Moti relativi: testi degli esercizi svolti

Esercizio 1 . Un nuotatore attraversa un tratto rettilineo di un fiume di larghezza muovendosi di moto rettilineo uniforme.
La corrente del fiume va verso valle con velocità , mentre il nuotatore si muove con velocità relativa costante . Quanto tempo impiega il nuotatore ad attraversare il fiume, sapendo che il suo percorso è ortogonale alle sponde?

Esercizio 2 .Lungo l’asse di un sistema di riferimento inerziale avente origine , un punto materiale descrive un moto armonico di equazione , dove è l’ampiezza e è la pulsazione.  Un secondo sistema di riferimento, con assi paralleli e concordi al primo sistema, è in movimento rispetto a quest’ultimo in modo tale che la posizione della sua origine sia individuata dall’equazione mentre

1. Determinare l’accelerazione del punto nel secondo sistema di riferimento.
2. Descrivere, sempre nel secondo sistema, il moto del punto.

Esercizio 3 . Un bersaglio di dimensioni trascurabili è posto ad un’altezza dal suolo; un carrello in moto sul piano di terra, con modulo della velocità , si avvicina alla proiezione del bersaglio (vedi figura 3) e quando dista da un cannoncino inclinato di un angolo rispetto al piano del carrello spara un proiettile che proprio nel punto più alto della traiettoria colpisce il bersaglio; le dimensioni del carrello sono trascurabili rispetto ad . Si calcolino le componenti e della velocità iniziale del proiettile rispetto al suolo e l’angolo .

Esercizio 4 . Una piattaforma circolare di raggio si trova in un piano orizzontale, ha il centro coincidente con un sistema di riferimento fisso e ruota con velocità angolare costante in senso antiorario rispetto al proprio asse di simmetria. Sul bordo della piattaforma c’è un meccanismo in grado di sparare proiettili con velocità di modulo , radialmente, rispetto alla piattaforma. Sull’asse del sistema fisso a distanza c’è un bersaglio. Se al tempo il meccanismo sopra descritto si trova sull’asse delle del sistema fisso, qual è il tempo minimo affinché il cannone possa sparare il proiettile per colpire il bersaglio?

Esercizio 5 . Un’auto procede alla velocità su un tratto rettilineo di strada in cui è proibito il sorpasso. Qual è la minima distanza alla quale il conducente di deve iniziare a frenare con accelerazione di modulo costante pari ad per evitare il tamponamento con una seconda auto che lo precede viaggiando ad una velocità ? Supporre che .

Esercizio 6 . Un anello sottile di massa è libero di muoversi senza attrito lungo una guida lineare di lunghezza che ruota su un piano orizzontale, intorno ad un asse verticale passante per un suo estremo, con velocità angolare mantenuta costante da un motore. Inizialmente l’anello è tenuto fermo a metà della guida. Successivamente l’anello viene quindi lasciato libero di scorrere lungo la guida. Determinare il modulo della velocità dell’anello, rispetto ad un sistema di riferimento fisso, quando esso raggiunge l’estremità della guida. Si esprima il risultato del problema in funzione di , e .

Esercizio 7 . Si consideri un blocco di massa poggiato su di un piano orizzontale. Il piano si muove di moto rettilineo verticale con accelerazione di modulo costante rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Si calcolino il modulo e il verso di per cui l’oggetto si distacca dal piano.

Esercizio 8 . Un pendolo semplice, costituito da una massa collegata ad un filo inestensibile di lunghezza e di massa trascurabile, è appeso al soffitto di un ascensore in moto con accelerazione di modulo costante, pari ad . Un osservatore solidale con l’ascensore, misurando le oscillazioni del pendolo, scopre che il periodo di oscillazione è maggiore del 10 rispetto a quanto previsto dalla teoria. Si determini modulo e verso dell’accelerazione dell’ascensore.

