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Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Tre blocchetti di masse m_1, m_2, m_3 scendono lungo un piano inclinato liscio, con angolo \theta, sotto l’azione della forza peso e della forza \vec{F} costante indicata in figura. Si sa che il modulo della forza tangente al piano a cui è sottoposto il blocchetto m_2 è F_2. Calcolare il valore di F.
Si supponga ora che non ci sia la forza \vec{F}, ma che il piano presenti attrito, con coefficienti \mu_1, \mu_2, \mu_3 rispettivamente per il blocchetto m_1, m_2, m_3, e che il moto sia uniforme. Calcolare il valore di \mu_1 in funzioni di quest’ultimi.

 

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Svolgimento. Per prima cosa scegliamo un sistema di riferimento inerziale fisso Oxy con l’asse x parallelo al piano inclinato con il versore che punta verso terra e l’asse y perpendicolare ad esso con versore che punta verso l’alto come in figura 1 e inoltre rappresentiamo le forze agenti su ciascun blocco

 

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dove su ciascun blocco agiscono le loro forze peso m_1\vec{g},m_2\vec{g} e m_3\vec{g}, poi le forze di contatto tra ciascun blocco adiacenti che sono uguali in modulo e hanno verso opposto per il terzo principio della dinamica: \vec{N}_{1,2},\vec{N}_{2,3},\vec{N}_{1,2},-\vec{N}_{1,2}-\vec{N}_{2,3} ed infine agisce la forza \vec{F} su m_1.
Applichiamo quindi il secondo principio della dinamica [1] a ciascuno dei blocchi per trovare le equazioni che governano e descrivono il loro moto. Per prima cosa analizziamo il corpo m_1 come in figura 2

 

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dove dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(1)   \begin{equation*} m_1g \sin{\theta}+ N_{12} - F =m_1 a_1. \end{equation*}

Consideriamo ora il corpo m_2 come in figura 3

 

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Sempre dalla seconda legge della dinamica abbiamo

(2)   \begin{equation*} m_2g \sin{\theta}-N_{12} + N_{23} =m_2 a_2. \end{equation*}

Consideriamo il corpo m_3 come in figura 4

 

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Similmente a prima si ha

(3)   \begin{equation*} m_3g \sin{\theta}-N_{23} =m_3 a_3. \end{equation*}

Mettiamo a sistema (1),(2) e (3)

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} m_1g \sin{\theta}+ N_{12} - F =m_1 a_1\\\\ m_2g \sin{\theta}-N_{12} + N_{23} =m_2 a_2\\\\ m_3g \sin{\theta}-N_{23} =m_3 a_3 \end{cases} \end{equation*}

Come possiamo vedere dalle equazioni appena scritte l’informazione sul verso dei vettori lungo il piano è data dal segno davanti a ciascuno di essi. Abbiamo inoltre scomposto la forza peso di ciascuna massa lungo la direzione parallela e perpendicolare al piano come in figura 5

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Le incognite di (4) sono più numerose delle equazioni pertanto sembrerebbe che il sistema non sia risolvibile. In realtà le tre masse hanno tutte la stessa accelerazione poiché la forza F fa in modo che esse siano in contatto istante per istante e che quindi seguano lo stesso moto. Possiamo così riscrivere il sistema ponendo a_1=a_2=a_3=a e ottenendo 4 incognite e 4 equazioni. Pertanto abbiamo

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} m_1g \sin{\theta}+ N_{12} - F =m_1 a\\ m_2g \sin{\theta}-N_{12} + N_{23} =m_2 a\\ m_3g \sin{\theta}-N_{23} =m_3 a \end{cases}. \end{equation*}

Per ipotesi sappiamo che la somma delle forze agenti su m_2 è

(6)   \begin{equation*} F_2=m_2 a \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} a=\dfrac{F_2}{m_2}. \end{equation*}

Sommando membro a membro (5)_1,(5)_2 e (5)_3 otteniamo

(8)   \begin{equation*} (m_1+m_2+m_3)g \sin{\theta} -F=(m_1 + m_2+m_3)a \end{equation*}

da cui

(9)   \begin{equation*} F= (m_1+m_2+m_3)g \sin{\theta} -(m_1 + m_2 + m_3 )a. \end{equation*}

Raccogliendo a fattor comune le masse e sfruttando (7) otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ F= \left(m_1+m_2+m_3\right)\left(g\sin{\theta} - \frac{F_2}{m_2}\right).}\]

 

Nella seconda richiesta del problema la forza \vec{F} viene annullata e il piano diventa scabro. Ogni blocchetto ha coefficiente di attrito dinamico differente e noi dobbiamo determinare il coefficiente di attrito \mu_1 del corpo m_1.
In questa situazione, su ciascuno dei blocchetti agiscono le rispettive forze peso, \vec{P}_1, \vec{P}_2 e \vec{P}_3, le forze di attrito \vec{F}_{d,1}, \vec{F}_{d,2} e \vec{F}_{d,3} e le reazioni normali \vec{N}_1,\vec{N}_2 e \vec{N}_3 perpendicolari al piano inclinato. I moduli delle forza d’attrito dinamico sono:

(10)   \begin{equation*} F_{d,i}= \mu_i N_i\quad \text{con}\,\, k=1,2,3 \end{equation*}

dove il modulo delle reazioni vincolari equivale alla componente perpendicolare al piano della forza peso dei singoli blocchetti, ovvero N_i=m_i g \cos\theta\,\,\text{con}\,\, k=1,2,3.
Notiamo che i tre blocchetti si muovono lungo il piano verso il basso per effetto della componente tangenziale delle rispettive forze peso, e che le forze di attrito sono allineate lungo la direzione tangente al piano, con verso opposto a quello del moto, dunque verso l’alto.
I tre blocchetti si muovono con moto uniforme per ipotesi, dunque anche l’accelerazione del centro di massa sarà nulla e quindi si muoverà di moto rettilineo uniforme. Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne, pertanto si ha

(11)   \begin{equation*} P_{1_\parallel} + P_{2_\parallel} + P_{3_\parallel} - F_{d,1}-F_{d,2}-F_{d,3} = 0. \end{equation*}

Esplicitando, e raccogliendo a fattor comune in modo appropriato, otteniamo

(12)   \begin{equation*} (m_1+m_2+m_3)g\sin\theta - (\mu_1m_1 + \mu_2m_2 + \mu_3m_3)g\cos\theta = 0 \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ \mu_1 = \frac{(m_1+m_2+m_3)g\sin\theta - ( \mu_2m_2 + \mu_3m_3)g\cos\theta}{m_1g\cos\theta}.}\]

 

 

1. Ecco la nota 1, in cui spiego che l’esponenziale diagonalizza le traslazioni.

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Elementi di Fisica, Edisis