Esercizio 2 . Un insetto di massa
si trova all’estremo di un bastoncino lungo
e massa
posto su di un piano orizzontale liscio. L’insetto possiede una velocità iniziale
orientata come in figura e al termine del proprio moto si troverà alla fine del bastoncino, per percorrere tale percorso impiega un tempo
. Determinare di quanto è arretrato il bastoncino.
Svolgimento.
Scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di punti materiali vale
(1)
dove è la somma di tutte le forze esterne applicate al sistema,
è la somma di tutte le masse degli
punti materiali e
è l’accelerazione del centro di massa.
Se la somma di tutte le forze esterne è nulla o semplicemente non ci sono forze esterne, (1) diventa
(2)
con e
Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare che, scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di punti materiali, se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne (sistema isolato) il moto del centro di massa è rettilineo uniforme o semplicemente rimane in quiete a seconda delle condizioni iniziali del sistema.
Ora risolviamo il nostro problema.
Scegliamo un sistema di riferimento fisso e osserviamo che lungo l’asse
non agiscono forze esterne sul sistema composto dalla massa
e
, quindi 2 è verificata.
Calcoliamo la velocità del centro di massa[1]
L’origine del nostro sistema di riferimento coincide con il centro di massa del bastoncino che supponiamo distribuita in modo uniforme quindi si trova in (vedi figura 1).
Calcoliamo la posizione iniziale del centro di massa [2]
Quando l’insetto sarà arrivato nella estremità del bastoncino sarà arretrato di una quantità (vedi figura 2)
Calcoliamo la posizione finale del centro di massa:
sapendo che il moto del centro di massa è rettilineo uniforme posiamo scrivere la sua legge oraria
Ponendo si ha
e sostituendo i valori trovati di e
si ha
(3)
Risolviamo (3) e otteniamo :
Si conclude che il bastoncino è arretrato della quantità che segue
1. Si ricorda che la velocità del centro di massa è definita come
2. Si ricorda che la posizione del centro di massa è definita come