Sistemi di punti materiali 3

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Tre blocchetti di masse $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ scendono lungo un piano inclinato liscio, con angolo $\theta$ , sotto l’azione della forza peso e della forza $\vec{F}$ costante indicata in figura. Si sa che il modulo della forza tangente al piano a cui è sottoposto il blocchetto $m_2$ è $F_2$ . Calcolare il valore di $F$ .
Si supponga ora che non ci sia la forza $\vec{F}$ , ma che il piano presenti attrito, con coefficienti $\mu_1$ , $\mu_2$ , $\mu_3$ rispettivamente per il blocchetto $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ , e che il moto sia uniforme. Calcolare il valore di $\mu_1$ in funzioni di quest’ultimi.

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Svolgimento. Per prima cosa scegliamo un sistema di riferimento inerziale fisso $Oxy$ con l’asse $x$ parallelo al piano inclinato con il versore che punta verso terra e l’asse $y$ perpendicolare ad esso con versore che punta verso l’alto come in figura 1 e inoltre rappresentiamo le forze agenti su ciascun blocco

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dove su ciascun blocco agiscono le loro forze peso $m_1\vec{g},m_2\vec{g}$ e $m_3\vec{g}$ , poi le forze di contatto tra ciascun blocco adiacenti che sono uguali in modulo e hanno verso opposto per il terzo principio della dinamica: $\vec{N}_{1,2},\vec{N}_{2,3},\vec{N}_{1,2},-\vec{N}_{1,2}-\vec{N}_{2,3}$ ed infine agisce la forza $\vec{F}$ su $m_1$ .
Applichiamo quindi il secondo principio della dinamica [1] a ciascuno dei blocchi per trovare le equazioni che governano e descrivono il loro moto. Per prima cosa analizziamo il corpo $m_1$ come in figura 2

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dove dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(1) $\begin{equation*} m_1g \sin{\theta}+ N_{12} - F =m_1 a_1. \end{equation*}$

Consideriamo ora il corpo $m_2$ come in figura 3

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Sempre dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(2) $\begin{equation*} m_2g \sin{\theta}-N_{12} + N_{23} =m_2 a_2. \end{equation*}$

Consideriamo il corpo $m_3$ come in figura 4

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Similmente a prima si ha

(3) $\begin{equation*} m_3g \sin{\theta}-N_{23} =m_3 a_3. \end{equation*}$

Mettiamo a sistema (1),(2) e (3)

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} m_1g \sin{\theta}+ N_{12} - F =m_1 a_1\\\\ m_2g \sin{\theta}-N_{12} + N_{23} =m_2 a_2\\\\ m_3g \sin{\theta}-N_{23} =m_3 a_3 \end{cases} \end{equation*}$

Come possiamo vedere dalle equazioni appena scritte l’informazione sul verso dei vettori lungo il piano è data dal segno davanti a ciascuno di essi. Abbiamo inoltre scomposto la forza peso di ciascuna massa lungo la direzione parallela e perpendicolare al piano come in figura 5

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Le incognite di (4) sono più numerose delle equazioni pertanto sembrerebbe che il sistema non sia risolvibile. In realtà le tre masse hanno tutte la stessa accelerazione poiché la forza $F$ fa in modo che esse siano in contatto istante per istante e che quindi seguano lo stesso moto. Possiamo così riscrivere il sistema ponendo $a_1=a_2=a_3=a$ e ottenendo 4 incognite e 4 equazioni. Pertanto abbiamo

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} m_1g \sin{\theta}+ N_{12} - F =m_1 a\\ m_2g \sin{\theta}-N_{12} + N_{23} =m_2 a\\ m_3g \sin{\theta}-N_{23} =m_3 a \end{cases}. \end{equation*}$

Per ipotesi sappiamo che la somma delle forze agenti su $m_2$ è

(6) $\begin{equation*} F_2=m_2 a \end{equation*}$

da cui

(7) $\begin{equation*} a=\dfrac{F_2}{m_2}. \end{equation*}$

Sommando membro a membro (5) $_1$ ,(5) $_2$ e (5) $_3$ otteniamo

(8) $\begin{equation*} (m_1+m_2+m_3)g \sin{\theta} -F=(m_1 + m_2+m_3)a \end{equation*}$

da cui

(9) $\begin{equation*} F= (m_1+m_2+m_3)g \sin{\theta} -(m_1 + m_2 + m_3 )a. \end{equation*}$

Raccogliendo a fattor comune le masse e sfruttando (7) otteniamo

$\boxcolorato{fisica}{ F= \left(m_1+m_2+m_3\right)\left(g\sin{\theta} - \frac{F_2}{m_2}\right).}$

Nella seconda richiesta del problema la forza $\vec{F}$ viene annullata e il piano diventa scabro. Ogni blocchetto ha coefficiente di attrito dinamico differente e noi dobbiamo determinare il coefficiente di attrito $\mu_1$ del corpo $m_1$ .
In questa situazione, su ciascuno dei blocchetti agiscono le rispettive forze peso, $\vec{P}_1$ , $\vec{P}_2$ e $\vec{P}_3$ , le forze di attrito $\vec{F}_{d,1}$ , $\vec{F}_{d,2}$ e $\vec{F}_{d,3}$ e le reazioni normali $\vec{N}_1$ , $\vec{N}_2$ e $\vec{N}_3$ perpendicolari al piano inclinato. I moduli delle forza d’attrito dinamico sono:

(10) $\begin{equation*} F_{d,i}= \mu_i N_i\quad \text{con}\,\, k=1,2,3 \end{equation*}$

dove il modulo delle reazioni vincolari equivale alla componente perpendicolare al piano della forza peso dei singoli blocchetti, ovvero $N_i=m_i g \cos\theta\,\,\text{con}\,\, k=1,2,3$ .
Notiamo che i tre blocchetti si muovono lungo il piano verso il basso per effetto della componente tangenziale delle rispettive forze peso, e che le forze di attrito sono allineate lungo la direzione tangente al piano, con verso opposto a quello del moto, dunque verso l’alto.
I tre blocchetti si muovono con moto uniforme per ipotesi, dunque anche l’accelerazione del centro di massa sarà nulla e quindi si muoverà di moto rettilineo uniforme. Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne, pertanto si ha

(11) $\begin{equation*} P_{1_\parallel} + P_{2_\parallel} + P_{3_\parallel} - F_{d,1}-F_{d,2}-F_{d,3} = 0. \end{equation*}$

Esplicitando, e raccogliendo a fattor comune in modo appropriato, otteniamo

(12) $\begin{equation*} (m_1+m_2+m_3)g\sin\theta - (\mu_1m_1 + \mu_2m_2 + \mu_3m_3)g\cos\theta = 0 \end{equation*}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ \mu_1 = \frac{(m_1+m_2+m_3)g\sin\theta - ( \mu_2m_2 + \mu_3m_3)g\cos\theta}{m_1g\cos\theta}.}$

1. Ecco la nota 1, in cui spiego che l’esponenziale diagonalizza le traslazioni. ↩

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Elementi di Fisica, Edises.