Home » Sistemi di punti materiali 1
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Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un uomo di massa m_1 considerato come un punto materiale è in quiete e si trova sul bordo di una barca di massa m_2, avente massa distribuita in modo omogeneo, e lunghezza \ell immersa nel mare.
L’uomo si sposta di una lunghezza d<\ell rispetto al punto fisso O e non è presente alcun attrito tra barca e acqua.
Determinare di quanto si è spostata la barca rispetto ad un sistema di riferimento fisso.

 

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Svolgimento. Scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di n punti materiali vale

(1)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k=M\vec{a}_{cm} \end{equation*}

dove \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k è la somma di tutte le forze esterne applicate al sistema, M è la somma di tutte le masse degli n punti materiali e \vec{a}_{cm} è l’accelerazione del centro di massa.
Se la somma di tutte le forze esterne è nulla o semplicemente non ci sono forze esterne, (1) diventa

(2)   \begin{equation*} M\vec{a}_{cm}=\vec{0}\quad\Rightarrow \quad\vec{v}_{cm}=\vec{c} \end{equation*}

con \left \vert \vec{c}\right \vert=c=costante e \left[c\right]=[\text{m}\cdot\text{s}^{-1}].
Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare che, scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di n punti materiali, se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne (sistema isolato) il moto del centro di massa è rettilineo uniforme o semplicemente rimane in quiete a seconda delle condizioni iniziali del sistema.

Ora risolviamo il nostro problema.
Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 1 per l’istante t=0 s

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e osserviamo che lungo l’asse x non agiscono forze esterne sul sistema composto dalla massa m_1 e m_2, quindi (2) è verificata.

Calcoliamo la velocità del centro di massa[1]

(3)   \begin{equation*} \vec{v}_{cm}=\vec{0}\,\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}. \end{equation*}

Si osservi che la velocità è nulla perché il sistema all’istante iniziale era in quiete.

Il risultato di (3) ci dice che siamo nel caso particolare che il centro di massa rimane in quiete e questo implica che la posizione del centro di massa composto da m_1 e m_2 non varia nel tempo.

Calcoliamo la posizione del centro di massa con m_1 e m_2 [2] all’istante t=0 s (vedi figura 1) [3] ottenendo

    \[x_{cm,i} = \dfrac{\frac{\ell}{2} m_2}{m_1+m_2}.\]

Dopo di che, l’uomo si sposterà di una distanza d rispetto alla barca e a causa della forza di attrito generata istante per istante sulla barca dovuta al contatto tra la superficie della barca e l’uomo, la barca arretra di una distanza x rispetto al nostro sistema di riferimento (vedi figura 2)

 

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Calcoliamo ora la posizione del centro di massa in funzione delle distanze finale di m_1 e m_2

    \[x_{cm,f} = \dfrac{dm_1+\left(\dfrac{\ell}{2}-x\right)m_2}{m_1+m_2}\]

e siccome la posizione del centro di massa rimane costante abbiamo

    \[x_{cm,f}=x_{cm,i} \quad \Leftrightarrow \quad dm_1+\dfrac{\ell}{2}m_2-xm_2=\dfrac{\ell}{2}m_2 \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{dm_1}{m_2}.\]

Dunque concludiamo che la barca arretra di quanto segue

    \[\boxcolorato{fisica}{x= \dfrac{dm_1}{m_2} .}\]

 

1. Si ricorda che la velocità del centro di massa è definita come

    \[\vec{v}_{cm}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{v}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k}.\]

2. Siccome la massa della barca è distribuita in modo omogeneo ed è noto che il centro di massa di massa di trova in \ell/2

3. Si ricorda che la velocità del centro di massa è definita come

    \[\vec{v}_{cm}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{v}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k}.\]