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Esercizio 32  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m è attaccato tramite un filo all’origine di un sistema di riferimento inerziale Oxyz e ruota con velocità angolare costante \vec{\omega} in senso antiorario nel piano xy (\omega ha verso concorde all’asse z). All’istante t=0 il filo viene tagliato esattamente quando il punto materiale m si trova nel punto (0,R,0). Determinare il moto di m visto da un sistema di riferimento non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime che ruota con velocità angolare costante \vec{\omega} in senso antiorario tale per cui all’istante iniziale t=0 ha gli assi coincidenti con quelli del sistema inerziale e che valga O\equiv O^\prime per ogni t\geq 0.

 
 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Nel sistema inerziale il moto del punto materiale dopo il taglio della fune è semplice: il punto materiale procede di moto rettilineo uniforme con una velocità costante in modulo costante v=\omega R, direzione e verso, per il primo principio della dinamica. Sia

(3)   \begin{equation*} 	\vec{r}\left(t\right)=\left(x(t), y(t),0\right) 	\end{equation*}

il vettore posizione per m nel sistema fisso. Siccome il taglio avviene nel punto (0,R,0) e la velocità è tangente alla traiettoria, possiamo scrivere

(4)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 	x(t)=-\omega Rt\\ 	y(t)=R\\ 	z(t)=0 	\end{cases} 	\end{equation*}

che rappresenta il vettore posizione di coordinate

(5)   \begin{equation*} 	\vec{r}\left(t\right)=\left(-\omega R\, t ,R,0\right), \quad \text{per}\,\, t\geq 0. 	\end{equation*}

Di seguito, in figura 2, rappresentiamo il moto del corpo all’istante t=0.    

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Osserviamo m dal sistema di riferimento non inerziale. Siano \hat{x}^{\,\prime}, \hat{y}^{\,\prime} e \hat{z}^{\,\prime} i versori rispettivamente degli assi x^\prime, y^\prime e z^\prime. Il punto è soggetto a due forze apparenti: forza centrifuga e forza di Coriolis, rispettivamente date da

(6)   \begin{equation*} 	\vec{F}_{\mbox{centr.}}=m\left(\vec{\omega}\wedge \vec{\omega}\wedge \vec{r}\,^\prime \right),\quad \vec{F}_c=2m\, \vec{\omega}\wedge \vec{v}\,^\prime, 	\end{equation*}

dove \vec{r}\,^\prime = x^\prime \, \hat{x}\,^\prime+y^\prime \,\hat{y}\,^\prime è il vettore posizione del punto materiale nel sistema di riferimento non inerziale e \vec{v}^{\,\prime} la sua velocità relativa. Calcoliamo \vec{F}_{\mbox{centr.}}. Abbiamo dunque

(7)   \begin{equation*} \vec{\omega}\wedge \vec{r}^{\,\prime}=\begin{vmatrix} 	\hat{x}\,^\prime&\hat{y}\,^\prime&\hat{z}\,^\prime\\ 	0&0&\omega\\ 	x\,^\prime&y\,^\prime&0 	\end{vmatrix}=-\omega\, y^\prime \,\hat{x}\,^\prime+\omega\, x^\prime \,\hat{y}\,^\prime, 	\end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*}  	\vec{\omega}\wedge (\vec{\omega}\wedge \vec{r}^\prime)=\begin{vmatrix} 	\hat{x}\,^\prime&\hat{y}\,^\prime&\hat{z}\,^\prime\\ 	0&0&\omega\\ 	-\omega\, y\,^\prime&\omega\, x\,^\prime&0 	\end{vmatrix}=-\omega^2 x^\prime\, \hat{x}\,^\prime-\omega^2 y^\prime \,\hat{y}\,^\prime, 	\end{equation*}

conseguentemente

(9)   \begin{equation*} 	\vec{F}_{\text{centr}}=-m\omega^2\left(x^\prime,y^\prime,0\right). 	\end{equation*}

