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Esercizio 27  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una cassa di massa m si trova su un carrello di massa M, come rappresentato in figura 1. Il carrello si muove su una superficie orizzontale liscia con velocità costante di modulo V_0 e tra la cassa e il piano del carrello vi è attrito con coefficiente di attrito statico \mu_s. Il carrello è attaccato all’estremità libera di una molla ideale avente l’asse diretto secondo la direzione del moto del carrello e la seconda estremità fissata a una parete. La molla ha costante elastica k e massa trascurabile ed all’inizio del moto ha lunghezza a riposo. Si determini il valore massimo V_{\max} di V_0 al di sotto del quale la cassa ha velocità relativa nulla rispetto ad M.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (6):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Il blocco m deve essere fermo rispetto ad M per ipotesi, pertanto possiamo immaginare il sistema fisico composto da i due blocchi come un unico blocco di massa m+M attaccato alla molla con velocità iniziale V_0. Sul blocco m+M agisce la forza della molla lungo l’orizzontale e lungo la verticale la forza peso e la reazione vincolare con il piano orizzontale. La forza peso e la forza della molla sono forze conservative, mentre la reazione vincolare con il piano orizzontale non fa lavoro dato che è perpendicolare istante per istante al moto del blocco di massa m+M. Osserviamo che nel sistema composto dalle due masse m+M agiscono solo forze di natura conservativa, quindi si conserva l’energia meccanica del sistema in ogni istante t\geq 0. Consideriamo come istante iniziale l’istante di tempo in cui il sistema ha velocità di modulo V_0 e come istante finale quando la molla ha raggiunto la compressione massima \Delta x tale per cui il sistema si è momentaneamente arrestato. Siano E_i l’energia iniziale e E_f l’energia finale. Per la conservazione dell’energia meccanica abbiamo

(3)   \begin{equation*} 		E_i=E_f \quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,(m+M)\,V_0^2=\dfrac{1}{2}\,k\,\Delta^2x, 	\end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} 	(m+M)\,V_0^2=\frac{F_{\text{molla}}^2}{k}. 	\end{equation*}

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy e chiamiamo \vec{A} l’accelerazione di M lungo l’asse delle x. Introduciamo un secondo sistema di riferimento non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime solidale con M, come rappresentato in figure 2.    

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    Osservando dal sistema di riferimento inerziale e ricordando che m ha velocità relativa nulla rispetto ad M, dalla seconda legge della dinamica possiamo scrivere:

(5)   \begin{equation*} 		F_{\text{molla}}=(m+M)A, 	\end{equation*}

dove A è la componente lungo l’asse delle x del vettore \vec{A}. Osservando dal sistema di riferimento non inerziale solidale con M la massa m, per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere

(6)   \begin{equation*}  		\begin{cases} 			f_s-mA=0\\ 			N-mg=0 		\end{cases} 	\end{equation*}

dove f_s è la componente della forza di attrito statico che agisce fra m ed M lungo l’asse delle x^\prime, -mA è la componente della forza apparente lungo l’asse delle x^\prime, N è la componente della reazione vincolare tra m ed M lungo l’asse delle y^\prime, mentre -mg è la componente lungo l’asse delle y^\prime della forza peso. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2. Affinché m rimanga in quiete rispetto ad M, deve essere soddisfatta la seguente disuguaglianza

(7)   \begin{equation*}  		f_s\leq N \mu_s. 	\end{equation*}

Dalla (6)_1 e dalla (6)_2 possiamo scrivere (7) come segue

(8)   \begin{equation*} 	mA\leq mg\mu_s, \end{equation*}

ovvero

(9)   \begin{equation*} 	A\leq g\mu_s, \end{equation*}

concludendo che

(10)   \begin{equation*} 	\max \{A\}=g \mu_s. \end{equation*}

Dalle considerazioni fatte e ponendoci nella situazione limite (cioè \max \{A\}=g \mu_s), possiamo riscrivere (5) come segue

(11)   \begin{equation*} 		F_{\text{molla}}=(m+M)\,A=(m+M)\,g \mu_s. 	\end{equation*}

Ora mettiamo a sistema (3) e (11), ottenendo

(12)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 		F_{\text{molla}}=(m+M)\,\mu_s\,g\\[10pt] 		(m+M)\,V_0^2=\dfrac{F_{molla}^2}{k} 	\end{cases} \quad 	\Leftrightarrow\quad  	\begin{cases} 		F_{\text{molla}}=(m+M)\,\mu_s\,g\\[10pt] 		F_{\text{molla}}=V_0\,\sqrt{k\,(m+M)}, 	\end{cases} 	\end{equation*}

conseguentemente

(13)   \begin{equation*} V_0=V_{\text{max}}=\frac{(m+M)\,\mu_s\,g}{\sqrt{k\,(m+M)}}=\mu_s\,g\sqrt{\frac{(m+M)}{k}}, 	\end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{V_{\text{max}}=\mu_s\,g\sqrt{\frac{(m+M)}{k}}.}\]