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Moti relativi 28

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio 28 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Ad un asse verticale è attaccato lateralmente un braccio lungo il quale può scorrere, con un certo attrito, un manicotto di massa m, come mostrato nella figura 1. Il coefficiente di attrito statico è \mu_S.
Supponendo che l’asse verticale ruoti con velocità angolare \vec{\omega}, determinare le posizioni di equilibrio del manicotto in funzione della distanza d che il manicotto ha rispetto all’asse di rotazione (si veda la figura 1) e dell’angolo \alpha che forma il braccio rispetto all’orizzontale in un sistema di riferimento solidale con il braccio. La velocità angolare \vec{\omega} è costante in modulo, costante in direzione e costante in verso.

 
 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy e un sistema di riferimento non inerziale Ox^\prime y^\prime solidale con il braccio che ruota con velocità angolare costante \vec{\omega} rispetto al sistema di riferimento fisso. Entrambi i sistemi di riferimento sono rappresentati in figura 2.    

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    Nel sistema di riferimento non inerziale la velocità angolare è costante e il corpo è fermo rispetto ad esso, ovvero ha velocità relativa nulla, pertanto abbiamo

(3)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\vec{a}_{O^\prime}=\vec{0};\\ &\vec{a}_t=\vec{0};\\ &\vec{a}_{\text{Coriolis}}=\vec{0}. \end{aligned} \end{equation*}

Dunque delle forze apparenti è presente solo la forza centrifuga \vec{F}_C e delle forze reali la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza di attrito statico \vec{f}_s generata dal contatto del manicotto con la superficie su cui poggia. In figura 3 rappresentiamo le forze precedentemente descritte.    

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    Osserviamo che la rappresentazione di \vec{f}_s nella figura 2 è solo un caso, ovvero che può essere anche nella direzione negativa delle x^\prime. La direzione di \vec{f}_S dipende dai valori numerici che possono assumere i parametri \omega, m, d, \mu_S e d. Applicando (1) al corpo di massa m si ha

(4)   \begin{equation*} m\vec{g}+\vec{N}+\vec{f}_s-m\vec{a}_c=m\vec{a}{\,^\prime} \end{equation*}

e siccome il manicotto deve rimanere in quiete in tale sistema di riferimento abbiamo che

(5)   \begin{equation*} \vec{a}^{\, \prime}=\vec{0}, \end{equation*}

per cui (4) diventa

(6)   \begin{equation*} m\vec{g}+\vec{N}+\vec{f}_s-m\vec{a}_c=\vec{0}. \end{equation*}

Proiettiamo le forze lungo gli assi x^\prime e y^\prime ottenendo

(7)   \begin{equation*} \begin{aligned} & x^\prime: F_C \cos \alpha-mg \sin \alpha + f_S = 0 & \quad \Leftrightarrow \quad f_S = mg \sin \alpha - F_C \cos \alpha;\\[10pt] & y^\prime: N-mg \cos \alpha-F_C \sin \alpha= 0 & \quad \Leftrightarrow \quad N = mg \cos \alpha + F_C \sin \alpha. \end{aligned} \end{equation*}

F_C \cos \alpha è la componente della forza centrifuga lungo l’asse delle x^\prime, -mg \sin \alpha è la componente della forza peso lungo l’asse delle x^\prime, f_S è la componente della forza di attrito statico lungo l’asse delle x^\prime, N è la componente della reazione vincolare lungo l’asse delle y^\prime, -mg \cos \alpha è la componente della forza peso lungo l’asse delle y^\prime e -F_C \sin \alpha è la componente della forza centrifuga lungo l’asse delle y^\prime. Affinché il corpo rimanga in equilibrio deve valere la seguente diseguaglianza

(8)   \begin{equation*} \left \vert f_S\right \vert \leq N \mu_S, \end{equation*}

da cui

(9)   \begin{equation*} - N \mu_S \le f_S \le N \mu_S, \end{equation*}

ovvero

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} f_S \ge - N \mu_S \\ f_S \le N \mu_S. \end{cases} \end{equation*}

