Esercizio moti relativi 34

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Esercizio sui moti relativi 34 è il trentaquattresimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 35, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 33. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 34

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. In figura 1 è presente un blocco $A$

di massa $m_A$

, posto su un piano inclinato che poggia su di un piano orizzontale e collegato, tramite un unico filo ideale, a un blocco $B$

di massa $m_B$

. Il filo passa sulle carrucole $C_1$

e $C_2$

. Sul blocco $B$

è appoggiato un ulteriore blocco $C$

di massa $m_C$

. Il sistema fisico è in condizioni di equilibrio. Si ipotizzi che valga $m_A=m_B$

e che il piano inclinato formi un angolo $\alpha$

con il piano orizzontale; i contatti tra il blocco $A$

e il piano inclinato e tra il blocco $B$

e il piano orizzontale sono scabri e sono caratterizzati da un comune coefficiente di attrito statico $\mu_s$

e da un comune coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$

, mentre nel primo punto il contatto tra i blocchi $B$

e $C$

è privo di attrito.

$\quad$

Si determini il valore minimo del coefficiente di attrito statico $\mu_s$ per il quale sussiste l’equilibrio e il corrispondente modulo $\vert \vec{R}\vert$ della reazione sviluppata dalla carrucola $C_1$ .

$\quad$

In questo secondo punto anche il contatto tra i blocchi $B$ e $C$ è scabro e ha coefficiente di attrito dinamico pari a $\mu_d$ , uguale a quello delle altre superfici. Al blocco $C$ , nella posizione di figura 1, viene applicato un impulso $\vec{I}$ orizzontale, nel verso indicato in figura, per metterlo in moto. Si determini quale condizione deve valere affinché il blocco $B$ rimanga fermo mentre $C$ si muove su $B$ . Successivamente si ipotizzi che $B$ si muova mentre $C$ si muove su di esso. In queste condizioni si calcoli il modulo $V^\prime$ della velocità che il blocco $C$ possiede rispetto al blocco $B$ dopo aver percorso sopra $B$ un tratto di lunghezza $\ell$ .

Si considerino ideali il filo e le carrucole presenti nel sistema fisico illustrato in figura 1. Inoltre, si ipotizzi che tra il filo e le carrucole non vi sia attrito e che il filo sia sempre teso.

$\quad$

Figura 1: geometria del problema.

$\quad$

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale $P$

, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) $\begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{Coriolis}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}$

Nell’equazione (1):

$\quad$

$\vec{F}$ è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;

$\vec{a}_{O^\prime}$ è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto a un sistema di riferimento inerziale;

$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }$ , dove $\vec{\omega}$ è la velocità angolare con la quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e $\vec{r}^{\, \prime }$ è il vettore posizione del punto materiale $P$ rispetto al sistema di riferimento non inerziale;

$-m\vec{a}_c$ è la forza centrifuga, dove $\vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right)$ ;

$-m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}}$ è la forza di Coriolis, dove $\vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }$ , essendo $\vec{v}^{\, \prime }$ la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;

$\vec{a}^{\,\prime}$ è l’accelerazione relativa del punto materiale $P$ nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) $\begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}$

Svolgimento punto 1.

Sebbene nell’enunciato sia posta la relazione $m_A=m_B$

, manteniamo distinti i due parametri nel corso dei calcoli, così da ottenere risultati validi anche nel caso più generale.

Sul blocco $A$ si manifestano la reazione vincolare $\vec{N}_A$ , la forza peso $m_A\vec{g}$ e la tensione $\vec{T}_1$ . Sul corpo $C$ si manifestano la reazione vincolare $\vec{N}_C$ e la forza peso $m_C\vec{g}$ . Sul blocco $B$ si manifestano la tensione $\vec{T}_2$ , la reazione vincolare $\vec{N}_B$ , la forza $-\vec{N}_C$ per il terzo principio della dinamica, la forza peso $m_B\vec{g}$ e la forza di attrito statico $\vec{f}_B$ . Inoltre, scegliamo due sistemi di riferimento fissi $Oxy$ e $O^\prime x^\prime y^\prime$ , come rappresentato in figura 2, per osservare il sistema fisico in esame.

$\quad$

Figura 2: rappresentazione dei sistemi di riferimento e delle forze che si manifestano nel sistema fisico studiato.

$\quad$

Ovviamente la forza $\vec{f}_A$ è la forza di attrito statico tra il blocco $A$ e il piano inclinato e $\vec{f}_B$ è la forza di attrito statico tra il blocco $B$ e il piano orizzontale. In generale i loro moduli soddisfano $f_A\leq N_A\mu_s$ e $f_B\leq N_B\mu_s$ . In corrispondenza del valore minimo di $\mu_s$ , entrambi i vincoli di attrito risultano saturi; pertanto

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} f_A =N_A \, \mu_s\\ f_B = N_B \, \mu_s. \end{cases} \end{equation*}$

Poiché il filo è ideale e non vi è attrito tra il filo e le carrucole, vale $T_1 = T_2 = T$ . Per la seconda legge della dinamica in condizioni di equilibrio osservando dai due precedenti sistemi di riferimento si ha

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} N_A = m_A g \, \cos \alpha\\ N_B = (m_B+m_C) \, g\\ m_A g \, \sin \alpha - T - f_A = 0\\ T = f_B\\ T_1 = T_2 = T. \end{cases} \end{equation*}$

Risolvendo il sistema si trova che

$m_A g \, \sin \alpha - (m_B + m_C) g \; \mu_s - m_A g \, \cos \alpha \; \mu_s = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mu_s = \dfrac{m_A \, \sin \alpha}{(m_B+m_C) + m_A \,\cos \alpha} \equiv \mu_{s,\text{min}}.$

Si conclude che il coefficiente di attrito statico minimo è

$\begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \mu_{s,\text{min}}=\dfrac{m_A \, \sin \alpha}{(m_B+m_C) + m_A \,\cos \alpha} . } \end{equation*}$

Calcoliamo la reazione vincolare $\vec{R}$ della carrucola. Di seguito, in figura 3, rappresentiamo la reazione vincolare della carrucola.

$\quad$

Figura 3: rappresentazione della forza $\vec{R}$ .

$\quad$

Siano $\hat{x}$ e $\hat{y}$ rispettivamente i versori dell’asse delle $x$ e dell’asse delle $y$ . Dalla figura 3 si deduce che

(5) $\begin{equation*} \vec{R} = T \, \cos \alpha \; \hat{x} + (T+T\sin \alpha) \; \hat{y}, \end{equation*}$

da cui

(6) $\begin{equation*} \vert \vec{R} \vert = \sqrt{T^2 \cos^2 \alpha + (T+T\sin\alpha)^2} = T \sqrt{2+2\sin \alpha} = T \sqrt{2(1+\sin\alpha)}, \end{equation*}$

dove

(7) $\begin{equation*} T = f_B = \mu_{s,\text{min}} (m_B+m_C)g = \dfrac{m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha}. \end{equation*}$

Concludiamo che il modulo della reazione vincolare della carrucola è

$\begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \vert \vec{R} \vert = \dfrac{\sqrt{2}m_A g \sin \alpha \; (m_B+m_C) \sqrt{1+\sin \alpha}}{(m_B+m_C) + m_A \, \cos \alpha}. } \end{equation*}$

Svolgimento punto 2.

Sapendo che la variazione della quantità di moto è uguale all’impulso applicato a $C$

