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Moti relativi 31

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio 31 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due corpi di masse m_1 e m_2>m_1, collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile, pendono ai lati di un cuneo, di massa m e sezione a forma di triangolo isoscele, che poggia con la base su un piano orizzontale. L’inclinazione rispetto all’orizzontale dei lati del triangolo è \alpha. Si calcoli il modulo dell’accelerazione \vec{A}, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, del cuneo se i due corpi scivolano sui lati del cuneo, sotto l’azione delle rispettive forze peso. Inoltre, si trascurino tutti gli attriti. La geometria del problema è rappresentata in figura 1.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Nell’istante iniziale il sistema fisico composto dal cuneo, dal filo, dalla carrucola e dalle due masse m_1 ed m_2, è in quiete rispetto a un sistema di riferimento fisso Oxy, con l’asse x che giace sul piano orizzontale e l’asse y parallelo all’altezza del cuneo (si veda la figura 2).

 

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Sulla massa m_1 agiscono la forza peso m_1\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_1, e la tensione \vec{\tau}_1. Sulla massa m_2 agiscono la forza peso m_2\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_2, e la tensione \vec{\tau}_2. Siccome non c’è attrito tra filo e carrucola, si ha che \left \vert \vec{\tau}_1\right \vert =\left \vert \vec{\tau}_2\right \vert=\tau. La massa m_2>m_1, pertanto deduciamo che la massa m_2 scivola verso il basso, mentre la massa m_1 scivola verso l’alto. Inoltre, definiamo i sistemi di riferimento O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime} e O^{\prime\prime}x^{\prime\prime}y^{\prime\prime}, solidali rispettivamente con la massa m, e tali che gli assi x^{\prime} e x^{\prime\prime} giacciano sulle facce del cuneo, come mostra la figura 2. Il cuneo di massa m si muove con accelerazione \vec{A} rispetto al sistema di riferimento Oxy; è chiaro che tale accelerazione è parallela all’asse delle ascisse, perché il cuneo è vincolato a muoversi sul piano orizzontale. Poiché m ha un’accelerazione pari ad \vec{A}, deduciamo che, i sistemi di riferimento O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime} e O^{\prime\prime}x^{\prime\prime}y^{\prime\prime} sono non inerziali, pertanto, oltre alle forze già citate in precedenza, sulle due masse m_1 e m_2 agiscono rispettivamente le forze apparenti -m_1\vec{A} e -m_2\vec{A}. In aggiunta, ipotizziamo che, la massa m si muova nel verso negativo dell’asse delle x; Tutte le forze agenti su m_1 ed m_2 sono rappresentate in figura 3. Chiaramente le forze apparenti -m_1\vec{A} e -m_2\vec{A} sono nella direzione positiva del verso dell’asse delle x perché sono opposte all’accelerazione \vec{A}, che abbiamo ipotizzato nel verso negativo dell’asse delle x.

 

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Per la seconda legge della dinamica, nella direzione degli assi {y}^{\prime} e {y}^{\prime\prime} per i corpi m_1 e m_2, si ha rispettivamente

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} N_1=m_1g\cos\alpha+m_1A\sin\alpha\\ N_2=m_2g\cos\alpha-m_2A\sin\alpha; \end{cases} \end{equation*}

mentre, nella direzione degli assi {x}^{\prime} e {x}^{\prime\prime} per i corpi m_1 e m_2, si ha rispettivamente

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} m_2A\cos \alpha+m_2g\sin \alpha -\tau_2=m_2 a_2^\prime\\ -m_1g\sin \alpha +m_1A\cos \alpha +\tau_1 =m_1 a_1^\prime , \end{cases} \end{equation*}

dove a_2^\prime è l’accelerazione del corpo m_2 nella direzione dell’asse delle x^{\prime\prime} e a_1^\prime è l’accelerazione di m_1 nella direzione dell’asse delle x^\prime. Le accelerazioni a_2^\prime e a_1^\prime sono le accelerazioni relative rispetto ad m. Siccome il filo è inestensibile si ha a_1^\prime=a_2^\prime e per via del fatto che il filo ha massa trascurabile, e tra carrucola e filo non è presente attrito abbiamo \tau_2=\tau_1. Le forze che agiscono sul cuneo sono la sua forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} dovuta al contatto con il piano orizzontale, la reazione vincolare \vec{R} dovuta al contatto con la carrucola, e per il terzo principio della dinamica le forze -\vec{N}_1 e -\vec{N}_2, generate rispettivamente dal contatto con le due masse m_1 ed m_2. Tutte le forze agenti su m sono rappresentate in figura 4.

 

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Dal secondo principio della dinamica, nella direzione dell’asse delle x e y per la massa m, abbiamo

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} N-R-mg-N_1\cos\alpha-N_2\cos\alpha=0\\ N_1\sin\alpha-N_2\sin\alpha=-mA. \end{cases} \end{equation*}

Si osservi che nell’equazione (5)_2 è stato inserito il segno meno nel secondo membro dell’equazione, perché stiamo supponendo che la massa m si muova nel verso negativo dell’asse delle x; questo implica che A, ossia il modulo dell’accelerazione di m, sia positivo (A>0). Tale ipotesi, se vera, risulterà verificata dal fatto che l’accelerazione A è positiva, altrimenti, se negativa, vorrà dire semplicemente che m si muove nel verso opposto a quello scelto. Mettendo a sistema le equazioni del sistema (3) con l’equazione (5)_2, si ottiene

(6)   \begin{equation*} \begin{aligned} &(m_1g\cos\alpha+m_1A\sin\alpha)\sin\alpha-(m_2g\cos\alpha-m_2A\sin\alpha)\sin\alpha=-mA\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] \Leftrightarrow\quad&m_1g\cos\alpha\sin\alpha+m_1A\sin^2\alpha-m_2g\cos\alpha\sin\alpha+m_2A\sin^2\alpha=-mA\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] \Leftrightarrow\quad&(m_1\sin^2\alpha+m_2\sin^2\alpha+m)A=m_2g\cos\alpha\sin\alpha-m_1g\cos\alpha\sin\alpha, \end{aligned} \end{equation*}

da cui concludiamo

    \[\boxcolorato{fisica}{A=\dfrac{g\cos\alpha\sin\alpha(m_2-m_1)}{\sin^2\alpha\left(m_1+m_2\right)+m}.}\]

Osserviamo che A>0 perché m_2>m_1, pertanto la massa m si muove nella direzione dell’asse negativo delle x, come avevamo ipotizzato. Se avessimo avuto come ipotesi m_2<m_1 si avrebbe avuto A<0, pertanto, avremmo dedotto che m si sarebbe mosso nel verso positivo delle x, contrariamente all’ipotesi fatta. Inoltre, notiamo che, le equazioni del sistema (4) non sono necessarie per determinare A; tali equazioni sono state riportate solo per amore della completezza. Si noti, anche che, l’equazione (5)_1 non è servita per determinare A, anche in questo caso è stata riportata per completezza.

 

 


Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.


 
 

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