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Esercizio 33  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Una piattaforma circolare di raggio R si trova su di un piano orizzontale ruotando con velocità angolare costante \vec{\omega}_0 in senso antiorario rispetto al proprio asse di simmetria e su di essa è posto un punto materiale di massa m. Tale punto è vincolato a muoversi su di una guida circolare lisca di raggio r<R concentrica alla piattaforma con velocità tangenziale costante di modulo v_0 rispetto alla piattaforma in senso antiorario. Calcolare la reazione vincolare \vec{N} orizzontale della guida rispetto ad un sistema di riferimento fisso e non inerziale solidale con la piattaforma che ruota. Si verifichi che la reazione vincolare abbia la stessa espressione analitica in entrambi i sistemi di riferimento. Di seguito, in figura 1, è mostrata la geometria del problema, dove \hat{t} indica il versore tangente alla guida circolare di raggio r.

 
 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale fisso Oxy, come rappresentato in figura 1.    

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    La componente della velocità angolare assoluta (la velocità angolare è diretta nella direzione dell’asse di simmetria) del punto materiale m rispetto al sistema di riferimento fisso è

    \[\tilde{\omega}=\omega +\dfrac{v_0}{r}.\]

Dal momento che la reazione vincolare fa da forza centripeta, come rappresentato in figura 2, si ha

(3)   \begin{equation*} 		N=-m\tilde{\omega}^2r=-m\left(\omega +\dfrac{v_0}{r}\right)^2r, 		\end{equation*}

che è proprio quello che stavamo cercando. Con la notazione N si vuol indicare la componente della reazione vincolare nella direzione normale alla guida.

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    Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime solidale con la piattaforma di raggio R che ruota. In tale sistema di riferimento il punto materiale sarà soggetto oltre che alla reazione vincolare \vec{N}, anche alle forze apparenti: forza centrifuga e forza di Coriolis. Avvalendoci di quanto detto per (1) abbiamo

(4)   \begin{equation*} 		\vec{N}+\vec{F}_{\text{Centrifuga}}+\vec{F}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^{\,\prime}. 		\end{equation*}

Osserviamo che siccome il punto materiale si muove di moto circolare l’accelerazione \vec{a}{^\prime} è diretta ortogonalmente alla guida. Dalla teoria sappiamo che

(5)   \begin{equation*} 		\vec{F}_{\text{Centrifuga}}=-m\,\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\right) 		\end{equation*}

e

(6)   \begin{equation*} 		\vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_0. 		\end{equation*}

Introducendo i versori \hat{t} e \hat{n} tangenti e normali alla traiettoria di m (ovvero alla guida) rispettivamente e svolgendo i calcoli abbiamo

(7)   \begin{equation*} 		\begin{aligned} 		\vec{F}_{\text{Centrifuga}}&=-m\,\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\right)=-m\omega\,\hat{z}\wedge \left(\omega r \,\left(\hat{z}\wedge \hat{n}\right)\right)=-m\omega^2r\,\hat{z}\wedge \left(\hat{z}\wedge \hat{n}\right)=-m\omega^2r\,\left(\hat{z}\wedge \hat{t}\,\right)=\\ 		&=-m\omega^2r\left(-\hat{n}\right)=\omega^2r\,\hat{n}\\ 		\end{aligned} 		\end{equation*}

e

(8)   \begin{equation*} 		\vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_0=-2m\omega v_0\left(\hat{z}\wedge \hat{t} \right)=-2m\omega v_0\left(-\hat{n}\right)=2m\omega v_0\,\hat{n}. 		\end{equation*}

In particolare il punto materiale muovendosi di moto circolare uniforme si ha

(9)   \begin{equation*} 		\vec{a}^{\,\prime}=-\dfrac{v_0^2}{r}\,\hat{n} 		\end{equation*}

Sfruttando la precedente equazione, l’equazione (7) e l’equazione (8), si ha che l’equazione (4) diventa