, considerando che a $t=0$

il corpo $C$

è fermo, si trova

(8) $\begin{equation*} v_0 = \dfrac{I}{m_C}, \end{equation*}$

dove $I=\lvert\vec{I}\rvert$ e $v_0$ è la velocità iniziale che ha il corpo $C$ rispetto al sistema fisso, cioè subito dopo che l’impulso cessa di essere applicato al corpo $C$ . All’impulso $I$ è associata una forza impulsiva $F$ , applicata al corpo $C$ per un intervallo di tempo brevissimo. Vanno studiati due diversi casi: nel primo si determina la condizione affinché i blocchi $A$ e $B$ rimangano in quiete mentre $C$ si muove su $B$ ; nel secondo si considera il caso in cui anche $A$ e $B$ entrino in movimento. Assumiamo inizialmente che i corpi $A$ e $B$ siano in quiete e che il corpo $C$ sia in movimento con velocità orizzontale iniziale di modulo $v_0$ . Sul blocco $A$ si manifestano la reazione vincolare $\vec{N}_A$ , la forza peso $m_A\vec{g}$ , la tensione $\vec{T}_1$ e la forza di attrito statico $\vec{f}_{A,s}$ . Sul corpo $C$ si manifestano la reazione vincolare $\vec{N}_C$ , la forza peso $m_C\vec{g}$ e la forza di attrito dinamico $\vec{f}_{C,d}$ . Sul blocco $B$ si manifestano la tensione $\vec{T}_2$ , la reazione vincolare $\vec{N}_B$ , la forza $-\vec{N}_C$ per il terzo principio della dinamica, la forza peso $m_B\vec{g}$ , la forza di attrito statico $\vec{f}_{B,s}$ e la forza $-\vec{f}_{C,d}$ per il terzo principio della dinamica. Inoltre, come nel punto precedente, scegliamo due sistemi di riferimento fissi $Oxy$ e $O^\prime x^\prime y^\prime$ , come rappresentato in figura 4.

$\quad$

Figura 4: rappresentazione delle forze che si manifestano nel secondo punto del problema.

$\quad$

Nel secondo punto $\mu_s$ rappresenta il coefficiente di attrito statico effettivo; deve pertanto valere $\mu_s\geq\mu_{s,\mathrm{min}}$ , senza che si debba porre necessariamente $\mu_s=\mu_{s,\mathrm{min}}$ . Dall’equilibrio del blocco $A$ lungo il piano inclinato segue

$f_{A,s}=m_Ag\sin\alpha-T, \qquad \lvert f_{A,s}\rvert\leq \mu_s m_Ag\cos\alpha.$

La tensione non è quindi determinata univocamente. Il minimo valore compatibile con l’equilibrio del blocco $A$ è

$T_{\min}=\max\!\left\{0,\,m_Ag\bigl(\sin\alpha-\mu_s\cos\alpha\bigr)\right\}.$

Poiché la forza di attrito statico richiesta al contatto tra $B$ e il piano orizzontale cresce al crescere di $T$ , il blocco $B$ può rimanere fermo mentre $C$ scivola su di esso se e soltanto se

$\boxed{ \mu_dm_Cg+ \max\!\left\{0,\,m_Ag\bigl(\sin\alpha-\mu_s\cos\alpha\bigr)\right\} \leq \mu_s(m_B+m_C)g }.$

Nel regime considerato implicitamente nel seguito, ossia quando $\mu_s<\tan\alpha$ , risulta $T_{\min}=m_Ag(\sin\alpha-\mu_s\cos\alpha)$ e la condizione precedente diventa

(9) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\mu_d m_C g + m_A g \, \sin \alpha-\mu_s \, m_A g \, \cos \alpha \leq (m_B+m_C) g \, \mu_s\\ &\hspace{2cm}\Longleftrightarrow\quad \mu_s\geq\dfrac{m_A\sin\alpha+\mu_dm_C}{m_A\cos\alpha+m_B+m_C}. \end{aligned} \end{equation*}$

Se si imponesse proprio $\mu_s=\mu_{s,\mathrm{min}}$ , la disequazione (9) non potrebbe essere soddisfatta per alcun $\mu_d>0$ : l’ulteriore forza di attrito esercitata da $C$ farebbe quindi entrare in movimento il blocco $B$ .