Esercizio 9 . Un corpo puntiforme di massa è posto su un carrello, che può scorrere su un piano orizzontale liscio. Inizialmente il corpo è posto a una distanza dal bordo del carrello, la cui massa è . Il coefficiente di attrito tra il corpo e il carrello è . Il carrello viene messo in moto tramite l’applicazione di una forza orizzontale e il corpo inizia a scivolare verso il fondo del carrello. Si assuma che sia costante in modulo, direzione e verso, come nelle figura che segue. Calcolare in quanto tempo il corpo arriva alla parete del carrello. Si assuma, inoltre che, valgano le seguenti condizioni e .

Esercizio 10 . Un motociclista affronta una curva, a raggio di curvatura r, con velocità di modulo v = √3rg/5. Trascurando il fatto che le ruote hanno uno spessore finito, e trattando la moto non come un punto materiale ma come un corpo esteso, si calcoli:

• a) quale inclinazione α, costante, rispetto all’orizzontale deve tenere il motociclista per non cadere né verso l’interno né verso l’esterno;
• b) quanto deve valere il coefficiente di attrito statico μ_S affinché le ruote non slittino sopra il terreno.

Esercizio 11 . Un carrello si muove con accelerazione rispetto al piano orizzontale sul quale poggia. L’accelerazione è costante in modulo, direzione e verso; il modulo di è , la direzione e il verso è illustrato in figura 11. Sul carrello è fissato un piano scabro (rispettivamente di coefficiente di attrito statico e dinamico ) inclinato di un angolo rispetto al piano orizzontale. Sul piano scabro, ad una quota rispetto al carrello, è poggiato un oggetto di massa , inizialmente fermo rispetto al piano stesso.

Se vale la condizione , si calcoli

1. il massimo valore dell’accelerazione del carrello per il quale l’oggetto rimane fermo rispetto al piano scabro;
2. il tempo impiegato da per giungere alla base del carrello se quest’ultimo si muove con accelerazione ;
3. sotto quali ipotesi non si distacca dal carrello. Se avviene il distacco tra e il piano sul quale poggia, si descriva di che moto si muove rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il piano orizzontale, e di che moto si muove rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il carrello.

Esercizio 12 . Un corpo puntiforme di massa è posto su un carrello di massa che può scorrere su un piano orizzontale liscio. Inizialmente il corpo è posto a una distanza dal bordo del carrello. Il coefficiente di attrito dinamico tra il corpo e il carrello è . Il carrello viene messo in moto tramite l’applicazione di una forza orizzontale con modulo, direzione e verso costanti; dopo di che, il corpo inizia a scivolare verso il fondo del carrello. Calcolare il tempo impiegato dal corpo per raggiungere la parete del carrello, se vale la condizione .

Esercizio 13 . Una piattaforma si trova su di un piano orizzontale e ruota con velocità angolare costante in modulo, direzione e verso, rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa, e perpendicolare al piano sul quale giace, come rappresentato in figura 13. All’istante , una pallina viene lanciata orizzontalmente con velocità dal centro della piattaforma. Si trascuri ogni forma di attrito. Si determini l’accelerazione della pallina, ad un generico istante , rispetto da un riferimento solidale alla piattaforma.

Esercizio 14 . Dalla sommità di un piano inclinato liscio si lascia libero di muoversi un corpo, con velocità iniziale parallela al piano inclinato, come rappresentato in figura 14. Il blocco che costituisce il piano inclinato si muove verso il basso con accelerazione uguale a quella di gravità. Si determini il moto del corpo rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il piano inclinato.

Esercizio 15 . Su un piano orizzontale scabro è appoggiata una piastra di massa , ferma rispetto al piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra e il piano è ; sulla piastra viene messo in movimento un punto materiale di massa con velocità orizzontale rispetto al piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra e è e quello statico è . Ipotizzando che grazie al contatto tra e il corpo entri in movimento, determinare:

1. lo spazio percorso da prima di fermarsi rispetto a ;
2. la distanza percorsa da prima di fermarsi rispetto ad un osservatore solidale al suolo;
3. l’energia meccanica dissipata dal sistema e il lavoro delle forze di attrito.

