Esercizio moti relativi 36

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Esercizio sui moti relativi 36 è il trentaseiesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 37, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 35. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 36

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità angolare costante $\vec{\omega}$ attorno ad un suo estremo fisso $O$ . Lungo l’asta è presente una scanalatura nella quale possono scorrere senza attrito tre masse $m_1=m$ , $m_2=2m$ e $m_3=m$ , poste in serie una dopo l’altra come rappresentato in figura 1. La massa $m_1$ è collegata all’estremo $O$ da una molla ideale (di massa trascurabile e che rispetta la legge di Hooke) con costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla. Alla massa $m_1$ è anche collegato un filo ideale (inestensibile e di massa trascurabile) di lunghezza $\ell_1$ che la lega alla massa $m_2$ . Questa è a sua volta collegata tramite un altro filo ideale di lunghezza $\ell_2$ alla massa $m_3$ (si veda la figura 1, dove l’asta è rappresentata in nero ed i fili che collegano le masse sono rappresentati in rosso). Il sistema fisico composto dalle tre masse è in equilibrio in un sistema di riferimento solidale con l’asta che ruota.

Si determini la lunghezza della molla e la tensione dei fili esercitata sulle masse.
Si calcoli il modulo dell’accelerazione della massa $m_2$ nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ rappresentato in figura 1.

Si esprimano i risultati in funzione di $\omega$ , $k$ , $m$ , $\ell_1$ e $\ell_2$ . Si assuma durante tutto lo svolgimento dell’esercizio che $k>4m\omega^2$ ; si veda l’approfondimento in fondo al testo per un’analisi del problema nel caso in cui $k\leq 4m\omega^2$ .

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale $P$ , la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) $\begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}$

Nell’equazione (1):

$\vec{F}$ è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
$\vec{a}_{O^\prime}$ è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }$ , dove $\vec{\omega}$ la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e $\vec{r}^{\, \prime }$ il vettore posizione di $m$ rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$-m\vec{a}_c$ è la forza centrifuga, dove $\vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right)$ ;
$-m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}}$ è la forza di Coriolis, dove $\vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }$ , essendo $\vec{v}^{\, \prime }$ la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$\vec{a}^{\,\prime}$ è l’accelerazione relativa di $m$ nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) $\begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}$

Svolgimento punto 1.

Poniamoci, invece che nel sistema di riferimento $Oxy$ , nel sistema $Ox^\prime y^\prime$ (non inerziale) solidale con l’asta che ruota, sempre centrato in $O$ ma tale per cui l’asse $x^\prime$ sia coincidente istante per istante con l’asta che ruota. Da tale sistema di riferimento osserviamo le tre masse all’equilibrio, studiando le forze agenti su di esse. Poiché tutte le forze sono dirette lungo l’asse $x^\prime$ , omettiamo la notazione vettoriale e scriviamo le sole componenti. Chiamiamo $T_1$ la tensione applicata dal primo filo su $m_1$ ; poiché il filo è ideale, questo applicherà $-T_1$ su $m_2$ . Analogamente, chiamiamo $T_2$ la tensione applicata dal secondo filo su $m_2$ , e $-T_2$ quella applicata su $m_3$ perché il filo che collega $m_2$ a $m_3$ è ideale. Infine, chiamiamo $F_{el} = -kx^\prime$ la forza di richiamo della molla applicata a $m_1$ , dove $x^\prime$ è la posizione di $m_1$ lungo l’asse $x^\prime$ . Notiamo a questo punto che nel sistema di riferimento $Ox^\prime y^\prime$ l’unica forza apparente non nulla è la forza centrifuga $\vec{F}_c$ : difatti esso ruota con velocità costante $\vec{\omega}$ senza traslare rispetto a $Oxy$ , e poiché stiamo considerando il sistema all’equilibrio le tre masse sulla guida non si muovono rispetto al sistema $Ox^\prime y^\prime$ . L’equazione (1) si semplifica dunque in:

(3) $\begin{equation*} \vec{F} - m\vec{a}_{c} = \vec{0}. \end{equation*}$

In figura 2 si rappresenta il sistema in esame con tutte le forze (apparenti e non) applicate sulle tre masse: in rosso le tensioni dei fili, in verde la forza di richiamo della molla, ed in blu la forza centrifuga (indicata con $\vec{F}_{c,i}$ dove $i$ è l’indice della massa sui cui è applicata).

