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Esercizio moti relativi 35

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 35 è il trentacinquesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 36, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 34. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 35

Esercizio 35 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Come si vede nella figura 1, una palla di massa m è collegata da due fili inestensibili di lunghezza \ell e di massa trascurabile a un’asta verticale rotante. I fili tesi formano con l’asta, alla quale sono fissati, un triangolo equilatero. Il modulo della tensione nel filo superiore è T_{\sup}.
Si richiede di determinare il modulo della velocità della palla nel generico istante t\geq 0 in funzione di T_{\sup}, \ell, m e g rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Si supponga che T_{\sup}>mg.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale Oxyz dove l’asse z coincidente con l’asta verticale, x e y ruotano a velocità angolare costante \omega, istante per istante il punto materiale m si trova sull’asse y, come riportato in figura 2. Il punto materiale è soggetto alle tensioni \vec{T}_1 e \vec{T}_2, alla forza peso m\vec{g} e alla forza centrifuga.    

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    Sia \beta l’angolo che forma \vec{T}_1 con l’asse delle y, come riportato nella figura di sopra. Secondo la seconda legge della dinamica corretta per un sistema di riferimento non inerziale, abbiamo:

(3)   \begin{equation*} \begin{aligned} & \hat{z}: T_1 \sin \beta - T_2 \sin \beta = mg\\ & \hat{y}: T_1 \cos \beta + T_2 \cos \beta -\dfrac{mv^2}{\ell\cos \beta}=0. \end{aligned} \end{equation*}

Da (3)_1 troviamo

(4)   \begin{equation*} T_2 = \dfrac{-mg + T_1 \sin \beta}{\sin \beta} \end{equation*}

e da (3)_2 si ha

(5)   \begin{equation*} v = \sqrt{\dfrac{\ell \cos^2 \beta}{m}\left( T_1+T_2\right)}, \end{equation*}

dove

(6)   \begin{equation*} T_1=T_{\sup}\,\, \text{e}\,\, \beta=\dfrac{\pi}{6}. \end{equation*}

Avvalendoci della precedente equazione e dell’equazione (4) l’equazione (5) diventa

(7)   \begin{equation*} \begin{aligned} v &= \sqrt{\dfrac{\ell \cos^2 \beta}{m}\left( T_1+T_2\right)}=\\[10pt] &=\sqrt{\dfrac{\ell \cos^2 \beta}{m}\left(T_{\sup}+\dfrac{-mg + T_{\sup} \sin \beta}{\sin \beta}\right)}=\\[10pt] &=\cos \beta\sqrt{\dfrac{\ell }{m}\left(\dfrac{-mg + 2T_{\sup} \sin \beta}{\sin \beta}\right)}=\\[10pt] &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\dfrac{2\ell }{m}\left({-mg + T_{\sup}}\right)}. \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ v=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\dfrac{2\ell }{m}\left({-mg + T_{\sup}}\right)}.}\]

Osserviamo che la precedente relazione è ben definita dato che vale T_{\sup}>mg per ipotesi.

 

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Esercizi di Meccanica razionale

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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