Esercizio 16 . Si consideri un disco e due punti materiali e , giacenti su di un piano orizzontale, come in figura 16. Il disco ruota con velocità angolare rispetto ad un asse passante per il proprio centro e perpendicolare al piano sul quale giace il disco. La velocità angolare è costante in modulo, direzione e verso, e orientata nella direzione dell’asse di rotazione. Nel disco è presente una scanalatura passante per il suo centro . Nella scanalatura sono posti due oggetti di massa e rispettivamente, collegati da una fune ideale di lunghezza , e massa trascurabile. In un sistema di riferimento solidale con la piattaforma, si determini la posizione di equilibrio in cui la fune rimane tesa e le masse non si spostano rispetto a . Si consideri la lunghezza della fune minore del diametro del disco.

Esercizio 17 . Si consideri una piattaforma libera di ruotare attorno al suo asse, in cui sia praticata una scanalatura passante per il suo centro . Nella scanalatura è posta una massa collegata al punto mediante una molla ideale di massa trascurabile, costante elastica e lunghezza a riposo pari al raggio della piattaforma; la massa è libera di oscillare lungo la scanalatura senza attrito. Quando la piattaforma ruota attorno al proprio asse con velocità angolare costante in modulo, direzione e verso, la massa si muove di moto armonico lungo la scanalatura con periodo di oscillazione .
Si esprima in funzione del periodo che si osserverebbe se la piattaforma fosse ferma, trascurando ogni forma di attrito e assumendo .

Esercizio 18 . Un pedone ed un pacco si trovano su un nastro trasportatore lungo che poggia su un piano orizzontale ed inizialmente fermo, nelle posizioni iniziali indicate in figura 18. Il coefficiente di attrito tra pacco e nastro è ; si lascia dedurre al lettore se l’attrito in questione è statico o dinamico. All’istante iniziale il nastro viene accelerato con accelerazione costante in modulo e diretta parallelamente al nastro orizzontale, come illustrato in figura 18. Si determini

1. il tempo che il pacco impiega ad arrivare alla fine del nastro;
2. la minima velocità costante in modulo, direzione parallela al piano orizzontale e verso rispetto al nastro trasportatore con cui deve partire il pedone all’istante se vuole raggiungere il pacco prima che esso cada dal nastro.

Si considerino e come punti materiali. Si effettuino i calcoli con: , , = 10 m.

Esercizio 19 . Una piattaforma ruota con velocità angolare di modulo, direzione e verso costante, rispetto ad un’asse passante per il centro del disco e perpendicolare sul piano sul quale giace. Si assuma che il modulo della velocità sia . Si consideri un sistema di riferimento solidale alla piattaforma con origine nel centro (dove passa l’asse di rotazione) e un altro, con la stessa origine, solidale al suolo. Un dischetto è legato tramite un filo lungo m all’origine e ruota anch’esso con velocità angolare ; tra dischetto e piattaforma non c’è attrito. Si osserva che la tensione del filo vale N. Con un freno la velocità angolare della piattaforma viene ridotta al valore e mantenuta poi costante a questo valore. Calcolare:

1. la velocità tangenziale del dischetto, vista dal sistema solidale con la piattaforma;
2. l’accelerazione del dischetto, vista dal sistema solidale con la piattaforma;
3. la massa del dischetto.

Si assuma il filo inestensibile e di massa trascurabile.

Esercizio 20 . Una guida semicircolare liscia verticale, di raggio m, si trova su di un piano orizzontale e si muove con accelerazione costante ms lungo la direzione orizzontale rispetto al suolo. Un corpo puntiforme inizialmente fermo rispetto alla guida si trova sulla guida all’estremo del diametro orizzontale dalla quale viene lasciato scivolare. Calcolare il modulo della velocità del corpo puntiforme rispetto alla guida quando giunge nel punto più basso e confrontarla con il valore che si ottiene se la la guida fosse stata ferma.

