}

A questo punto, deduciamo che il massimo allungamento orizzontale della molla si ha in corrispondenza della massima distanza relativa orizzontale tra i due anelli, ossia

(36)   \begin{equation*} \Delta x^\prime_{\text{max}}=\left|x'_{1,\text{max}}-x'_{2,\text{max}}\right|=\left(\dfrac{m_2v_1}{\omega(m_1+m_2)}+\dfrac{m_1v_1}{\omega(m_1+m_2)}\right)=\dfrac{v_1\left(m_1+m_2\right)}{\omega(m_1+m_2)}=\dfrac{v_1}{\omega}. \end{equation*}

In figura 5 è illustrata la configurazione del sistema in corrispondenza dell’istante t=\tau.

 

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In riferimento alla figura 5, all’istante

    \[\boxcolorato{fisica}{ t=\dfrac{\pi}{2\omega},}\]

la molla risulta complessivamente allungata di d in verticale e \Delta x^\prime_\text{max} in orizzontale. Quindi l’allungamento massimo \ell_{\text{max}} della molla è pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ \ell_{\text{max}}=\sqrt{d^2+\left(\dfrac{v_1}{\omega}\right)^2}.}\]

Ricordando che

(37)   \begin{equation*} \omega= \sqrt{k/\mu}=\sqrt{\dfrac{k}{\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}}})=\sqrt{\dfrac{k\left(m_1+m_2\right)}{m_1m_2}}, \end{equation*}

è possibile riscrivere le due precedenti equazioni come

    \[\boxcolorato{fisica}{ t=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m_1m_2}{k\left(m_1+m_2\right)}}}\]

e

    \[\boxcolorato{fisica}{ \ell_{\text{max}}=\sqrt{d^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{k\left(m_1+m_2\right)}}.}\]

 


Approfondimento.

Osserviamo che, le forze peso m_1\vec{g} e m_2\vec{g} sono conservative, le reazioni vincolari \vec{N}_1 e \vec{N}_2 sono perpendicolari allo spostamento delle due masse, pertanto fanno lavoro nullo, e che le due forze delle molle \vec{f}_{\text{el}} e -\vec{f}_{\text{el}} sono conservative; pertanto si conserva l’energia del sistema composto dalle due masse m_1 ed m_2, sia nel sistema fisso, che nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, dato che le forze osservate dai due sistemi di riferimento sono le stesse. All’istante t=0 l’energia meccanica del sistema è data dal contributo dovuto all’energia potenziale della molla U_{\text{el,in}} (essendo la molla allungata di d) e da quello cinetico totale K_{\text{tot,in}}, ossia

(38)   \begin{equation*} E_{\text{in}}=U_{\text{el,in}}+K_{\text{tot,int}}=\dfrac{1}{2}kd^2+K_{\text{tot,in}}. \end{equation*}

Per il teorema di König sappiamo che l’energia cinetica totale del sistema è data dalla somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica dei due corpi rispetto al centro di massa. Quindi all’istante t=0 avremo che

(39)   \begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(v'_{1,x}(0)\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(v'_{2,x}(0)\right)^2. \end{equation*}

Dall’equazione (22), si ha

(40)   \begin{equation*} v'_{2,x}(0)=-\dfrac{m_1}{m_2}v'_{1,x}(0), \end{equation*}

da cui l’equazione (39) diventa

(41)   \begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(v'_{1,x}(0)\right)^2+\dfrac{1}{2}m_2\left(\dfrac{m_1}{m_2}v^\prime_{1,x}(0)\right)^2, \end{equation*}

oppure

(42)   \begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2}m_1\left(v'_{1,x}(0)\right)^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{m^2_1}{m_2}\left(v^\prime_{1,x}(0)\right)^2, \end{equation*}

cioè

(43)   \begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2} \dfrac{m_1}{m_2}\left(m_1+m_2\right)\left(v^\prime_{1,x}(0)\right)^2. \end{equation*}

Avvalendoci dell’equazione (27), la precedente equazione diventa

(44)   \begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{1}{2} \dfrac{m_1}{m_2}\left(m_1+m_2\right)\left(\dfrac{m_2v_1}{m_1+m_2}\right)^2, \end{equation*}

in altri termini

(45)   \begin{equation*} K_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}. \end{equation*}

Dunque, sfruttando la precedente equazione, l’equazione (38) diventa

(46)   \begin{equation*} E_{\text{tot,in}}=\dfrac{1}{2}kd^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}. \end{equation*}

Siccome i due corpi m_1 ed m_2 si muovono di moto armonico, quando l’allungamento della molla è massimo le velocità v'_{1,x} e v'_{2,x} dei due corpi relative al centro di massa sono nulle, pertanto l’energia cinetica totale del sistema in questo istante è

(47)   \begin{equation*} K_{\text{tot,fin}}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2, \end{equation*}

cioè l’energia cinetica totale del sistema è data dal solo contributo dell’energia cinetica del centro di massa, come si può dedurre dal teorema di König. Come per il Metodo 1, sia \ell_{\text{max}} la lunghezza massima della molla; allora l’energia meccanica totale nell’istante in cui la molla ha tale lunghezza è

(48)   \begin{equation*} E_{\text{tot,fin}}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2+ K_{\text{tot,fin}}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2, \end{equation*}

dove abbiamo usato l’equazione (47). Poiché, l’energia meccanica è conservata, si ha

(49)   \begin{equation*} E_{\text{tot,in}}= E_{\text{tot,fin}}, \end{equation*}

la quale, ricordando i risultati pervenuti nelle equazioni (46) e (48), diventa

(50)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}kd^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2+\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{\text{CM},x}^2, \end{equation*}

ossia

(51)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}kd^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2\left(m_1+m_2\right)}=\dfrac{1}{2}k\ell_{\text{max}}^2, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ \ell_{\text{max}}=\sqrt{d^2+\dfrac{m_1m_2v_1^2}{k\left(m_1+m_2\right)}} ,}\]

come ottenuto in precedenza.

 


Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.