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Moti relativi 22

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri un disco di raggio R vincolato a ruotare con velocità angolare costante \vec{\omega} attorno ad un asse verticale passante per il suo centro. La velocità angolare \vec{\omega} è costante in modulo, direzione e verso. Lungo un diametro del disco è realizzata una scanalatura dove può scorrere senza attrito una pallina di massa m, collegata al centro O del disco da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. Se inizialmente la pallina è tenuta in quiete rispetto al disco, alla distanza di {R}/{2} da O, determinare la sua velocità radiale quando sta per uscire dalla scanalatura. Si trascuri qualsiasi forma di attrito e ipotizzare che la molla sia ideale e priva di massa. Supporre che valga -k + \omega^2 m>0.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxyz ed uno non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime tali che O \equiv O^\prime e z\equiv z^\prime. Gli assi z e z^\prime sono coincidenti con l’asse di rotazione. All’istante iniziale t=0 i due sistemi di riferimento coincidono, come rappresentato in figura 2.    

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    Il sistema non inerziale è solidale con il disco. All’istante t=0 la massa m si trova in {R}/{2}, come illustrato nella figura 3.    

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    Osservando dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime la pallina di massa m è sottoposta alla forza centrifuga (forza apparente) e alla forza della molla lungo l’asse x^\prime. All’istante t=0, la pallina ha velocità relativa nulla rispetto al disco, la forza centrifuga genera un’accelerazione diretta radialmente, ovvero orientata lungo l’asse x^\prime (si veda la figura 4), ed istante per istante la massa m si trova vincolata a muoversi lungo l’asse x^\prime; tale accelerazione dà una velocità relativa diversa da zero e quindi m inizierà a muoversi. Sia \vec{v}^{\,\prime} la velocità lungo l’asse x^\prime per la massa m e x^\prime(t) la posizione di m lungo l’asse x^\prime. Ricordando che la forza di Coriolis è definita come segue

(3)   \begin{equation*} \vec{F}_{\mbox{\tiny Coriolis}} = - 2m \,\vec{\omega} \wedge \vec{v}^{\,\prime}, \end{equation*}

deduciamo che la massa m sarà sottoposta alla forza di Coriolis perché \vec{v}^{\,\prime}\neq 0. La forza di Coriolis è diretta in una direzione parallela all’asse delle y^\prime, cioè perpendicolarmente al moto di m, dato che si muove lungo x^\prime. Osserviamo che per la fisica del problema gli effetti della forza di Coriolis vengono annullati dalle reazioni vincolari generate dalla parete; in altri termini la forza di Coriolis cerca di spostare la massa m in una direzione parallela all’asse x^\prime, ma dato che m è vincolata a muoversi solo lungo l’asse x^\prime si viene a generare una forza per via del vincolo uguale ed opposta alla forza di Coriolis che nè annulla gli effetti. Il corpo è soggetto alla reazione vincolare \vec{N}, alla forza di Coriolis \vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}, alla forza centrifuga \vec{F}_{\mathrm{centrifuga}} e, infine, alla forza generata dalla molla \vec{F}_{\mathrm{molla}}. Ovviamente lungo l’asse z^\prime è presente anche la forza peso e un ulteriore reazione vincolare, ma queste due forze sono ininfluenti alla fine dei calcoli successivi dato che non ci sono attriti. Lo schema delle forze reali e apparenti è rappresentato in figura 4.    

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    Di seguito, in figura 5, rappresentiamo il moto di m in un generico istante t>0.    

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    Di seguito, in figura 6, rappresentiamo il sistema visto dall’alto.    