Esercizio 21 . Un pendolo semplice di lunghezza è appeso ad un supporto che avanza con accelerazione costante diretta lungo l’asse orizzontale. Al filo è appeso un corpo di massa . Si richiede di calcolare:

1. l’angolo di equilibrio rispetto alla verticale;
2. il periodo delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio.

Si consideri ogni filo presente nel sistema fisico illustrato in figura 21 ideale.

Esercizio 22 . Si consideri un disco di raggio vincolato a ruotare con velocità angolare costante attorno ad un asse verticale passante per il suo centro. La velocità angolare è costante in modulo, direzione e verso. Lungo un diametro del disco è realizzata una scanalatura dove può scorrere senza attrito una pallina di massa , collegata al centro del disco da una molla di costante elastica e lunghezza a riposo nulla. Se inizialmente la pallina è tenuta in quiete rispetto al disco, alla distanza di da , determinare la sua velocità radiale quando sta per uscire dalla scanalatura. Si trascuri qualsiasi forma di attrito e ipotizzare che la molla sia ideale e priva di massa. Supporre che valga

Esercizio 23 . Una piattaforma di massa si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità su di un piano orizzontale liscio. Il modulo della velocità è , la direzione è parallela al piano orizzontale e il verso è indicato in figura 23. Su di essa è posto nell’estremità un punto materiale con velocità relativa nulla rispetto alla piattaforma all’istante ; tra punto e piattaforma non c’è attrito. Al tempo il moto della piattaforma viene frenato da una molla ideale e di massa trascurabile, inizialmente non compressa, di costante elastica . Calcolare lo spostamento del punto rispetto ad all’istante e la velocità relativa del punto rispetto alla piattaforma all’istante .

Esercizio 24 . Sopra un piano orizzontale liscio è poggiato un cubo di massa e su di esso è poggiato un altro cubetto di massa a distanza dalla faccia del cubo più grande, come rappresento in figura 24. Al cubo di massa è applicata una forza costante in modulo, direzione e verso, come rappresentato in figura 24. La direzione della forza è parallela al piano orizzontale e il verso è indicato in figura 24. Dopo un tempo pari a il cubetto di massa cade. Calcolare il coefficiente di attrito tra i due cubi.

Esercizio 25 . Lungo l’asse di un sistema di riferimento inerziale avente origine , un punto materiale descrive un moto armonico di equazione , dove è l’ampiezza e è la pulsazione. Un secondo sistema di riferimento, con assi paralleli e concordi al primo sistema, è in movimento rispetto a quest’ultimo in modo tale che la posizione della sua origine sia individuata dall’equazione .

1. Determinare l’accelerazione del punto nel secondo sistema di riferimento.
2. Descrivere, sempre nel secondo sistema, il moto del punto.

Esercizio 26 . Osserviamo due punti materiali di massa e da un sistema di riferimento fisso . I due punti materiali si muovono di moto armonico semplice oscillando intorno alle loro posizioni di equilibrio posizionate lungo l’asse di ascissa per e per . L’ampiezza di oscillazione è pari ad e la pulsazione è per entrambi i punti materiali, mentre la fasa di è zero e la fase di è . Si richiede di trovare il sistema inerziale tale che per le energie cinetiche dei due oscillatori siano le stesse. Se a le origini del sistema di riferimento fisso e quello inerziale da determinare coincidono, trovare le leggi orarie dei due punti materiali rispetto al sistema di riferimento da determinare. Si supponga che .

Esercizio 27 . Una cassa di massa si trova su un carrello di massa , come rappresentato in figura 27. Il carrello si muove su una superficie orizzontale liscia con velocità costante di modulo e tra la cassa e il piano del carrello vi è attrito con coefficiente di attrito statico . Il carrello è attaccato all’estremità libera di una molla ideale avente l’asse diretto secondo la direzione del moto del carrello e la seconda estremità fissata a una parete. La molla ha costante elastica e massa trascurabile ed all’inizio del moto ha lunghezza a riposo. Si determini il valore massimo di al di sotto del quale la cassa ha velocità relativa nulla rispetto ad .

