Home » Sistemi di punti materiali 1


 

Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un uomo di massa m_1, considerato come un punto materiale, è inizialmente in quiete sul bordo di una barca di massa m_2, la cui massa è distribuita in modo omogeneo e di lunghezza \ell, immersa nel mare.

L’uomo si sposta di una distanza d < \ell rispetto al punto fisso O, senza che vi sia alcun attrito tra la barca e l’acqua.

Determinare di quanto si è spostata la barca rispetto a un sistema di riferimento fisso. L’obbiettivo è di esprimere i risultati in funzione dei parametri d, m_1 e m_2.

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 
 
Richiami teorici.  Scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di n punti materiali, vale

(1)   \begin{equation*} 	\sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k = M\vec{a}_{\text{cm}}, \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k è la somma di tutte le forze esterne applicate al sistema, M è la somma di tutte le masse degli n punti materiali e \vec{a}_{\text{cm}} è l’accelerazione del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

Definiamo \vec{v}_{\text{cm}} la velocità del centro di massa del sistema. Se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne, l’equazione (1) diventa

(2)   \begin{equation*} 	M\vec{a}_{\text{cm}} = \vec{0} \quad\Rightarrow\quad \vec{v}_{\text{cm}} = \vec{c}, \end{equation*}

con \left \vert \vec{c} \right \vert = c = \text{costante} e \left[c\right] = [\text{m}\cdot\text{s}^{-1}].

Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare che, scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di n punti materiali, se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne (\textit{sistema isolato}), il moto del centro di massa è rettilineo uniforme o rimane in quiete, a seconda delle condizioni iniziali del sistema.
 
Svolgimento.  Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come mostrato in figura 1 all’istante t=0 e osserviamo che lungo l’asse x non agiscono forze esterne sul sistema composto dalle masse m_1 e m_2. Pertanto, l’equazione (2) è verificata.
 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 
 

Calcoliamo la velocità del centro di massa sfruttando le condizioni inziali:

(3)   \begin{equation*} 	\vec{v}_{cm} = \vec{0} \,\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}. \end{equation*}

Si osservi che la velocità è nulla perché il sistema all’istante iniziale era in quiete.

Il risultato di (3) indica che siamo nel caso particolare in cui il centro di massa rimane in quiete, implicando che la posizione del centro di massa composto da m_1 e m_2 non varia nel tempo.

Calcoliamo la posizione del centro di massa del sistema composto da m_1 e m_2 (siccome la massa della barca è distribuita in modo omogeneo, il centro di massa della barca si trova a \ell/2) all’istante t=0 (si veda la figura 2), ottenendo:

    \[ x_{\text{cm},i} = \dfrac{\frac{\ell}{2} m_2}{m_1 + m_2}. \]

Successivamente, l’uomo si sposterà di una distanza d rispetto al punto fisso O e, a causa della forza di attrito generata istante per istante sulla barca dovuta al contatto tra la superficie della barca e l’uomo, la barca arretra di una distanza x rispetto al nostro sistema di riferimento (si veda la figura 3).

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 
 
Calcoliamo ora la posizione del centro di massa in funzione delle distanze finale di m_1 e m_2:

    \[x_{\text{cm},f} = \dfrac{dm_1+\left(\dfrac{\ell}{2}-x\right)m_2}{m_1+m_2}\]

e siccome la posizione del centro di massa rimane costante abbiamo

    \[x_{\text{cm},f}=x_{\text{cm},i} \quad \Leftrightarrow \quad dm_1+\dfrac{\ell}{2}m_2-xm_2=\dfrac{\ell}{2}m_2  \quad \Leftrightarrow \quad  x= \dfrac{dm_1}{m_2}.\]

Dunque, concludiamo che la barca è arretra di quanto segue:

    \[\boxcolorato{fisica}{	x= \dfrac{dm_1}{m_2}.}\]