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Ricordando la definizione della forza centrifuga ed il fatto che le masse giacciono tutte sull’asse $x^\prime$ l’equazione (3) diventa:

(4) $\begin{equation*} \vec{F}_i - m_i\,\vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{x}_i\,^\prime) = \vec{F}_i + (m_i\,\omega^2 x_i^\prime)\hat{x}\,^\prime = \vec{0}, \end{equation*}$

valida singolarmente per ciascuna delle tre masse, dove $\vec{F}_i$ è la risultante di tutte le forze reali applicate alla massa $i$ -esima in esame, $x_i^\prime$ denota la posizione della massa $i$ -esima e $\hat{x}\,^\prime$ è il versore dell’asse $x^\prime$ . Esplicitiamo la precedente equazione per la massa $m_1$ : ricordando le forze non apparenti che agiscono su di essa (si veda anche la figura 2) e omettendo nuovamente la notazione vettoriale possiamo scrivere

(5) $\begin{equation*} -kL + T_1 + m_1\omega^2 L = 0, \end{equation*}$

dove $L$ è la deformazione della molla all’equilibrio e dunque anche la posizione di $m_1$ lungo l’asse $x^\prime$ , cioè $x^\prime_i = L$ con $i=1$ . Procediamo in maniera analoga anche per $m_2$ facendo notare che, poiché i fili sono inestensibili, la posizione di $m_2$ è uguale a $x^\prime_2 = L + \ell_1$ (si veda la figura 1), perciò:

(6) $\begin{equation*} - T_1 + T_2 + m_2\omega^2 (L+\ell_1) = 0. \end{equation*}$

Infine per la massa $m_3$ , la cui posizione è uguale a $x^\prime_3=L + \ell_1 + \ell_2$ , si ha:

(7) $\begin{equation*} - T_2 + m_3\omega^2 (L+\ell_1+\ell_2) = 0. \end{equation*}$

Le equazioni (5), (6) e (7) formano un sistema di tre equazioni e tre incognite ( $T_1$ , $T_2$ , e $L$ ) che possiamo risolvere per $L$ ; in particolare sommiamo assieme membro a membro le tre equazioni in modo tale da ottenere una sola equazione nella variabile $L$ , cioè:

(8) $\begin{equation*} -kL + m_1\omega^2L + m_2\omega^2 (L+\ell_1)+ m_3\omega^2 (L+\ell_1+\ell_2) = 0. \end{equation*}$

Sostituendo nella precedente equazione i valori per $m_1=m$ , $m_2=2m$ e $m_3=m$ forniti dalle ipotesi del problema otteniamo:

(9) $\begin{equation*} -kL + m\omega^2L + 2m\omega^2 (L+\ell_1)+ m\omega^2 (L+\ell_1+\ell_2) = 0, \end{equation*}$

da cui

(10) $\begin{equation*} (k - 4m\omega^2)L = m\omega^2(3\ell_1+\ell_2). \end{equation*}$

Dato che per ipotesi $k > 4m\omega^2$ possiamo dividere ambo i membri della precedente equazione per $k - 4m\omega^2$ , ottenendo

$\boxcolorato{fisica}{ L = \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2}.}$

Possiamo a questo punto sostituire il risultato precedente nell’equazione (5) (con $m_1=m$ ):

(11) $\begin{equation*} -k\frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2} + T_1 + m\omega^2 \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2} = 0, \end{equation*}$

e risolvendo ora per $T_1$ si ottiene

(12) $\begin{equation*} T_1 = k\frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2} - m\omega^2 \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2}, \end{equation*}$

conseguentemente

$\boxcolorato{fisica}{ T_1 = \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)(k-m\omega^2) }{k - 4m\omega^2}.}$

Ricordiamo che $k > 4m\omega^2$ , pertanto $k > 4m\omega^2>m\omega^2$ il che implica che $T_1>0$ per ogni valore di $m$ , $\omega$ , $\ell_1$ e $\ell_2$ . Per ottenere $T_2$ sostituiamo stavolta l’espressione di $L$ (ottenuta nel punto precedente) nell’equazione (7) (con $m_3=m$ ), ottenendo

(13) $\begin{equation*} -T_2 + m\omega^2\left( \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2} + \ell_1 + \ell_2\right) = 0, \end{equation*}$

cioè

(14) $\begin{equation*} T_2 = m\omega^2 \left( \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2) + (k - 4m\omega^2)(\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2} \right), \end{equation*}$

o anche

$\boxcolorato{fisica}{ T_2 = m\omega^2 \left( \frac{k(\ell_1+\ell_2) - m\omega^2(\ell_1 + 3\ell_2)}{k - 4m\omega^2} \right).}$