Esercizio 28 . Ad un asse verticale è attaccato lateralmente un braccio lungo il quale può scorrere, con un certo attrito, un manicotto di massa , come mostrato nella figura 28. Il coefficiente di attrito statico è .
Supponendo che l’asse verticale ruoti con velocità angolare , determinare le posizioni di equilibrio del manicotto in funzione della distanza che il manicotto ha rispetto all’asse di rotazione (si veda la figura 28) e dell’angolo che forma il braccio rispetto all’orizzontale in un sistema di riferimento solidale con il braccio. La velocità angolare è costante in modulo, costante in direzione e costante in verso.

Esercizio 29 . Siano un sistema di riferimento e un’asta verticale verticale, indefinita e scabra con coefficiente di attrito dinamico . L’asta viene posta parallelamente a distanza dall’asse lungo l’asse delle . Sull’asta viene posto un punto materiale di massa , vincolato a muoversi lungo l’asta (può muoversi solo verticalmente lungo l’asta mentre essa ruota), e l’asta successivamente viene messa in rotazione attorno all’asse con velocità angolare costante . Se il punto materiale all’istante si trova nel punto di coordinate , con quale velocità iniziale deve essere lanciato verticalmente affinché torni nello stes

Esercizio 30 . Un’asta verticale di lunghezza è posta ad una distanza dall’asse di un sistema di riferimento fisso , come rappresentato in figura 30. L’asta è liscia e viene posta in rotazione intorno all’asse con accelerazione angolare costante , a partire dall’istante di tempo . Sull’asta viene vincolato a muoversi senza attrito un punto materiale di massa . Se il punto all’istante si trova nel punto di coordinate e viene lanciato con una velocità perpendicolarmente al piano , cioè parallela all’asse delle , determinare il punto dove il punto materiale dopo aver lasciato l’asta tocca il piano .

Esercizio 31 . Due corpi di masse e , collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile, pendono ai lati di un cuneo, di massa e sezione a forma di triangolo isoscele, che poggia con la base su un piano orizzontale. L’inclinazione rispetto all’orizzontale dei lati del triangolo è . Si calcoli il modulo dell’accelerazione , rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, del cuneo se i due corpi scivolano sui lati del cuneo, sotto l’azione delle rispettive forze peso. Inoltre, si trascurino tutti gli attriti. La geometria del problema è rappresentata in figura 31.

Esercizio 32 . Un punto materiale di massa è attaccato tramite un filo all’origine di un sistema di riferimento inerziale e ruota con velocità angolare costante in senso antiorario nel piano ( ha verso concorde all’asse ). All’istante il filo viene tagliato esattamente quando il punto materiale si trova nel punto . Determinare il moto di visto da un sistema di riferimento non inerziale che ruota con velocità angolare costante in senso antiorario tale per cui all’istante iniziale ha gli assi coincidenti con quelli del sistema inerziale e che valga per ogni .

Esercizio 33 . Una piattaforma circolare di raggio si trova su di un piano orizzontale ruotando con velocità angolare costante in senso antiorario rispetto al proprio asse di simmetria e su di essa è posto un punto materiale di massa . Tale punto è vincolato a muoversi su di una guida circolare lisca di raggio concentrica alla piattaforma con velocità tangenziale costante di modulo rispetto alla piattaforma in senso antiorario. Calcolare la reazione vincolare orizzontale della guida rispetto ad un sistema di riferimento fisso e non inerziale solidale con la piattaforma che ruota. Si verifichi che la reazione vincolare abbia la stessa espressione analitica in entrambi i sistemi di riferimento. Di seguito, in figura 33, è mostrata la geometria del problema, dove indica il versore tangente alla guida circolare di raggio .