(10)   \begin{equation*} 		\begin{aligned} 		&\vec{N}+\vec{F}_{\text{Centrifuga}}+\vec{F}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^{\,\prime}\quad \Leftrightarrow\quad \left(N+2m\omega v_0+\omega^2r\right)=-m\dfrac{v_0^2}{r}\quad \Leftrightarrow \\[10pt] 		&\Leftrightarrow \quad  N=-2m\omega v_0-m\omega^2r-m\dfrac{v_0^2}{r}=-mr\left(\omega^2+\dfrac{2\omega v_0}{r}+\dfrac{v_0^2}{r^2}\right)=-mr\left(\omega+\dfrac{v_0}{r}\right)^2, 		\end{aligned} 		\end{equation*}

che è esattamente quello che ci aspettavamo. Abbiamo dimostrato dunque che da entrambi i sistemi di riferimento si ottiene il medesimo risultato per la reazione vincolare \vec{N}.     Approfondimento Per il lettore scrupoloso proponiamo un procedimento alternativo per calcolare la reazione vincolare \vec{N} sempre dal sistema solidale con la piattaforma. Consideriamo il punto materiale che si muove di moto circolare uniforme nel sistema solidale con la piattaforma in un generico istante t\geq0, come rappresentato in figura 3.    

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Dalla figura di sopra si evince che

(11)   \begin{equation*} 		\begin{aligned} 		&\vec{r}=r\cos \theta\,\hat{x}^\prime +r \sin \theta \,\hat{y}^\prime,\\ 		&\vec{v}_0=-v_0\sin \theta \,\hat{x}^\prime +v_0\cos \theta \,\hat{y}^\prime 		\end{aligned} 		\end{equation*}

e

(12)   \begin{equation*} 		\vec{a}_n=-\dfrac{v_0^2}{r}\cos\theta\,\hat{x}^\prime-\dfrac{v_0^2}{r}\sin \theta \,\hat{y}^\prime. 		\end{equation*}

Per brevità poniamo \omega_0=v_0/ r e tenendo conto che \theta=\omega_0r le precedenti equazioni diventano

(13)   \begin{equation*} 		\begin{aligned} 		&\vec{r}=r\cos \theta\,\hat{x}^\prime +r \sin \theta \,\hat{y}^\prime=r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime +r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime =r_x\,\hat{x}^\prime+r_y\,\hat{y}^\prime\\[10pt] 		&\vec{v}_0=-v_0\sin \left(\theta\right) \,\hat{x}^\prime +v_0\cos \left(\theta\right) \,\hat{y}^\prime=-\omega_0r\sin\left(\omega_0 r\right)\,\hat{x}^\prime+\omega_0r\cos \left(\omega_0 r\right)\,\hat{y}^\prime=-\dot{r}_x\,\hat{x}^\prime+\dot{r}_y\,\hat{y}^\prime 		\end{aligned} 		\end{equation*}

e

(14)   \begin{equation*} 		\vec{a}^{\,\prime}=-\dfrac{v_0^2}{r}\cos\theta\,\hat{x}^\prime-\dfrac{v_0^2}{r}\sin \theta \,\hat{y}^\prime=-\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime.  		\end{equation*}

Calcoliamo la forza centrifuga \vec{F}_{\text{Centrifuga}} e la forza di Coriolis \vec{F}_{\text{Coriolis}}. Abbiamo dunque

(15)   \begin{equation*} 		\vec{\omega}\wedge \vec{r}=\begin{vmatrix} 		\hat{x}^\prime & \hat{y}^\prime & \hat{z}^\prime\\ 		0 &0&\omega\\ 		r_x^\prime & r_y^\prime &0 		\end{vmatrix}=-\omega r_y\,\hat{x}^\prime+\omega r_x \,\hat{y}, 		\end{equation*}

da cui

(16)   \begin{equation*} 		\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\,\right)=\begin{vmatrix} 		\hat{x}^\prime & \hat{y}^\prime & \hat{z}^\prime\\ 		0 & 0 & \omega\\ 		- \omega r_y & \omega r_x & 0 		\end{vmatrix} = -\omega^2 r_x \,\hat{x}^\prime-\omega^2 r_y\, \hat{y}^\prime, 		\end{equation*}

conseguentemente

(17)   \begin{equation*} 		\vec{F}_{\text{Centrifuga}} =-m\,\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\,\right) =m\, \omega^2\left( r_x \,\hat{x}^\prime+r_y\, \hat{y}^\prime\right). 		\end{equation*}