Notiamo che $T_2>0$ se e solo se

(15) $\begin{equation*} k(\ell_1+\ell_2) - m\omega^2(\ell_1+3\ell_2)>0, \end{equation*}$

ossia

(16) $\begin{equation*} m\omega^2\frac{\ell_1 + 3\ell_2}{\ell_1 + \ell_2}<k. \end{equation*}$

Vale inoltre la seguente catena di diseguaglianze:

(17) $\begin{equation*} m\omega^2\frac{\ell_1 + 3\ell_2}{\ell_1 + \ell_2} = m\omega^2\frac{4\ell_1 + 4\ell_2 - 3\ell_1 - \ell_2}{\ell_1 + \ell_2} = 4m\omega^2 - m\omega^2\frac{3\ell_1 + \ell_2}{\ell_1 + \ell_2} < 4m\omega^2, \end{equation*}$

da cui concludiamo che, grazie all’ipotesi $k>4m\omega^2$ , l’equazione (16) è vera per ogni valore di $\omega$ , $m$ , $\ell_1$ e $\ell_2$ , dunque $T_2>0$ .

Svolgimento punto 2.

Calcoliamo ora l’accelerazione della massa $m_2$ nel sistema di riferimento $Oxy$ . Se $m_2$ è in equilibrio nel sistema di riferimento solidale alla guida, significa che mantiene sempre la stessa distanza da $O$ (pari a $L+\ell_1$ ); poiché l’asta ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$ , $m_2$ compirà un moto circolare uniforme. Ci aspettiamo quindi che la sua accelerazione sia centripeta e costante in modulo. La seconda legge della dinamica ci dice che:

(18) $\begin{equation*} \vec{F}_2 = m_2\vec{a}_2, \end{equation*}$

dove $\vec{F}_2$ è la somma delle forze reali agenti sulla massa $m_2$ e $\vec{a}_2$ è la sua accelerazione nel sistema inerziale, ovvero l’accelerazione centripeta. Vediamo ora come legare $\vec{a}_2$ alle quantità calcolate precedentemente in $Ox^\prime y^\prime$ . Notiamo che nell’equazione (3) applicata alla massa $m_2$ la somma delle forze reali deve essere uguale a meno la forza centrifuga $\vec{F}_c = -m_2\vec{a}_c$ (si vedano i richiami teorici). Ne segue che per $m_2$ deve valere:

(19) $\begin{equation*} \vec{F}_2 = -\vec{F}_c = m_2\vec{a}_c, \end{equation*}$

da cui, sfruttando l’equazione (3) e l’equazione (18) si ha

(20) $\begin{equation*} m_2\vec{a}_2 = m_2\vec{a}_c, \end{equation*}$

e conseguentemente

(21) $\begin{equation*} \vec{a}_2 = \vec{a}_c. \end{equation*}$

Ricordando a questo punto che $\vec{a}_c= \vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge\vec{r}\,^\prime)$ , poiché nel caso della massa $m_2$ si ha $\vec{r}= (L+\ell_1)\hat{x}\,^\prime$ , concludiamo che $\vec{a}_c = -\omega^2(L+\ell_1)\hat{x}\,^\prime$ . L’accelerazione di $m_2$ è diretta sempre verso il punto $O$ (nel verso negativo delle $x^\prime$ ) ed è quindi un’accelerazione centripeta, come atteso. Sfruttando il risultato ottenuto nel punto 1 abbiamo che

(22) $\begin{equation*} \vec{a}_2 = \vec{a}_c = -\omega^2(L+\ell_1)\hat{x}^\prime = -\omega^2 \left( \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2} + \ell_1 \right)\,\hat{x}^\prime. \end{equation*}$

Dalla precedente equazione deduciamo che il modulo di $\vec{a}_2$ è:

(23) $\begin{equation*} |\vec{a}_2| = \omega^2 \left( \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2)}{k - 4m\omega^2} + \ell_1 \right), \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{|\vec{a}_2| = \omega^2 \left( \frac{(k-m\omega^2)\ell_1 + m\omega^2\ell_2}{k - 4m\omega^2} \right).}$

Facciamo notare che, poiché $k>4m\omega^2>m\omega^2$ , si ha coerentemente che $|\vec{a}_2|>0$ per ogni valore di $\omega$ , $m$ , $\ell_1$ e $\ell_2$ .

Svolgimento alternativo punto 2.

