Esercizio moti relativi 30

Home » Esercizio moti relativi 30

Esercizio sui moti relativi 30 è il trentesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 31, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 29. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 30

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’asta verticale di lunghezza $\ell_0$ è posta ad una distanza $d$ dall’asse $z$ di un sistema di riferimento fisso $Oxyz$ , come rappresentato in figura 1. L’asta è liscia e viene posta in rotazione intorno all’asse $z$ con accelerazione angolare costante $\alpha$ , a partire dall’istante di tempo $t=0$ . Sull’asta viene vincolato a muoversi senza attrito un punto materiale di massa $m$ . Se il punto all’istante $t=0$ si trova nel punto di coordinate $(d,0,0)$ e viene lanciato con una velocità $\vec{v}_0$ perpendicolarmente al piano $xy$ , cioè parallela all’asse delle $z$ , determinare il punto $(\tilde{x},\tilde{y},0)$ dove il punto materiale $m$ dopo aver lasciato l’asta tocca il piano $xy$ .

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale $P$

, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) $\begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}$

Nell’equazione (1):

$\vec{F}$ è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
$\vec{a}_{O^\prime}$ è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }$ , dove $\vec{\omega}$ la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e $\vec{r}^{\, \prime }$ il vettore posizione di $m$ rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$-m\vec{a}_c$ è la forza centrifuga, dove $\vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right)$ ;
$-m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}}$ è la forza di Coriolis, dove $\vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }$ , essendo $\vec{v}^{\, \prime }$ la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$\vec{a}^{\,\prime}$ è l’accelerazione relativa di $m$ nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) $\begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale $O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime$

tale che $O^\prime\equiv O$

, $z^\prime\equiv z$

e l’asse $x^\prime$

coincida istante per istante con il punto dell’asta che giace nel piano $xy$

che ovviamente si muove di moto circolare uniformemente accelerato, e osserviamo il punto materiale $m$

. Nella direzione dello spostamento lungo l’asta il punto materiale risulta essere soggetto solo alla forza peso poiché non sono presenti forze fittizie in quella direzione. Quindi per (1) si trova che $a^\prime=-g$

, e quindi la sua legge oraria nel sistema di riferimento non inerziale è

(3) $\begin{equation*} z^\prime(t)=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2. \end{equation*}$

Poniamo $z^\prime(t)=\ell_0$ e otteniamo dalla precedente equazione

(4) $\begin{equation*} \ell_0=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2\quad \Leftrightarrow \quad gt^2-2v_0t+2\ell_0=0, \end{equation*}$

svolgendo i calcoli si ottiene il tempo che il punto materiale impiega per raggiungere la sommità dell’asta, cioè

(5) $\begin{equation*} t_{1,2}=\dfrac{2v_0\pm\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g}. \end{equation*}$

La precedente equazione per essere ben definita deve valere

(6) $\begin{equation*} 4v_0^2\geq 8g\ell_0 \quad \Leftrightarrow \quad v_0^2\geq 2g\ell_0. \end{equation*}$

Ora notiamo che

(7) $\begin{equation*} 2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}>0 \quad \Leftrightarrow \quad2v_0>\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}\quad \Rightarrow \quad 4v_0^2>4v_0^2-8g\ell_0\quad \Rightarrow \quad 0 >-8g\ell_0 \end{equation*}$

che chiaramente è vero, e

(8) $\begin{equation*} 2v_0+\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}>0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}>-2v_0 \end{equation*}$

che è vero, quindi entrambe le soluzioni matematicamente sono accettabili, prendiamo l’unica soluzione accettabile fisicamente tra le due, i.e. il tempo più piccolo tra $t_1$ , ovvero e $t_2$

(9) $\begin{equation*} \min\{t_1,t_2\}=t_1=\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g}. \end{equation*}$

A questo tempo $t_1$ la velocità verticale, denotata con $v^\prime_z(t_1)$ , vale

(10) $\begin{equation*} v^\prime_z(t_1)=v_0- gt_1=v_0-g \left( \dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g } \right) = v_0- \dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2} = \sqrt{v_0^2-2g\ell_0}. \end{equation*}$

Per calcolare le altre componenti delle velocità rispetto al sistema inerziale dobbiamo considerare che l’asta sta ruotando in modo accelerato. Calcoliamo la sua velocità angolare al tempo $t_1$ , cioè

(11) $\begin{equation*} \omega(t_1)=\alpha t_1=\alpha\sqrt{v_0^2-2g\ell_0}, \end{equation*}$

dove si è tenuto conto del fatto che l’asta parte da ferma e quindi $\omega(0)=0$ , inoltre, di seguito, in figura 2 rappresentiamo l’asta vista dall’alto.

Al tempo $t_1$ il punto materiale $m$ ha una componente della velocità $\vec{v}$ rispetto al sistema fisso diretta tangenzialmente alla traiettoria dell’asta (si ricorda che tutti i punti dell’asta si muovono di moto circolare rispetto al sistema di riferimento fisso, tranne, ovviamente, il punto materiale $m$ perché ha anche una componente della velocità verticale) e quindi grazie alla precedente equazione abbiamo

(12) $\begin{equation*} v_t(t_1)=\omega(t_1) d=\alpha t_1d=\alpha d\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right). \end{equation*}$

La precedente equazione rappresenta il modulo della componente della velocità $\vec{v}$ diretta tangenzialmente alla traiettoria di $m$ rispetto al sistema fisso nell’istante $t=t_1$ . Dopo di che, calcoliamo lo spazio angolare percorso dall’asta nel tempo $t_1$ , cioè

(13) $\begin{equation*} \theta(t_1)=\theta_1=\dfrac{1}{2}\alpha t_1^2=\dfrac{1}{2}\alpha\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2. \end{equation*}$

Avvalendoci della precedente equazione possiamo proiettare la velocità tangenziale rispetto agli assi $x$ e $y$ del sistema fisso. Di seguito, in figura 3, diamo una rappresentazione dell’angolo $\theta_1$ e della direzione tangente e normale al moto di $m$ che sono rappresentati rispettivamente dai versori $\hat{t}$ e $\hat{n}$ .

Le componenti della velocità $\vec{v}$ lungo l’asse delle $x$ e l’asse delle $y$ sono rispettivamente

(14) $\begin{equation*} v_x=v_t\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta_1\right)=v_t\sin\theta_1=\alpha d\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)\sin\left(\dfrac{1}{2}\alpha\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2\right) \end{equation*}$

(15) $\begin{equation*} v_y=v_t\sin\left( \dfrac{\pi}{2}-\theta_1\right)=v\cos\theta_1=\alpha d\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)\cos\left(\dfrac{1}{2}\alpha\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2\right). \end{equation*}$

Dalla geometria del problema risulta chiaro che

(16) $\begin{equation*} x=d\cos\theta_1 \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*} y=d\sin\theta_1. \end{equation*}$

Le posizioni di $m$ lungo l’asse delle $x$ , l’asse delle $y$ e l’asse delle $z$ al tempo $t_1$ sono rispettivamente

(18) $\begin{equation*} \begin{aligned} &x(t_1)=x_1=d\cos\left(\dfrac{1}{2}\alpha t^2_1\right)=d\cos\left(\dfrac{1}{2}\alpha \left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2 \right)\\[10pt] &y(t_1)=y_1=d\sin\left(\dfrac{1}{2}\alpha t^2_1\right)=d\sin \left(\dfrac{1}{2}\alpha \left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2\right) \end{aligned} \end{equation*}$

(19) $\begin{equation*} z(t_1)=z_1=\ell_0 \end{equation*}$

Di seguito, in figura 4, rappresentiamo $x_1$ , $y_1$ e $z_1$ .