Inoltre abbiamo

(18)   \begin{equation*} 		\vec{\omega}\wedge \vec{v}_0=\begin{vmatrix} 		\hat{x}^\prime & \hat{y}^\prime &\hat{z}^\prime\\ 		0&0&\omega\\ 		-\dot{r}_x&\dot{r}_y&0 		\end{vmatrix}=-\omega \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime-\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime, 		\end{equation*}

pertanto

(19)   \begin{equation*} 		\vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_0=-2m\left(-\omega \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime-\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime\right)=2m\,\omega\left( \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime+\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime\right). 		\end{equation*}

Avvalendoci di quanto ottenuto possiamo riscrivere l’equazione (4) come

(20)   \begin{equation*} 		\begin{aligned} 		&\vec{N}+\vec{F}_{\text{Centrifuga}}+\vec{F}_{\text{Coriolis}}=m\,\vec{a}^{\,\prime}\quad\Leftrightarrow\\[10pt] 		&\Leftrightarrow\quad \vec{N}+m\, \omega^2\left( r_x \,\hat{x}^\prime+r_y\, \hat{y}^\prime\right)+2m\,\omega\left( \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime+\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime\right)=\\[10pt] 		&=-m\,\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-m\,\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime\quad \Leftrightarrow\\[10pt] 		&\Leftrightarrow \quad\vec{N}+m\, \omega^2 r_x \,\hat{x}^\prime+m\, \omega^2r_y\, \hat{y}^\prime+2m\,\omega\dot{r}_y\,\hat{x}^\prime+2m\,\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime=\\[10pt] 		&=-m\,\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-m\,\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime\quad \Leftrightarrow\\[10pt] 		&\Leftrightarrow\quad\vec{N}=-m\, \omega^2 r_x \,\hat{x}^\prime-m\, \omega^2r_y\, \hat{y}^\prime-2m\,\omega\dot{r}_y\,\hat{x}^\prime-2m\,\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime-\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime=\\[10pt] 		&=\hat{x}^\prime\left(-m\, \omega^2 r_x -2m\,\omega\dot{r}_y-m\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\right)+\hat{y}^\prime\left(-m\, \omega^2r_y-2m\,\omega\dot{r}_x-m\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\right)=\\[10pt] 		&=\hat{x}^\prime\left(-m\, \omega^2 r\cos\left(\omega_0r\right) -2m\,\omega\,\omega_0r\cos\left(\omega_0r\right)-m\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\right)+\\[10pt] 		&+\hat{y}^\prime\left(-m\, \omega^2\,r\sin\left(\omega_0r\right)-2m\,\omega\,\omega_0r\sin\left(\omega_0 r\right)-m\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\right)=\\[10pt] 		&=-mr\cos\left(\omega_0r\right)\left( \omega^2  +2\,\omega\,\omega_0+\omega_0^2\right)\hat{x}^\prime-mr\sin\left( \omega_0r\right)\left( \omega^2+2\omega\,\omega_0+\omega_0^2\right)=\\[10pt] 		&=-mr\cos\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^2\hat{x}^\prime-mr\sin\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^2\hat{y}^\prime. 		\end{aligned} 		\end{equation*}

Dalla precedente equazione otteniamo

(21)   \begin{equation*} 		\begin{aligned} 		&\left \vert \vec{N} \right \vert =\left \vert N\right \vert =\sqrt{m^2r^2\cos^2\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^4+m^2r^2\sin^2\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^4}=\\ 		&=mr\left(\omega+\omega_0\right)^2\sqrt{\cos^2\left(\omega_0r\right)+\sin^2\left(\omega_0r\right)}=\\ 		&=mr\left(\omega+\omega_0\right)^2=mr\left(\omega+\dfrac{v_0}{r}\right)^2 , 		\end{aligned} 		\end{equation*}

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che v_0=\omega_0 r ottenendo esattamente quello che ci aspettavamo.