Esercizio sistemi di punti materiali 14

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio sui sistemi di punti materiali 14 rappresenta il quattordicesimo problema della raccolta dedicata agli esercizi misti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio costituisce la naturale prosecuzione dell’Esercizio sui sistemi di punti materiali 13, e segue l’Esercizio sui sistemi di punti materiali 15.

Questo esercizio è concepito per gli studenti del corso di Fisica 1 ed è particolarmente indicato per coloro che intraprendono studi in ingegneria, fisica o matematica, fornendo un’opportunità per applicare i principi della meccanica classica ai sistemi di punti materiali.

L’argomento successivo a questa sezione è la dinamica del corpo rigido, mentre l’argomento precedente riguarda gli esercizi sui moti relativi.

Testo esercizio sistemi di punti materiali 14

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Su due guide orizzontali e parallele, poste in un piano verticale e distanti tra loro $d$ , possono scorrere senza attrito due piccoli anelli di masse $m_1$ e $m_2$ . I due anelli sono collegati tra loro da una molla ideale, di massa trascurabile, lunghezza a riposo trascurabile e costante elastica $k$ . All’istante $t=0$ tramite un’opportuna forza esterna l’anello di massa $m_1$ si mette in moto con una velocità di modulo $v_1$ diretta parallelamente alle guide, come in figura 1, mentre il secondo anello a quell’istante è in quiete. Supporre che $m_1$ ed $m_2$ , all’istante $t=0$ siano allineati, come in figura 1. Le velocità dei due corpi all’istante iniziale vanno riferite rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Si calcoli l’allungamento massimo della molla e il tempo minimo $\tau$ che si deve attendere affinché ciò avvenga.

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Figura 1: sistema fisico in esame.

Richiami teorici.

Di seguito, una serie di richiami teorici che serviranno nel corso dello svolgimento di questo esercizio.

Fissato un sistema di riferimento inerziale $Oxyz$ , dal quale si osserva un sistema fisico di $n$ punti materiali di massa $m_1$ , $m_2,\dots,$ $m_n$ , il centro di massa è definito come
$\vec{r}_{\text{CM}}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k},$

dove $\vec{r}_1$ , $\vec{r}_2,\dots$ , $\vec{r}_n,$ sono rispettivamente i vettori posizione di $m_1$ , $m_2,\dots,$ $m_n$ .
Consideriamo un sistema fisico composto da $n$ punti materiali e non soggetto a forze esterne. Sotto tali condizioni il centro di massa del sistema rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ . Scegliamo un sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, ovvero un sistema di riferimento con gli assi paralleli agli assi del sistema di riferimento $Oxy$ , cioè $x\parallel x^\prime$ , $y\parallel y^\prime$ e $z\parallel z^\prime$ , tale per cui l’origine di questo sistema di riferimento sia coincidente con il centro di massa. In queste condizioni il sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ è inerziale. Inoltre, siano $\vec{r}^{\,\prime}_1$ , $\vec{r}^{\,\prime}_2$ ,…, $\vec{r}^{\,\prime}_n$ i vettori posizione degli $n$ nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo quanto detto, nel caso particolare in cui nell’istante iniziale il centro di massa $O^\prime$ si trovi sull’asse delle $x$ e $x\equiv x^\prime$ . Il punto $P$ , in figura 1, rappresenta un punto qualunque degli $n$ , dove $\vec{r}$ e $\vec{r}^{\,\prime}$ sono le distanze di $P$ rispettivamente da $O$ e $O^\prime$ , come si può dedurre dalla figura 2.

Figura 2: rappresentazione dei due sistemi di riferimento: $Oxy$ e $O^\prime x^\prime y^\prime$ .

Allora vale

(1) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k^{\,\prime}=\vec{0}. \end{equation*}$

Si osservi che il precedente risultato ha validità del tutto generale, cioè è valido anche se il sistema di riferimento solidale con il centro di massa è non inerziale; in altri termini, se il sistema fisico di $n$ punti materiali non è soggetto a forze esterne, l’equazione (1) continua ad essere valida.
Scelto un sistema fisico di $n$ punti materiali, se la somma delle forze è esterna è nulla in una particolare direzione, la componente della velocità del centro di massa lungo quella direzione rimane costante. Inoltre, si ricordi che le forze interne non influenzano il moto del centro di massa.
Nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa, per il generico $k$ -esimo punto materiale, vale
(2) $\begin{equation*} \vec{v}_k=\vec{v}^{\,\prime}_k+\overrightarrow{V}_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}_k$ , $\vec{v}^{\,\prime}_k$ e $\overrightarrow{V}_{\text{CM}}$ sono rispettivamente la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ , la velocità del $k$ -esimo punto materiale nel sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con il centro di massa, e la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ .
Ricordiamo il teorema di König per l’energia cinetica

(3) $\begin{equation*} K_{\text{totale}} = K^{ \prime} + K_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $K^{ \prime}$ è l’energia cinetica del sistema fisico in esame rispetto al centro di massa e $K_{\text{CM}}$ è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia cinetica totale di un sistema fisico di $n$ punti materiali rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è data dalla somma dell’energia cinetica del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa.