Moti relativi 33

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Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Una piattaforma circolare di raggio $R$ si trova su di un piano orizzontale ruotando con velocità angolare costante $\vec{\omega}_0$ in senso antiorario rispetto al proprio asse di simmetria e su di essa è posto un punto materiale di massa $m$ . Tale punto è vincolato a muoversi su di una guida circolare lisca di raggio $r<R$ concentrica alla piattaforma con velocità tangenziale costante di modulo $v_0$ rispetto alla piattaforma in senso antiorario. Calcolare la reazione vincolare $\vec{N}$ orizzontale della guida rispetto ad un sistema di riferimento fisso e non inerziale solidale con la piattaforma che ruota. Si verifichi che la reazione vincolare abbia la stessa espressione analitica in entrambi i sistemi di riferimento. Di seguito, in figura 1, è mostrata la geometria del problema, dove $\hat{t}$ indica il versore tangente alla guida circolare di raggio $r$ .

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale $P$ , la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) $\begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}$

Nell’equazione (1):

$\vec{F}$ è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
$\vec{a}_{O^\prime}$ è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }$ , dove $\vec{\omega}$ la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e $\vec{r}^{\, \prime }$ il vettore posizione di $m$ rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$-m\vec{a}_c$ è la forza centrifuga, dove $\vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right)$ ;
$-m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}}$ è la forza di Coriolis, dove $\vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }$ , essendo $\vec{v}^{\, \prime }$ la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$\vec{a}^{\,\prime}$ è l’accelerazione relativa di $m$ nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) $\begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale fisso $Oxy$ , come rappresentato in figura 1.

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La componente della velocità angolare assoluta (la velocità angolare è diretta nella direzione dell’asse di simmetria) del punto materiale $m$ rispetto al sistema di riferimento fisso è

$\tilde{\omega}=\omega +\dfrac{v_0}{r}.$

Dal momento che la reazione vincolare fa da forza centripeta, come rappresentato in figura 2, si ha

(3) $\begin{equation*} N=-m\tilde{\omega}^2r=-m\left(\omega +\dfrac{v_0}{r}\right)^2r, \end{equation*}$

che è proprio quello che stavamo cercando. Con la notazione $N$ si vuol indicare la componente della reazione vincolare nella direzione normale alla guida.

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Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con la piattaforma di raggio $R$ che ruota. In tale sistema di riferimento il punto materiale sarà soggetto oltre che alla reazione vincolare $\vec{N}$ , anche alle forze apparenti: forza centrifuga e forza di Coriolis. Avvalendoci di quanto detto per (1) abbiamo

(4) $\begin{equation*} \vec{N}+\vec{F}_{\text{Centrifuga}}+\vec{F}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^{\,\prime}. \end{equation*}$

Osserviamo che siccome il punto materiale si muove di moto circolare l’accelerazione $\vec{a}{^\prime}$ è diretta ortogonalmente alla guida. Dalla teoria sappiamo che

(5) $\begin{equation*} \vec{F}_{\text{Centrifuga}}=-m\,\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\right) \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_0. \end{equation*}$

Introducendo i versori $\hat{t}$ e $\hat{n}$ tangenti e normali alla traiettoria di $m$ (ovvero alla guida) rispettivamente e svolgendo i calcoli abbiamo

(7) $\begin{equation*} \begin{aligned} \vec{F}_{\text{Centrifuga}}&=-m\,\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\right)=-m\omega\,\hat{z}\wedge \left(\omega r \,\left(\hat{z}\wedge \hat{n}\right)\right)=-m\omega^2r\,\hat{z}\wedge \left(\hat{z}\wedge \hat{n}\right)=-m\omega^2r\,\left(\hat{z}\wedge \hat{t}\,\right)=\\ &=-m\omega^2r\left(-\hat{n}\right)=\omega^2r\,\hat{n}\\ \end{aligned} \end{equation*}$

(8) $\begin{equation*} \vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_0=-2m\omega v_0\left(\hat{z}\wedge \hat{t} \right)=-2m\omega v_0\left(-\hat{n}\right)=2m\omega v_0\,\hat{n}. \end{equation*}$

