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Esercizio 37  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Intorno ad una carrucola può scorrere senza attrito un filo inestensibile e di massa trascurabile, con attaccate alle proprie estremità due masse m_1 e m_2, come rappresentato in figura 1. La carrucola è sospesa ad un supporto tramite un secondo filo, anch’esso inestensibile e di massa trascurabile. Se il supporto si muove verticalmente con accelerazione costante \vec{A} rispetto ad un sistema di riferimento fisso, determinare:

  1. la tensione nel filo che collega la carrucola al supporto;
  2. il modulo di \vec{A} tale che la massa m_1 non acceleri rispetto ad un osservatore fisso.

Esprimere il primo risultato in funzione di m_1, m_2, A e g, dove A è il modulo dell’accelerazione \vec{A} e g il modulo dell’accelerazione di gravità \vec{g}. Esprimere il secondo risultato in funzione di m_1, m_2 e g.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Consideriamo due sistemi di riferimento, come rappresentato in figura 2: il sistema Oy, centrato in un punto generico dello spazio O, con l’asse y orientato verticalmente; e il sistema O^\prime y^\prime, solidale con il supporto, con l’asse y^\prime sempre verticale e rivolto verso l’alto. Il sistema Oy è fisso e dunque inerziale, mentre il sistema O^\prime y^\prime ha un’accelerazione \vec{A} rispetto al sistema fisso, risultando quindi non inerziale. Poniamo il punto O^\prime nel centro della carrucola (come rappresentato in figura 2).    

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    Osserviamo le forze presenti nel problema dal punto di vista del sistema O^\prime y^\prime. Poiché tutte le forze in gioco sono orientate lungo l’asse y^\prime ometteremo nel seguito la notazione vettoriale. Poiché O^\prime y^\prime non ruota rispetto al sistema fisso ed ha accelerazione costante a_{O^\prime} = A, l’unica forza apparente applicata alle due masse è quella dovuta all’accelerazione del sistema di riferimento. Pertanto su m_1 e m_2 agiscono rispettivamente le forze apparenti -m_1A e -m_2A (orientate in verso opposto ad \vec{A}, si vedano i richiami teorici). Consideriamo ora le forze reali. Per la massa m_1, abbiamo la forza di gravità F_{gr,1} = -m_1 g e la tensione del filo T_1. Analogamente la massa m_2 è soggetta alla forza di gravità F_{gr,2} = -m_2 g e alla tensione T_2. Poiché tra il filo e la carrucola non vi è attrito, il modulo delle due tensioni deve essere uguale, quindi T_1=T_2.

Analizziamo ora le forze sulla carrucola. Il filo che collega m_1 e m_2, essendo di massa trascurabile e inestensibile, esercita da ciascun lato una tensione uguale e opposta a quella che esercita sulle masse, cioé rispettivamente -T_1 e -T_2. Sulla carrucola agisce anche la tensione T_\text{S} del filo che la collega al supporto. In figura 3 sono rappresentate tutte le forze in gioco: le tensioni applicate alle masse (in rosso) e alla carrucola (in giallo), la forza peso (in verde) e le forze apparenti (in blu), assumendo che \vec{A} sia orientata verso l’alto.    

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    Applichiamo a questo punto l’equazione (1) (si vedano i richiami teorici) per le due masse:

(3)   \begin{equation*}         \begin{cases}             T_1 - m_1g - m_1 A = m_1 a_1^\prime\\             \\             T_2  - m_2g - m_2 A = m_2 a_2^\prime,                  \end{cases}     \end{equation*}

dove abbiamo indicato con a_1^\prime e a_2^\prime le componenti delle accelerazioni nel sistema O^\prime y^\prime di m_1 e m_2 rispettivamente. Poiché il filo è inestensibile, le masse percorrono spostamenti di ugual modulo ma in direzioni opposte, da cui segue che a_1^\prime e a_2^\prime sono uguali in modulo ma di segno opposto, cioè a_1^\prime = -a_2^\prime (nel sistema di riferimento O^\prime y^\prime). Più formalmente, siano y^\prime_1 e y^\prime_2 le coordinate in O^\prime y^\prime di m_1 e m_2 rispettivamente (con y^\prime_1,\,y^\prime_2 <0):

(4)   \begin{equation*}         -y^\prime_1 -y^\prime_2 + \pi R = \ell,     \end{equation*}

dove \ell è la lunghezza del filo che collega m_1 e m_2, e R il raggio della carrucola (si veda anche la figura 4). Il termine \pi R si riferisce alla porzione di filo che è a contatto con la carrucola, cioé la metà superiore della stessa.