Assumiamo ora che la precedente condizione non sia verificata e che il sistema entri in movimento. Supponiamo che $A$ scenda lungo il piano inclinato, che $B$ si muova verso sinistra e che $C$ continui a scivolare verso sinistra rispetto a $B$ . In questa nuova configurazione al posto delle forze di attrito statico sui vari corpi si manifestano le forze di attrito dinamico. Sul corpo $C$ la forza di attrito dinamico è pari a $N_C\mu_d$ , sul corpo $B$ la forza di attrito dinamico è pari a $N_B\mu_d$ e, infine, sul corpo $A$ la forza di attrito dinamico è pari a $N_A\mu_d$ . Sotto tali ipotesi possiamo scrivere, sempre per la seconda legge della dinamica, quanto segue

(10) $\begin{equation*} \begin{cases} N_A = m_A g \cos \alpha\\ m_A g \sin \alpha - T - N_A \mu_d =m_A a\\ T+N_C \mu_d - N_B \mu_d = m_B a\\ N_B = (m_C + m_B)g\\ -N_C \mu_d = m_C a_C\\ N_C = m_C g, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a$ è l’accelerazione comune dei blocchi $A$ e $B$ rispetto al sistema fisso e $a_C$ è l’accelerazione del corpo $C$ rispetto al sistema fisso. Risolvendo il precedente sistema si ottiene

(11) $\begin{equation*} \begin{cases} a = \dfrac{m_A g \, \sin \alpha - m_A g \mu_d \cos \alpha - m_B g \mu_d}{m_A+m_B}\\[10pt] a_C = -g \mu_d. \end{cases} \end{equation*}$

Il verso di movimento assunto per i blocchi $A$ e $B$ è coerente purché

$a>0 \quad\Longleftrightarrow\quad m_A\sin\alpha>\mu_d\bigl(m_A\cos\alpha+m_B\bigr).$

Sfruttando il precedente sistema possiamo trovare l’accelerazione relativa del blocco $C$ rispetto al blocco $B$ , cioè

(12) $\begin{equation*} \begin{aligned} a^\prime = a_C-a & = -g \mu_d - \dfrac{m_A g \, \sin \alpha - m_A g \mu_d \cos \alpha - m_B g \mu_d}{m_A+m_B} =\\ & = \dfrac{-g \, \mu_d (m_A+m_B)-m_A \, g \, \sin \alpha + m_A \, g \, \mu_d \, \cos \alpha + m_B \, g \, \mu_d}{m_A+m_B}=\\ & = \dfrac{g(m_A \mu_d \, \cos \alpha - m_A \sin \alpha - \mu_d m_A )}{m_A+m_B}=\\ & =-\dfrac{gm_A}{m_A+m_B}\left[\sin\alpha+\mu_d\bigl(1-\cos\alpha\bigr)\right]<0. \end{aligned} \end{equation*}$

Il risultato $a^\prime<0$ mostra che il moto relativo di $C$ rispetto a $B$ è decelerato. Scegliamo un sistema di riferimento $O^{\prime\prime}x$ solidale con $B$ e orientiamo l’asse $x$ nel verso iniziale del moto relativo di $C$ ; tale sistema è chiaramente non inerziale dato che $B$ sta accelerando rispetto al sistema fisso. Rispetto a tale sistema di riferimento, per la cinematica, $C$ ha velocità

(13) $\begin{equation*} \left(v^{\prime}(x)\right)^2= \left(v^{\prime}_0\right)^2+2\Delta x a^{\prime}, \end{equation*}$

dove $v^{\prime}(x)$ è la velocità in funzione dello spazio, $v^\prime_0$ è la velocità iniziale di $C$ nel sistema $O^{\prime\prime}x$ e $\Delta x$ è lo spazio percorso. Imponiamo $\Delta x=\ell$ , $v^{\prime}_0=I/m_C$ (si ricordi il risultato ottenuto nell’equazione (8)) e sfruttiamo l’equazione (12), ottenendo dalla precedente equazione

(14) $\begin{equation*} \left(v^{\prime}(\ell)\right)^2=\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2+2\ell a^{\prime}=\dfrac{I^2}{m^2_C}+\dfrac{2\ell g(m_A \mu_d \, \cos \alpha - m_A \sin \alpha - \mu_d m_A )}{m_A+m_B}, \end{equation*}$

o anche

(15) $\begin{equation*} \begin{aligned} v^{\prime}(\ell)= V^\prime &=\sqrt{\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2+2 \ell a^\prime}\\ &=\sqrt{\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2- \dfrac{2\ell gm_A}{m_A+m_B} \left[\sin\alpha+\mu_d\bigl(1-\cos\alpha\bigr)\right]}. \end{aligned} \end{equation*}$