In particolare il punto materiale muovendosi di moto circolare uniforme si ha

(9) $\begin{equation*} \vec{a}^{\,\prime}=-\dfrac{v_0^2}{r}\,\hat{n} \end{equation*}$

Sfruttando la precedente equazione, l’equazione (7) e l’equazione (8), si ha che l’equazione (4) diventa

(10) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{N}+\vec{F}_{\text{Centrifuga}}+\vec{F}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^{\,\prime}\quad \Leftrightarrow\quad \left(N+2m\omega v_0+\omega^2r\right)=-m\dfrac{v_0^2}{r}\quad \Leftrightarrow \\[10pt] &\Leftrightarrow \quad N=-2m\omega v_0-m\omega^2r-m\dfrac{v_0^2}{r}=-mr\left(\omega^2+\dfrac{2\omega v_0}{r}+\dfrac{v_0^2}{r^2}\right)=-mr\left(\omega+\dfrac{v_0}{r}\right)^2, \end{aligned} \end{equation*}$

che è esattamente quello che ci aspettavamo. Abbiamo dimostrato dunque che da entrambi i sistemi di riferimento si ottiene il medesimo risultato per la reazione vincolare $\vec{N}$ . Approfondimento Per il lettore scrupoloso proponiamo un procedimento alternativo per calcolare la reazione vincolare $\vec{N}$ sempre dal sistema solidale con la piattaforma. Consideriamo il punto materiale che si muove di moto circolare uniforme nel sistema solidale con la piattaforma in un generico istante $t\geq0$ , come rappresentato in figura 3.

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Dalla figura di sopra si evince che

(11) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{r}=r\cos \theta\,\hat{x}^\prime +r \sin \theta \,\hat{y}^\prime,\\ &\vec{v}_0=-v_0\sin \theta \,\hat{x}^\prime +v_0\cos \theta \,\hat{y}^\prime \end{aligned} \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} \vec{a}_n=-\dfrac{v_0^2}{r}\cos\theta\,\hat{x}^\prime-\dfrac{v_0^2}{r}\sin \theta \,\hat{y}^\prime. \end{equation*}$

Per brevità poniamo $\omega_0=v_0/ r$ e tenendo conto che $\theta=\omega_0r$ le precedenti equazioni diventano

(13) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{r}=r\cos \theta\,\hat{x}^\prime +r \sin \theta \,\hat{y}^\prime=r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime +r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime =r_x\,\hat{x}^\prime+r_y\,\hat{y}^\prime\\[10pt] &\vec{v}_0=-v_0\sin \left(\theta\right) \,\hat{x}^\prime +v_0\cos \left(\theta\right) \,\hat{y}^\prime=-\omega_0r\sin\left(\omega_0 r\right)\,\hat{x}^\prime+\omega_0r\cos \left(\omega_0 r\right)\,\hat{y}^\prime=-\dot{r}_x\,\hat{x}^\prime+\dot{r}_y\,\hat{y}^\prime \end{aligned} \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} \vec{a}^{\,\prime}=-\dfrac{v_0^2}{r}\cos\theta\,\hat{x}^\prime-\dfrac{v_0^2}{r}\sin \theta \,\hat{y}^\prime=-\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime. \end{equation*}$

Calcoliamo la forza centrifuga $\vec{F}_{\text{Centrifuga}}$ e la forza di Coriolis $\vec{F}_{\text{Coriolis}}$ . Abbiamo dunque

(15) $\begin{equation*} \vec{\omega}\wedge \vec{r}=\begin{vmatrix} \hat{x}^\prime & \hat{y}^\prime & \hat{z}^\prime\\ 0 &0&\omega\\ r_x^\prime & r_y^\prime &0 \end{vmatrix}=-\omega r_y\,\hat{x}^\prime+\omega r_x \,\hat{y}, \end{equation*}$

da cui

(16) $\begin{equation*} \vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\,\right)=\begin{vmatrix} \hat{x}^\prime & \hat{y}^\prime & \hat{z}^\prime\\ 0 & 0 & \omega\\ - \omega r_y & \omega r_x & 0 \end{vmatrix} = -\omega^2 r_x \,\hat{x}^\prime-\omega^2 r_y\, \hat{y}^\prime, \end{equation*}$

conseguentemente

(17) $\begin{equation*} \vec{F}_{\text{Centrifuga}} =-m\,\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\,\right) =m\, \omega^2\left( r_x \,\hat{x}^\prime+r_y\, \hat{y}^\prime\right). \end{equation*}$