Imponiamo ora la seguente equazione

(11)   \begin{equation*} f_S= - N \mu_S \end{equation*}

e sfruttando l’espressione di f_S ed N precedentemente trovata possiamo imporre la seguente equazione

(12)   \begin{equation*} - N \, \mu_S = mg \sin \alpha - F_C \cos \alpha, \end{equation*}

o anche

(13)   \begin{equation*} -\left(mg \cos \alpha + F_C \sin \alpha\right)\mu_S= mg \sin \alpha - F_C \cos \alpha, \end{equation*}

in altri termini

(14)   \begin{equation*} mg \sin \alpha-F_C\cos \alpha=-mg\cos\alpha \mu_S -F_C \mu_S\sin \alpha , \end{equation*}

cioè

(15)   \begin{equation*} F_C = \dfrac{mg\sin \alpha+mg\mu_S \cos \alpha}{\cos\alpha-\mu_S\sin \alpha} . \end{equation*}

La precedente equazione è valida se e solo se \cos\alpha-\mu_S\sin \alpha \neq 0. Ricordando che F_C=m\omega^2d la precedente equazione diventa

(16)   \begin{equation*} d = \dfrac{mg\sin \alpha+mg\mu_S \cos \alpha}{m\omega^2\left(\cos\alpha-\mu_S\sin \alpha\right) }=\dfrac{g}{\omega^2} \; \dfrac{\tan \alpha+\mu_S}{1-\mu_S\tan\alpha \; }. \end{equation*}

Imponiamo ora la seguente equazione

(17)   \begin{equation*} f_S = N \, \mu_S \end{equation*}

e sfruttando nuovamente l’espressione di f_S ed N precedentemente trovata si ha

(18)   \begin{equation*} N \, \mu_S = mg \sin \alpha - F_C \cos \alpha, \end{equation*}

da cui

(19)   \begin{equation*} \left(mg \cos \alpha + F_C \sin \alpha\right) \mu_S = mg \sin \alpha - F_C \cos \alpha, \end{equation*}

oppure

(20)   \begin{equation*} mg \sin \alpha-F_C\cos \alpha = mg\mu_S\cos \alpha + \mu_S F_C\sin \alpha \end{equation*}

ovvero

(21)   \begin{equation*} F_C (-\cos \alpha-\mu_S\sin \alpha ) = -mg \sin \alpha+mg\mu_S \cos\alpha \end{equation*}

infine

(22)   \begin{equation*} F_C = \dfrac{mg\sin\alpha-mg\mu_S \cos\alpha}{\cos\alpha+\mu_S \sin\alpha}. \end{equation*}

Ricordando che F_C=m\omega^2d la precedente equazione diventa

(23)   \begin{equation*} d = \dfrac{mg\sin\alpha-mg\mu_S \cos\alpha}{m\omega^2\left(\cos\alpha+\mu_S \sin\alpha\right)}=\dfrac{g}{\omega^2} \; \dfrac{\tan \alpha-\mu_S}{1+ \mu_S\tan\alpha }. \end{equation*}

Siano d_{\min} e d_{\max} rispettivamente il valore minimo di d e il valore massimo di d. Dall’equazione (16) e dall’equazione (23) si deduce che

(24)   \begin{equation*} d_{\min} = \dfrac{g}{\omega^2}\min \left\{ \dfrac{\tan \alpha-\mu_S}{1+ \mu_S\tan\alpha },\dfrac{\tan \alpha+\mu_S}{1- \mu_S\tan\alpha } \right\} \end{equation*}

e

(25)   \begin{equation*} d_{\max} = \dfrac{g}{\omega^2} \max \left\{\dfrac{\tan \alpha-\mu_S}{1+ \mu_S \tan\alpha },\dfrac{\tan \alpha+\mu_s}{1- \mu_S\tan\alpha } \right\}. \end{equation*}

Si conclude che il manicotto rimane in equilibrio nel sistema di riferimento non inerziale se e solo se

    \[\boxcolorato{fisica}{ d\in [-d_{\min},d_{\max} ].}\]

 

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