Esercizio sui moti relativi 28 è il ventottesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 29, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 27. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.
Testo dell’Esercizio sui moti relativi 28
Esercizio 28 . Ad un asse verticale è attaccato lateralmente un braccio lungo il quale può scorrere, con un certo attrito, un manicotto di massa
, come mostrato nella figura 1. Il coefficiente di attrito statico è
.
Supponendo che l’asse verticale ruoti con velocità angolare , determinare le posizioni di equilibrio del manicotto in funzione della distanza
che il manicotto ha rispetto all’asse di rotazione (si veda la figura 1) e dell’angolo
che forma il braccio rispetto all’orizzontale in un sistema di riferimento solidale con il braccio. La velocità angolare
è costante in modulo, costante in direzione e costante in verso.
Richiami teorici.
(1)
Nell’equazione (1):
è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
, dove
la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e
il vettore posizione di
rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
-
è la forza centrifuga, dove
;
è la forza di Coriolis, dove
, essendo
la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
è l’accelerazione relativa di
nel sistema di riferimento non inerziale.
In particolare
(2)
Svolgimento.
Nel sistema di riferimento non inerziale la velocità angolare è costante e il corpo è fermo rispetto ad esso, ovvero ha velocità relativa nulla, pertanto abbiamo
(3)
Dunque delle forze apparenti è presente solo la forza centrifuga e delle forze reali la forza peso
, la reazione vincolare
e la forza di attrito statico
generata dal contatto del manicotto con la superficie su cui poggia. In figura 3 rappresentiamo le forze precedentemente descritte.
Osserviamo che la rappresentazione di nella figura 2 è solo un caso, ovvero che può essere anche nella direzione negativa delle
. La direzione di
dipende dai valori numerici che possono assumere i parametri
,
,
,
e
. Applicando (1) al corpo di massa
si ha
(4)
e siccome il manicotto deve rimanere in quiete in tale sistema di riferimento abbiamo che
(5)
per cui (4) diventa
(6)
Proiettiamo le forze lungo gli assi e
ottenendo
(7)
è la componente della forza centrifuga lungo l’asse delle
,
è la componente della forza peso lungo l’asse delle
,
è la componente della forza di attrito statico lungo l’asse delle
,
è la componente della reazione vincolare lungo l’asse delle
,
è la componente della forza peso lungo l’asse delle
e
è la componente della forza centrifuga lungo l’asse delle
.
Affinché il corpo rimanga in equilibrio deve valere la seguente diseguaglianza
(8)
da cui
(9)
ovvero
(10)
Imponiamo ora la seguente equazione
(11)
e sfruttando l’espressione di ed
precedentemente trovata possiamo imporre la seguente equazione
(12)
o anche
(13)
in altri termini
(14)
cioè
(15)
La precedente equazione è valida se e solo se . Ricordando che
la precedente equazione diventa
(16)
Imponiamo ora la seguente equazione
(17)
e sfruttando nuovamente l’espressione di ed
precedentemente trovata si ha
(18)
da cui
(19)
oppure
(20)
ovvero
(21)
infine
(22)
Ricordando che la precedente equazione diventa
(23)
Siano e
rispettivamente il valore minimo di
e il valore massimo di
. Dall’equazione (16) e dall’equazione (23) si deduce che
(24)
e
(25)
Si conclude che il manicotto rimane in equilibrio nel sistema di riferimento non inerziale se e solo se
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