Calcoliamo la forza di Coriolis. Si ha

(10)   \begin{equation*}  	\begin{aligned} 	\vec{F}_c & = 2 m \,\vec{\omega}\wedge \vec{v}\,^\prime=2m\begin{vmatrix} 	\hat{x}\,^\prime&\hat{y}\,^\prime&\hat{z}\,^\prime\\ 	0&0&\omega\\ 	\dot{x}\,^\prime&\dot{y}\,^\prime&0 	\end{vmatrix}=2m\left(-\omega \,\dot{y}^\prime \,\hat{x}\,^\prime+\omega\,	 \dot{x}^\prime \,\hat{y}\,^\prime\right)=\\ 	& = 2m\omega\left(-\dot{y}\,^\prime,\dot{x}\,^\prime,0\right), 	\end{aligned} 	\end{equation*}

avendo indicato con \dot{x}\,^\prime e \dot{y}\,^\prime le componenti di \vec{v}\,^\prime lungo \hat{x}\,^\prime e \hat{y}\,^\prime rispettivamente. Avvalendoci di quanto detto fino ad’ora l’equazione (1) diventa

(11)   \begin{equation*} 	\vec{F}_c+\vec{F}_{\text{centr}}=m\vec{a}\,^\prime, 	\end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} 	m\omega\left(-\dot{y}\,^\prime,\dot{x}\,^\prime,0\right)-2m\omega^2\left(x^\prime,y^\prime,0\right)=m\left(\ddot{x}\,^\prime,\ddot{y}\,^\prime,\ddot{z}\,^\prime\right). 	\end{equation*}

Dalla precedente equazione otteniamo

(13)   \begin{equation*}  	\begin{cases} 	\ddot{x}^\prime-2\omega \dot{y}^\prime-\omega^2x^\prime=0\\ 	\ddot{y} ^\prime+2\omega \dot{x}^\prime-\omega^2 y^\prime=0. 	\end{cases} 	\end{equation*}

Per risolvere questo sistema di equazioni differenziali conviene fare la seguente sostituzione

(14)   \begin{equation*}  	z=x^\prime+i\,y^\prime, 	\end{equation*}

dove i è l’unità immaginaria. Deriviamo ambo i membri l’equazione (14) rispetto al tempo, ottenendo

(15)   \begin{equation*} 	\dot{z}=\dot{x}\,^\prime+i\dot{y}\,^\prime, 	\end{equation*}

e deriviamo ancora rispetto al tempo ambo i membri la precedente equazione, trovando

(16)   \begin{equation*}  	\ddot{z}=\ddot{x}\,^\prime+i\,\ddot{y}\,^\prime. 	\end{equation*}

Ora moltiplichiamo ambo i membri l’equazione (13)_2 per i e sommiamo successivamente tale risultato ad ambo i membri l’equazione (13)_1, giungendo ad

(17)   \begin{equation*} 	\ddot{x}^\prime+i\ddot{y}\,^\prime-2\omega \dot{y}^\prime+2i\omega \dot{x}\,^\prime-\omega^2x^\prime-i\omega^2 y^\prime=0, 	\end{equation*}

cioè

(18)   \begin{equation*} 	\ddot{z}(t)+2i\omega \dot{z}(t)-\omega^2 z(t)=0, 	\end{equation*}

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato le equazioni (15), (16) e (14). L’equazione (18) si risolve con i consueti metodi. L’equazione caratteristica associata alla precedente equazione è

(19)   \begin{equation*} 	\lambda^2 +2i\omega\lambda-\omega^2 =0 \quad \Leftrightarrow \quad \left(\lambda +i\omega\right)^2=0, 	\end{equation*}

da cui

(20)   \begin{equation*} \lambda_{1,2}=-i\omega \end{equation*}

che ha \Delta=0, per cui la soluzione cercata ha la forma

(21)   \begin{equation*}  	z(t)=Ae^{-i\omega t}+Bte^{-i\omega t} , 	\end{equation*}

dove A, B sono costanti da determinare. Le costanti A e B si determinano imponendo le condizioni iniziali dettate dalla scelta del sistema di riferimento e della ipotesi imposte dal problema, ovvero

(22)   \begin{equation*}  	\begin{cases}  	x^\prime(0)=0\\ 	y^\prime(0)=R\\ 	\dot{x}\,^\prime(0)=0\\ 	\dot{y}\,\prime(0)=0. 	\end{cases}  	\end{equation*}

Avvalendoci del precedente sistema l’equazione (21) diventa

(23)   \begin{equation*}  	z(0)=A=iR. 	\end{equation*}

Derivando ambo i membri l’equazione (21) rispetto al tempo si ottiene

(24)   \begin{equation*} 	\dot{z}(t)=-Ai\omega e^{-i\omega t}+B\left(e^{-i\omega t}-Bit  \omega \,e^{-i\omega t}\right). 	\end{equation*}