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    Consideriamo l’istante t=t^\star>0 tale che m si trova in x^\prime(t^\star) = R e l’istante t=0 tale che m si trova in x^\prime(0) = R/2. Per il teorema dell’energia nell’intervallo di tempo [0,t^\star] si ha

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m\left(v^\prime \right)^2 = L_{FM} + L_{FC}, \end{equation*}

dove L_{FM} è il lavoro forza della molla nell’intervallo di tempo [0,t^\star], L_{FC} è lavoro forza centrifuga nell’intervallo di tempo [0,t^\star] e v^\prime è il modulo della velocità che ha m all’istante t=t^\star nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime. Il lavoro della molla nell’intervallo di tempo [0,t^\star] è

(5)   \begin{equation*} L_{FM} = -\Delta U = \dfrac{1}{2}k \left(\Delta x_0^2 - \Delta x_f^2\right), \end{equation*}

dove \Delta x_0 è la compressione iniziale della molla e \Delta x_f è la compressione finale della molla. Tendendo conto che all’istante iniziale m si trova in x^\prime(0) = {R}/{2} e la molla ha lunghezza a riposo nulla, possiamo scrivere \Delta x_0 = {R}/{2}. Quando m si trova in x^\prime(t^*)= R abbiamo che \Delta x_f = R. Dunque, avvalendoci di quanto detto la precedente equazione diventa

(6)   \begin{equation*} L_{FM} = \dfrac{1}{2}k \left(\left(\dfrac{R}{2}\right)^2 - R^2\right) = \\ = \dfrac{1}{2}k \left( \dfrac{R^2}{4}- R^2\right) =\\ = -\dfrac{3}{8}k R^2. \end{equation*}

Calcoliamo il lavoro della forza centrifuga, ricordando che il modulo della forza centrifuga in un generico istante è pari a F_{\mbox{\tiny FC}} = m\omega^2 x^\prime e ricordando che il lavoro è definito come

    \[L = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s},\]

dove \gamma è il sostegno (percorso fatto da m nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime) percorso da m. Siccome stiamo considerando l’istante t=0 e t=t^*>0 e in tale sistema di riferimento m si muove di moto rettilineo, abbiamo che

(7)   \begin{equation*} L_{FC} = \int_{\frac{R}{2}}^R m\omega^2 \, x^\prime \, dx\prime = m\omega^2 \, \dfrac{(x^\prime)^2}{2} \bigg\vert_{\frac{R}{2}}^R =\\ = \dfrac{m\omega^2}{2} \left(R^2 - \dfrac{R^2}{4}\right) = \\ = \dfrac{3}{8} m \omega^2 R^2. \end{equation*}

Avvalendoci delle equazioni (6) e (7) l’equazione (4) diventa

(8)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m (v^\prime)^2 = - \dfrac{3}{8} kR^2 + \dfrac{3}{8}m \omega^2 R^2 \end{equation*}

conseguentemente

(9)   \begin{equation*} v^\prime = \sqrt{\dfrac{2}{m} \left(- \dfrac{3}{8} k R^2 + \dfrac{3}{8} m \omega^2 R^2\right)}, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{v^\prime=\sqrt{\dfrac{3}{4m}R^2 \left( -k + \omega^2 m\right)}.}\]

   


Approfondimento.

Nel nostro esercizio la forza centrifuga è

(10)   \begin{equation*} F_{\mbox{\tiny FC}} = m\omega^2 x^\prime, \end{equation*}

dove \omega è il modulo della velocità angolare e x^\prime è la posizione del corpo di massa m lungo l’asse x^\prime. Osserviamo che la forza centrifuga non dipende dal tempo perché \omega è costante, di conseguenza la forza centrifuga dipende solo dalla posizione x^\prime. Dato che la forza centrifuga dipende dalla sola posizione x^\prime è conservativa. Calcoliamo un pontenziale U_{FC} tale che

(11)   \begin{equation*} -\dfrac{dU_{FC}}{dx^\prime}=F_{\mbox{\tiny FC}}=m\omega^2 x^\prime, \end{equation*}

da cui integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile x^\prime si ha

(12)   \begin{equation*} U_{FC}=-\dfrac{1}{2}m\omega^2 x^{\prime 2}+\text{costante}. \end{equation*}

Dato che la forza centrifuga è conservativa è possibile calcolare (7) come di seguito

(13)   \begin{equation*} L_{FC}=-\left(U_{FC}(R)-U_{FC}\left(\dfrac{R}{2}\right)\right)=-\left(-\dfrac{1}{2}m\omega^2R^2+\dfrac{1}{2}m\omega^2\,\dfrac{R^2}{4}\right)=\dfrac{3}{8}m\omega^2R^2. \end{equation*}


 
 

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