   

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Notiamo che \ell e R nella (4) sono costanti indipendenti dal tempo. Di conseguenza, derivando entrambi i membri dell’equazione rispetto al tempo si ottiene \ddot{y}_1+\ddot{y}_2=0. Poiché le derivate seconde delle leggi orarie dei due corpi coincidono con le loro accelerazioni, rispettivamente a^\prime_1 e a^\prime_2, otteniamo che a^\prime_1 = -a^\prime_2. Usando questo risultato ed il fatto che T_1=T_2=T, riscriviamo il sistema (3) come segue:

(5)   \begin{equation*}         \begin{cases}             \displaystyle\frac{T_1 - m_1g - m_1 A}{m_1} = a_1^\prime\\             \\             \displaystyle\frac{T_1  - m_2g - m_2 A}{m_2} = -a_1^\prime,                     \end{cases}     \end{equation*}

da cui, sommando le due equazioni membro a membro si giunge a

(6)   \begin{equation*}         \frac{T_1 - m_1g - m_1 A}{m_1} + \frac{T_1  - m_2g - m_2 A}{m_2} = 0,     \end{equation*}

ossia

(7)   \begin{equation*}         T_1 \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) - 2(g+A) = 0,     \end{equation*}

e quindi

(8)   \begin{equation*}         \boxed{T_1 = 2(g+A)\left(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\right).}     \end{equation*}

A questo punto scriviamo l’equazione del moto anche per la carrucola, sempre nel sistema di riferimento O^\prime y^\prime. Poiché la carrucola ha massa trascurabile, il contributo della forza di gravità e delle forze apparenti è trascurabile, quindi:

(9)   \begin{equation*}         T_S - T_1 - T_2 = 0.     \end{equation*}

Sfruttando nuovamente il fatto che T_1=T_2 e sostituendo il risultato della (8) nella precedente equazione, si ottiene:

    \[\boxcolorato{fisica}{T_S = 4(g+A)\left(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\right).}\]

Troviamo ora l’accelerazione della massa m_1 nel sistema di riferimento non inerziale, sostituendo il risultato della (8) nell’equazione (3)_1 e ottenendo:

(10)   \begin{equation*}         a_1^\prime = 2(g+A)\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right) - g - A = (g+A)\left(\frac{2m_2}{m_1+m_2} - 1  \right),     \end{equation*}

da cui

(11)   \begin{equation*}         \boxed{a_1^\prime = (g+A)\left( \frac{m_2 - m_1}{m_1+m_2} \right).}     \end{equation*}

Dal risultato precedente si osserva, come dovrebbe essere intuitivo, che se m_2 > m_1 allora a_1^\prime è positiva e quindi diretta verso l’alto, e viceversa. A questo punto, otteniamo l’accelerazione nel sistema Oy applicando il teorema delle accelerazioni relative:

(12)   \begin{equation*}         \vec{a}_1 = \vec{a}_1^{\,\prime} + \vec{A},     \end{equation*}

dove \vec{a}_1 è l’accelerazione di m_1 nel sistema di riferimento Oy. Utilizzando il risultato ottenuto nell’equazione (11) e omettendo la notazione vettoriale per considerare le sole componenti (poiché \vec{a}_1^{\,\prime} e \vec{A} sono dirette nella stessa direzione), la precedente equazione diventa:

(13)   \begin{equation*}          a_1 = (g+A)\left( \frac{m_2 - m_1}{m_1+m_2} \right) + A,     \end{equation*}

dove ricordiamo che A è la componente di \vec{A}. Adesso imponiamo a_1=0, di modo che la massa m_1 non acceleri rispetto al riferimento fisso:

(14)   \begin{equation*}         (g+A)\left( \frac{m_2 - m_1}{m_1+m_2} \right) + A = 0,     \end{equation*}

ossia

(15)   \begin{equation*}         g\left( \frac{m_2 - m_1}{m_1+m_2} \right) + A \left( \frac{2m_2}{m_1+m_2} \right) = 0,     \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{A = g \left( \frac{m_1 - m_2}{2m_2} \right).}\]

La condizione a_1 = a_1^\prime + A = 0 che usiamo per risolvere questo esercizio implica che le componenti di a_1^\prime e A devono avere segno opposto, altrimenti la loro somma non può essere nulla. I casi possibili sono due:

  • a_1^\prime > 0, cioè m_2 > m_1 dalla (10), e A < 0, cioè la carrucola accelera nel verso delle y negative
  • a_1^\prime < 0, cioè m_1 > m_2 dalla (10), e A > 0, cioè la carrucola accelera nel verso delle y positive.

La relazione tra m_1 e m_2 determina il verso dell’accelerazione A se vogliamo osservare che m_1 sia ferma nel sistema Oy.

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