Avvalendoci del sistema (22) l’equazione (21) diventa

(25)   \begin{equation*} 	\dot{z}(0)=-iA\omega+B=0 \quad \Leftrightarrow \quad  B=iA\omega. 	\end{equation*}

Grazie alle equazioni (23) e (25) abbiamo

(26)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 	A=iR\\ 	B=iA\omega, 	\end{cases} 	\end{equation*}

ottenendo B=-\omega R. In definitiva sostituendo A=iR e B=-\omega R nell’equazione (21) si trova

(27)   \begin{equation*} 	z(t)=iRe^{-i\omega t}-\omega Rte^{-i\omega t}. 	\end{equation*}

Separiamo la parte reale da quella immaginaria di z, i.e.

(28)   \begin{equation*} 	\begin{aligned} 	z(t) & = i R (\cos \omega t-i\sin \omega t)-\omega Rt(\cos \omega t-i \sin \omega t)\\ 	&=-\omega Rt\cos\omega t+R\sin \omega t+i\omega R\sin \omega t+iR\cos \omega t=\\ 	&=\left(-\omega Rt\cos\omega t+R\sin \omega t\right)+i\left(\omega R\sin \omega t+R\cos \omega t\right)=x^\prime(t)+iy^\prime(t), 	\end{aligned} 	\end{equation*}

ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{	x^\prime(t)=-\omega Rt \, \cos \omega t+R\sin\omega t}\]

e

    \[\boxcolorato{fisica}{	y^\prime(t)=\omega Rt\sin\omega t+R\cos \omega t.}\]

   


Osservazione.

In figura 3 si rappresenta in un generico istante il sistema non inerziale coincidente con il sistema fisso ruotato di un angolo \theta.    

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    Rappresentiamo in figura 4 la figura di sopra vista in sezione e rappresentiamo i versori \hat{x}, \hat{y}, \hat{x}\,^\prime e \hat{y}\,^\prime che rappresentano rispettivamente i versori degli assi x, y, x^\prime e y^\prime.    

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    Dalla figura di sopra notiamo che sussiste il seguente legame tra i due sistemi di riferimento

(29)   \begin{equation*} 	\hat{x}=\cos \theta \,\hat{x}\,^\prime - \sin \theta \, \hat{y}\,^\prime  	\end{equation*}

e

(30)   \begin{equation*} 	\hat{y}=\sin \theta \, \hat{x}\,^\prime+\cos \theta \, \hat{y}\,^\prime . 	\end{equation*}

Sfruttando (29) e (30) possiamo riscrivere (5) come segue

(31)   \begin{equation*} 	\begin{aligned} 	\vec{r}\left(t\right)&=-\omega R t\left(\cos \theta \,\hat{x}\,^\prime - \sin \theta \, \hat{y}\,^\prime \right)+R\left(\sin \theta \, \hat{x}\,^\prime+\cos \theta \, \hat{y}\,^\prime\right)=\\ 	&=-\omega R t\cos\theta \,\hat{x}\,^\prime +\omega Rt\sin\theta \,\hat{y}\,^\prime+R\sin\theta\,\hat{x}\,^\prime+R\cos\theta \,\hat{y}\,^\prime=\\ 	&=\hat{x}\,^\prime\left(-\omega R t \cos \theta +R \sin\theta \right)+\hat{y}\,^\prime\left(\omega R t \sin \theta +R \cos \theta \right)=\\ 	&=x^\prime\left(t\right)\,\hat{x}^\prime+y^\prime\left(t\right)\,\hat{y}\,^\prime, 	\end{aligned} 	\end{equation*}

da cui

(32)   \begin{equation*} 	x^\prime(t)=-\omega Rt\cos\omega t+R\sin\omega t 	\end{equation*}

e

(33)   \begin{equation*} 	y^\prime(t)=\omega Rt\sin \omega t+R\cos \omega t 	\end{equation*}

ovviamente identiche a quelle già trovate. Notiamo come questo metodo è più veloce e semplice del metodo proposto nello svolgimento principale del problema, da cui deduciamo quanto sia importante scegliere il sistema di riferimento adeguato per osservare il moto di uno o più corpi, in altri termini se si sceglie un sistema di riferimento “scomodo” si può giungere in calcoli tediosi.