Si conclude che la velocità cercata è

$\begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ V^\prime=\sqrt{\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2- \dfrac{2\ell gm_A}{m_A+m_B} \left[\sin\alpha+\mu_d\bigl(1-\cos\alpha\bigr)\right]}. } \end{equation*}$

Questa espressione è valida soltanto finché il blocco $C$ continua a scivolare rispetto a $B$ . Il radicando deve pertanto essere non negativo:

$\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2 \geq \dfrac{2\ell gm_A}{m_A+m_B} \left[\sin\alpha+\mu_d\bigl(1-\cos\alpha\bigr)\right].$

Equivalentemente,

$\boxed{ \ell\leq \ell_{\mathrm{arresto}} = \dfrac{I^2(m_A+m_B)} {2gm_Am_C^2\left[\sin\alpha+\mu_d\bigl(1-\cos\alpha\bigr)\right]} }.$

Per $0\leq\ell<\ell_{\mathrm{arresto}}$ il blocco $C$ sta ancora scivolando su $B$ ; per $\ell=\ell_{\mathrm{arresto}}$ la velocità relativa si annulla. Se $\ell>\ell_{\mathrm{arresto}}$ , $C$ raggiunge velocità relativa nulla prima di aver percorso il tratto richiesto e occorre studiare una nuova fase del moto, verificando se i blocchi $B$ e $C$ possano procedere solidalmente.

Approfondimento.

Alternativamente per calcolare $\vert \vec{R} \vert$

si poteva procedere per via geometrica, applicando il metodo del parallelogramma. A tal proposito consideriamo la figura 5, rappresentata di seguito.

$\quad$

Figura 5: metodo del parallelogramma.

$\quad$

Dalla figura 5 si deduce che $\beta = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}$ in quanto

(16) $\begin{equation*} \beta = \dfrac{\pi}{2}-\gamma = \dfrac{\pi}{2}- \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}. \end{equation*}$

Per di più dalla figura 5 si può osservare che

(17) $\begin{equation*} \dfrac{ \vert \vec{R} \vert}{2} = T \sin \beta = T \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha} \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right), \end{equation*}$

conseguentemente

(18) $\begin{equation*} \vert \vec{R} \vert=\dfrac{2m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha} \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{2m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha} \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\right). \end{equation*}$

Osserviamo che l’espressione di $\vert \vec{R}\vert$ ottenuta al punto precedente e l’espressione di $\vert \vec{R}\vert$ ottenuta nell’equazione precedente non differiscono, infatti

(19) $\begin{equation*} \begin{aligned} &2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\right) =\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\alpha}{2}+\sin \dfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}+\sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha }{2}} \right)=\\ &=\sqrt{2\left(\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}+\sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha }{2}} \right)^2}=\sqrt{1+\cos \alpha+1-\cos \alpha +2\sqrt{1-(\cos \alpha)^2}}=\\ & =\sqrt{2 (1+\sin \alpha)}, \,\, \mbox{con }\alpha \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right). \end{aligned} \end{equation*}$

Osservazione.

Vale che

(20) $\begin{equation*} \sqrt{1-(\cos \alpha)^2}=\left \vert \sin \alpha \right \vert \,\, \text{con }\alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), \end{equation*}$

(21) $\begin{equation*} \cos \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}\,\, \text{e}\,\,\sin \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}. \end{equation*}$

Però siccome assumiamo $\alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ abbiamo preso $\cos \dfrac{\alpha}{2}= \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}\,\, \text{e}\,\,\sin \dfrac{\alpha}{2}= \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}$ .

Inoltre, è interessante notare che

(22) $\begin{equation*}\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right). \end{equation*}$

Fonte: Problemi di fisica generale – S. Rosati e L. Lovitch.

Esercizi di Meccanica razionale

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