Sistemi di punti materiali 1

Sistemi di punti materiali in Meccanica classica

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Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un uomo di massa $m_1$ considerato come un punto materiale è in quiete e si trova sul bordo di una barca di massa $m_2$ , avente massa distribuita in modo omogeneo, e lunghezza $\ell$ immersa nel mare.
L’uomo si sposta di una lunghezza $d<\ell$ rispetto al punto fisso $O$ e non è presente alcun attrito tra barca e acqua.
Determinare di quanto si è spostata la barca rispetto ad un sistema di riferimento fisso.

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Svolgimento. Scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di $n$ punti materiali vale

(1) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k=M\vec{a}_{cm} \end{equation*}$

dove $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\vec{F}^{ext}_k$ è la somma di tutte le forze esterne applicate al sistema, $M$ è la somma di tutte le masse degli $n$ punti materiali e $\vec{a}_{cm}$ è l’accelerazione del centro di massa.
Se la somma di tutte le forze esterne è nulla o semplicemente non ci sono forze esterne, (1) diventa

(2) $\begin{equation*} M\vec{a}_{cm}=\vec{0}\quad\Rightarrow \quad\vec{v}_{cm}=\vec{c} \end{equation*}$

con $\left \vert \vec{c}\right \vert=c=costante$ e $\left[c\right]=[\text{m}\cdot\text{s}^{-1}].$
Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare che, scelto un sistema di riferimento inerziale e dato un sistema di $n$ punti materiali, se la somma di tutte le forze esterne è nulla o non ci sono forze esterne (sistema isolato) il moto del centro di massa è rettilineo uniforme o semplicemente rimane in quiete a seconda delle condizioni iniziali del sistema.

Ora risolviamo il nostro problema.
Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ come in figura 1 per l’istante $t=0$ s

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e osserviamo che lungo l’asse $x$ non agiscono forze esterne sul sistema composto dalla massa $m_1$ e $m_2$ , quindi (2) è verificata.

Calcoliamo la velocità del centro di massa[1]

(3) $\begin{equation*} \vec{v}_{cm}=\vec{0}\,\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}. \end{equation*}$

Si osservi che la velocità è nulla perché il sistema all’istante iniziale era in quiete.

Il risultato di (3) ci dice che siamo nel caso particolare che il centro di massa rimane in quiete e questo implica che la posizione del centro di massa composto da $m_1$ e $m_2$ non varia nel tempo.

Calcoliamo la posizione del centro di massa con $m_1$ e $m_2$ [2] all’istante $t=0$ s (vedi figura 1) [3] ottenendo

$x_{cm,i} = \dfrac{\frac{\ell}{2} m_2}{m_1+m_2}.$

Dopo di che, l’uomo si sposterà di una distanza $d$ rispetto alla barca e a causa della forza di attrito generata istante per istante sulla barca dovuta al contatto tra la superficie della barca e l’uomo, la barca arretra di una distanza $x$ rispetto al nostro sistema di riferimento (vedi figura 2)

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Calcoliamo ora la posizione del centro di massa in funzione delle distanze finale di $m_1$ e $m_2$

$x_{cm,f} = \dfrac{dm_1+\left(\dfrac{\ell}{2}-x\right)m_2}{m_1+m_2}$

e siccome la posizione del centro di massa rimane costante abbiamo

$x_{cm,f}=x_{cm,i} \quad \Leftrightarrow \quad dm_1+\dfrac{\ell}{2}m_2-xm_2=\dfrac{\ell}{2}m_2 \quad \Leftrightarrow \quad x= \dfrac{dm_1}{m_2}.$

Dunque concludiamo che la barca arretra di quanto segue

$\boxcolorato{fisica}{x= \dfrac{dm_1}{m_2} .}$

1. Si ricorda che la velocità del centro di massa è definita come

$\vec{v}_{cm}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{v}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k}.$

↩

2. Siccome la massa della barca è distribuita in modo omogeneo ed è noto che il centro di massa di massa di trova in $\ell/2$ . ↩

3. Si ricorda che la velocità del centro di massa è definita come

$\vec{v}_{cm}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k\vec{v}_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}m_k}.$

↩