Sistemi di punti materiali 2

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un insetto di massa $m_1$ si trova all’estremo di un bastoncino lungo $d$ e massa $m_2$ posto su di un piano orizzontale liscio. L’insetto possiede una velocità iniziale $\vec{v}_1$ orientata come in figura e al termine del proprio moto si troverà alla fine del bastoncino, per percorrere tale percorso impiega un tempo $t^\star$ . Determinare di quanto è arretrato il bastoncino.

Svolgimento.

Scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di $n$ punti materiali vale

(1) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k=M\vec{a}_{cm} \end{equation*}$

dove $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k$ è la somma di tutte le forze esterne applicate al sistema, $M$ è la somma di tutte le masse degli $n$ punti materiali e $\vec{a}_{cm}$ è l’accelerazione del centro di massa.
Se la somma di tutte le forze esterne è nulla o semplicemente non ci sono forze esterne, (1) diventa

(2) $\begin{equation*} M\vec{a}_{cm}=\vec{0}\quad\Rightarrow \quad\vec{v}_{cm}=\vec{c} \end{equation*}$

con $\left \vert \vec{c}\right \vert=c=costante$ e $\left[c\right]=[\text{m}\cdot\text{s}^{-1}].$
Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare che, scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di $n$ punti materiali, se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne (sistema isolato) il moto del centro di massa è rettilineo uniforme o semplicemente rimane in quiete a seconda delle condizioni iniziali del sistema.

Ora risolviamo il nostro problema.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ e osserviamo che lungo l’asse $x$ non agiscono forze esterne sul sistema composto dalla massa $m_1$ e $m_2$ , quindi 2 è verificata.
Calcoliamo la velocità del centro di massa[1]

$\vec{v}_{cm}=\dfrac{m_1\vec{v}_1}{m_1+m_2}$

L’origine del nostro sistema di riferimento coincide con il centro di massa del bastoncino che supponiamo distribuita in modo uniforme quindi si trova in $x=0$ (vedi figura 1).

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Calcoliamo la posizione iniziale del centro di massa [2]

$x_{cm,i}=\dfrac{-dm_1}{2\left(m_1+m_2\right)}$

Quando l’insetto sarà arrivato nella estremità del bastoncino sarà arretrato di una quantità $\tilde{x}$ (vedi figura 2)

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Calcoliamo la posizione finale del centro di massa:

$x_{cm,f}=\dfrac{m_1\left( \dfrac{d}{2}-\tilde{x}\right)-m_2\tilde{x}}{m_1+m_2}$

sapendo che il moto del centro di massa è rettilineo uniforme posiamo scrivere la sua legge oraria

$x_{cm}(t)=x_{cm,i}+v_{cm}t.$

Ponendo $t=t^\star$ si ha

$x_{cm}(t^\star)=x_{cm,f}=x_{cm,i}+v_{cm}t^\star$

e sostituendo i valori trovati di $x_{cm,i}$ e $x_{cm,f}$ si ha

(3) $\begin{equation*} \dfrac{m_1\left( \dfrac{d}{2}-\tilde{x}\right)-m_2\tilde{x}}{m_1+m_2}=-\dfrac{dm_1}{2\left(m_1+m_2\right)}+\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}t^\star. \end{equation*}$

Risolviamo (3) e otteniamo $\tilde{x}$ :

$\begin{aligned} &\dfrac{m_1\left( \dfrac{d}{2}-\tilde{x}\right)-m_2\tilde{x}}{m_1+m_2}=-\dfrac{m_1d}{2\left(m_1+m_2\right)}+\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}t^\star\Leftrightarrow \\\\ &\Leftrightarrow \dfrac{2m_1\left( \dfrac{d}{2}-\tilde{x}\right)-2m_2\tilde{x}}{2\left(m_1+m_2\right)}=-\dfrac{m_1d}{2\left(m_1+m_2\right)}+\dfrac{2m_1v_1}{2\left(m_1+m_2\right)}t^\star\Leftrightarrow \\\\ &\Leftrightarrow 2m_1\left( \dfrac{d}{2}-\tilde{x}\right)-2m_2\tilde{x}=-m_1d+2m_1v_1t^\star\Leftrightarrow m_1d-2m_1\tilde{x}-2m_2\tilde{x}=-m_1d+2m_1v_1t^\star\Leftrightarrow\\\\ &\Leftrightarrow-2m_1\tilde{x}-2m_2\tilde{x}=-2m_1d+2m_1v_1t^\star\Leftrightarrow \tilde{x}\left( m_1+m_2\right) =m_1\left(d-v_1t^\star\right)\Leftrightarrow \tilde{x}=\dfrac{m_1\left(d-v_1t^\star\right)}{m_1+m_2}. \\\\ \end{aligned}$

Si conclude che il bastoncino è arretrato della quantità che segue

$\boxcolorato{fisica}{\tilde{x}=\dfrac{m_1\left(d-v_1t^\star\right)}{m_1+m_2}.}$

1. Si ricorda che la velocità del centro di massa è definita come

$\vec{v}_{cm}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{v}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k}.$

↩

2. Si ricorda che la posizione del centro di massa è definita come

$\vec{r}_{cm}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{r}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k}.$

↩