Inoltre abbiamo

(18) $\begin{equation*} \vec{\omega}\wedge \vec{v}_0=\begin{vmatrix} \hat{x}^\prime & \hat{y}^\prime &\hat{z}^\prime\\ 0&0&\omega\\ -\dot{r}_x&\dot{r}_y&0 \end{vmatrix}=-\omega \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime-\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime, \end{equation*}$

pertanto

(19) $\begin{equation*} \vec{F}_{\text{Coriolis}}=-2m\,\vec{\omega}\wedge \vec{v}_0=-2m\left(-\omega \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime-\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime\right)=2m\,\omega\left( \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime+\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime\right). \end{equation*}$

Avvalendoci di quanto ottenuto possiamo riscrivere l’equazione (4) come

(20) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{N}+\vec{F}_{\text{Centrifuga}}+\vec{F}_{\text{Coriolis}}=m\,\vec{a}^{\,\prime}\quad\Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad \vec{N}+m\, \omega^2\left( r_x \,\hat{x}^\prime+r_y\, \hat{y}^\prime\right)+2m\,\omega\left( \dot{r}_y\,\hat{x}^\prime+\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime\right)=\\[10pt] &=-m\,\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-m\,\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime\quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow \quad\vec{N}+m\, \omega^2 r_x \,\hat{x}^\prime+m\, \omega^2r_y\, \hat{y}^\prime+2m\,\omega\dot{r}_y\,\hat{x}^\prime+2m\,\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime=\\[10pt] &=-m\,\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-m\,\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime\quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad\vec{N}=-m\, \omega^2 r_x \,\hat{x}^\prime-m\, \omega^2r_y\, \hat{y}^\prime-2m\,\omega\dot{r}_y\,\hat{x}^\prime-2m\,\omega\dot{r}_x\,\hat{y}^\prime-\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\,\hat{x}^\prime-\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\,\hat{y}^\prime=\\[10pt] &=\hat{x}^\prime\left(-m\, \omega^2 r_x -2m\,\omega\dot{r}_y-m\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\right)+\hat{y}^\prime\left(-m\, \omega^2r_y-2m\,\omega\dot{r}_x-m\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\right)=\\[10pt] &=\hat{x}^\prime\left(-m\, \omega^2 r\cos\left(\omega_0r\right) -2m\,\omega\,\omega_0r\cos\left(\omega_0r\right)-m\omega_0^2r\cos\left(\omega_0r\right)\right)+\\[10pt] &+\hat{y}^\prime\left(-m\, \omega^2\,r\sin\left(\omega_0r\right)-2m\,\omega\,\omega_0r\sin\left(\omega_0 r\right)-m\omega_0^2r\sin\left(\omega_0r\right)\right)=\\[10pt] &=-mr\cos\left(\omega_0r\right)\left( \omega^2 +2\,\omega\,\omega_0+\omega_0^2\right)\hat{x}^\prime-mr\sin\left( \omega_0r\right)\left( \omega^2+2\omega\,\omega_0+\omega_0^2\right)=\\[10pt] &=-mr\cos\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^2\hat{x}^\prime-mr\sin\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^2\hat{y}^\prime. \end{aligned} \end{equation*}$

Dalla precedente equazione otteniamo

(21) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\left \vert \vec{N} \right \vert =\left \vert N\right \vert =\sqrt{m^2r^2\cos^2\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^4+m^2r^2\sin^2\left(\omega_0r\right)\left(\omega+\omega_0\right)^4}=\\ &=mr\left(\omega+\omega_0\right)^2\sqrt{\cos^2\left(\omega_0r\right)+\sin^2\left(\omega_0r\right)}=\\ &=mr\left(\omega+\omega_0\right)^2=mr\left(\omega+\dfrac{v_0}{r}\right)^2 , \end{aligned} \end{equation*}$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che $v_0=\omega_0 r$ ottenendo esattamente quello che ci aspettavamo.

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