Di seguito, si propone un metodo alternativo per ricavare $|\vec{a}_2|$ . Nel sistema di riferimento fisso le forze reali agenti nel piano $xy$ su $m_2$ sono $\vec{T_1}$ e $\vec{T}_2$ . Dato che $m_2$ si muove di moto circolare uniforme nel sistema di riferimento $Oxy$ , la somma di queste due forze sono la forza centripeta agente su $m_2$ , e quindi per la seconda legge della dinamica abbiamo

(24) $\begin{equation*} T_2-T_1=m_2|\vec{a}_2|. \end{equation*}$

Sfruttando i precedenti risultati (cioè i valori trovati per $T_1$ e $T_2$ ) l’equazione precedente diventa

(25) $\begin{equation*} \frac{m\omega^2(3\ell_1+\ell_2) (k-m\omega^2)}{k - 4m\omega^2}- m\omega^2 \left( \frac{k(\ell_1+\ell_2) - m\omega^2(\ell_1 + 3\ell_2)}{k - 4m\omega^2} \right)=m_2|\vec{a}_2|, \end{equation*}$

o anche sostituendo $m_2=2m$ nella precedente equazione otteniamo

(26) $\begin{equation*} \dfrac{m\omega^2\left((3\ell_1+\ell_2) (k-m\omega^2)-k\ell_1-k\ell_2+m\omega^2\ell_1+3m\omega^2\ell_2\right)}{k - 4m\omega^2 }=2m|\vec{a}_2|, \end{equation*}$

ovvero

(27) $\begin{equation*} \dfrac{m\omega^2\left((3\ell_1+\ell_2) (k-m\omega^2)-k\ell_1-k\ell_2+m\omega^2\ell_1+m\omega^2\ell_2+2m\omega^2\ell_2\right)}{k - 4m\omega^2 }=2m|\vec{a}_2|, \end{equation*}$

conseguentemente

(28) $\begin{equation*} \dfrac{m\omega^2\left((3\ell_1+\ell_2) (k-m\omega^2)-\ell_1\left(k-m\omega^2\right)-\ell_2\left(k-m\omega^2\right)+2m\omega^2\ell_2\right)}{k - 4m\omega^2 }=2m|\vec{a}_2|, \end{equation*}$

cioè

(29) $\begin{equation*} \dfrac{m\omega^2\left((3\ell_1+\ell_2-\ell_1-\ell_2) (k-m\omega^2)+2m\omega^2\ell_2\right)}{k - 4m\omega^2 }=2m|\vec{a}_2|, \end{equation*}$

alternativamente

(30) $\begin{equation*} \dfrac{2m\omega^2\left((k-m\omega^2)\ell_1 + m\omega^2\ell_2\right)}{k - 4m\omega^2 }=2m|\vec{a}_2|, \end{equation*}$

infine

$\boxcolorato{fisica}{ |\vec{a}_2|= \omega^2 \left( \frac{(k-m\omega^2)\ell_1 + m\omega^2\ell_2}{k - 4m\omega^2} \right),}$

come ottenuto nel precedente metodo.

Approfondimento.

Si analizza ora il sistema fisico in esame nel caso in cui $k \leq 4m\omega^2$ . Partiamo dal caso $k = 4m\omega^2$ : l’equazione (10) si riduce a $m\omega^2(3\ell_1+\ell_2) = 0$ , che non ha soluzione poiché $m$ , $\omega$ , $\ell_1$ e $\ell_2$ sono tutte quantità positive. Si può comunque trovare una soluzione al problema ammettendo che $\ell_1 = \ell_2 = 0$ , ossia che le tre masse siano sovrapposte; in questo caso possono essere considerate come un solo corpo di massa totale $m_{\text{tot}} = 4m$ . Si noti che in questo caso il sistema ammette infinite posizioni di equilibrio, poiché la soluzione non dipende più da $L$ . Fisicamente, la molla fornisce esattamente la forza centripeta necessaria per il moto circolare uniforme, per qualsiasi posizione della massa $m_{\text{tot}}$ , o in altre parole la forza totale agente su $m_{\text{tot}}$ è nulla nel sistema di riferimento $Ox^\prime y^\prime$ . Si noti che in tale sistema, se si imprimesse ad $m_{\text{tot}}$ una velocità iniziale non nulla, essa compirebbe un moto rettilineo uniforme lungo la guida. Se invece $k< 4m\omega^2$ si ha dall’equazione (10) che $L<0$ , che non è una soluzione fisicamente accettabile poiché l’asta si estende solo nel verso positivo dell’asse $x^\prime$ (essendo incernierata nel suo estremo $O$ ). Non esistono quindi in questo caso valori di $L$ per cui il sistema compie un moto circolare uniforme attorno al punto $O$ .

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Esercizio moti relativi 36

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