Esercizio 34 . In figura 34 è presente un punto materiale di massa posto su di un piano inclinato che poggia su di un piano orizzontale e collegato tramite un filo ad una carrucola . La carrucola è collegato grazie ad un altro filo ad una carrucola che a suo volta grazie ad un filo è collegata ad un punto materiale di massa . Il punto materiale di massa ha su di esso un altro blocco di massa . Il sistema fisico è in condizioni di equilibrio. Si ipotizzi che valga e che il piano inclinato formi un angolo con il piano orizzontale; tra le diverse superfici di contatto esiste attrito con gli stessi coefficienti di attrito statico e dinamico ad esclusione della superficie tra e .

1. Si determini il valore minimo del coefficiente di attrito statico per il quale sussiste l’equilibrio e il corrispondente modulo della reazione sviluppata dalla carrucola .
2. In questo nuovo punto tra e c’è attrito con coefficiente di attrito dinamico pari a . Al blocco , nella posizione di figura 34, viene applicato un impulso orizzontale per essere messo in moto. Si determini quale condizione deve valere affinché il blocco rimanga fermo mentre si muova su . Successivamente si ipotizzi che si muova mentre si muove su di essa. In queste condizioni si calcoli il modulo della velocità che il blocco possiede rispetto a quello dopo aver percorso sopra un tratto di lunghezza .

Si consideri ogni filo presente nel sistema fisico illustrato in figura 34 ideale. Inoltre, si ipotizzi che tra fili e carrucole che non ci sia attrito e che i fili siano sempre tesi.

Esercizio 35 . Come si vede nella figura 35, una palla di massa è collegata da due fili inestensibili di lunghezza e di massa trascurabile a un’asta verticale rotante. I fili tesi formano con l’asta, alla quale sono fissati, un triangolo equilatero. Il modulo della tensione nel filo superiore è .
Si richiede di determinare il modulo della velocità della palla nel generico istante in funzione di , , e rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Si supponga che .

Esercizio 36 . Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità angolare costante attorno ad un suo estremo fisso . Lungo l’asta è presente una scanalatura nella quale possono scorrere senza attrito tre masse , e , poste in serie una dopo l’altra come rappresentato in figura 36. La massa è collegata all’estremo da una molla ideale (di massa trascurabile e che rispetta la legge di Hooke) con costante elastica e lunghezza a riposo nulla. Alla massa è anche collegato un filo ideale (inestensibile e di massa trascurabile) di lunghezza che la lega alla massa . Questa è a sua volta collegata tramite un altro filo ideale di lunghezza alla massa (si veda la figura 36, dove l’asta è rappresentata in nero ed i fili che collegano le masse sono rappresentati in rosso). Il sistema fisico composto dalle tre masse è in equilibrio in un sistema di riferimento solidale con l’asta che ruota.

1. Si determini la lunghezza della molla e la tensione dei fili esercitata sulle masse.
2. Si calcoli il modulo dell’accelerazione della massa nel sistema di riferimento fisso rappresentato in figura 36.

Si esprimano i risultati in funzione di , , , e . Si assuma durante tutto lo svolgimento dell’esercizio che ; si veda l’approfondimento in fondo al testo per un’analisi del problema nel caso in cui .

Esercizio 37 . Intorno ad una carrucola può scorrere senza attrito un filo inestensibile e di massa trascurabile, con attaccate alle proprie estremità due masse e , come rappresentato in figura 37. La carrucola è sospesa ad un supporto tramite un secondo filo, anch’esso inestensibile e di massa trascurabile. Se il supporto si muove verticalmente con accelerazione costante rispetto ad un sistema di riferimento fisso, determinare:

1. la tensione nel filo che collega la carrucola al supporto;
2. il modulo di tale che la massa non acceleri rispetto ad un osservatore fisso.

Esprimere il primo risultato in funzione di , , e , dove è il modulo dell’accelerazione e il modulo dell’accelerazione di gravità . Esprimere il secondo risultato in funzione di , e .