Le componenti della velocità di $m$ lungo l’asse delle $x$ , l’asse delle $y$ e l’asse delle $z$ al tempo $t_1$ sono rispettivamente

(20) $\begin{equation*} \begin{aligned} &v_{x}=v_x(t_1)=\alpha d\left( \dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g}\right)\sin\left( \dfrac{1}{2}\alpha \left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g}\right)^2\right),\\[10pt] &v_{y}=v_y(t_1)=d\alpha\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g}\right)\cos\left( \dfrac{1}{2}\alpha\left( \dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g}\right)^2\right) \end{aligned} \end{equation*}$

(21) $\begin{equation*} v_{z}=v_z(t_1)=v^\prime_{z}=\sqrt{v_0^2-2g\ell_0}. \end{equation*}$

Nel punto $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ il punto materiale ha velocità $\vec{v}(t_1)=(v_{x},v_{y},v_{z})$ , lasciato tale punto il punto materiale si muoverà di moto parabolico nello spazio. Per prima cosa calcoliamo il tempo che intercorre dal momento in cui il punto materiale lascia l’asta a quello in cui impatta nel piano $xy$ nel punto $(\tilde{x},\tilde{y}, 0)$ . L’equazione oraria lungo l’asse $z$ a partire dall’istante $t_1$ è

(22) $\begin{equation*} z(t)=\ell_0+v^\prime_{z}(t_1)(t-t_1)-\dfrac{1}{2}g(t-t_1 )^2 \end{equation*}$

e ponendo $z(t)=0$ si trova

(23) $\begin{equation*} -g(t-t_1)^2+2v^\prime_z(t_1)(t-t_1)+2\ell_0=0 \ \quad \Leftrightarrow \quad t_{3,4}-t_1=\dfrac{-2v^\prime_{z}(t_1)\pm\sqrt{4\left(v^\prime_{z}(t_1)\right)^2+8\ell_0g}}{2g}, \end{equation*}$

dove l’unica soluzione accettabile è

(24) $\begin{equation*} \dfrac{-2v^\prime_{z}+\sqrt{4v_{1z}^2+8\ell_0g}}{2g }>0, \end{equation*}$

poiché l’altra è negativa. L’istante di tempo

(25) $\begin{equation*} t_{3}=t_1+\dfrac{-2v^\prime_{z}(t_1)+\sqrt{4\left(v^\prime_{z}(t_1)\right)^2+8\ell_0g}}{2g}, \end{equation*}$

è l’istante di tempo il cui il punto materiale $m$ si trova nel piano $xy$ , inoltre lungo l’asse $x$ e $y$ il punto materiale $m$ si muove di moto rettilineo uniforme, quindi le sue posizioni lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ sono rispettivamente

(26) $\begin{equation*} \begin{cases} x(t)=x_1+v_x(t-t_1) \\ y(t)=y_1+v_{y}(t-t_1). \end{cases} \end{equation*}$

Se valutiamo il precedente sistema al tempo $t=t_3$ , il tempo cioè che passa tra quando il punto lascia l’asta e quando arriva nel punto di coordinate $(\tilde{x}, \tilde{y})$ , si trova che

(27) $\begin{equation*} \begin{cases} x(t_3)=x_1+v_{x}t_3=\tilde{x}\\ y(t_3)=y_1+v_{y}t_3=\tilde{y}. \end{cases} \end{equation*}$

Sfruttando quanto ottenuto fino ad’ora dal precedente sistema abbiamo

$\boxcolorato{fisica}{\begin{aligned} &\tilde{x}=d\cos\left(\dfrac{1}{2}\alpha\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2\right)+\\ & \qquad + \alpha d\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)\cdot\sin\left(\dfrac{1}{2}\alpha \left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2 \right)\left(\dfrac{-2v^\prime_{z}+\sqrt{4\left(v^\prime_{z}\right)^2+8g\ell_0}}{-2g}\right), \end{aligned}}$

$\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} &\tilde{y}=d\sin\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2 \right)+\\ & + d\alpha\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)\cdot\cos\left( \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2v_0-\sqrt{4v_0^2-8g\ell_0}}{2g} \right)^2\right)\left(\dfrac{-2v_0+\sqrt{4v_0^2+8g\ell_0}}{-2g} \right) \end{aligned}}$

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 37 esercizi risolti, contenuti in 131 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei moti relativi in meccanica classica.

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

Document

Menu

Chiudi