Home » Moti relativi 21

< 

 

Esercizio 21  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un pendolo semplice di lunghezza \ell è appeso ad un supporto che avanza con accelerazione costante \vec{a} diretta lungo l’asse orizzontale. Al filo è appeso un corpo di massa m. Si richiede di calcolare:

  1. l’angolo di equilibrio rispetto alla verticale;
  2. il periodo delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio.

Si consideri ogni filo presente nel sistema fisico illustrato in figura 1 ideale.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale, solidale con il supporto che avanza con accelerazione costante \vec{a}. Poiché tale sistema di riferimento è non inerziale sul corpo di massa m agisce alla forza apparente -m\vec{a}, mentre le forze reali agenti su m sono la tensione \vec{T} e la forza peso m\vec{g}. Di seguito, in figura 2, sono rappresentate le forze -m\vec{a}, \vec{T} e m\vec{g}. Inoltre, sempre in figura 2, è stato rappresentato il versore \hat{t} che rappresenta la direzione tangente alla traiettoria di m.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Dalla seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale all’equilibrio abbiamo

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} T-mg \cos \theta - ma \sin \theta = 0\\ ma \cos \theta - mg \sin \theta = 0, \end{cases} \end{equation*}

dove la prima e la seconda equazione del precedente sistema rappresentano rispettivamente la seconda legge della dinamica proiettata nella direzione normale alla traiettoria di m e la seconda legge della dinamica proiettata nelle direzione tangente alla traiettoria di m. Dalla seconda equazione del precedente sistema troviamo

    \[\boxcolorato{fisica}{\theta =\theta_{\text{eq}}= \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right).}\]

   


Svolgimento punto 2.

Spostiamo di un piccolo angolo \theta dalla posizione di equilibrio la massa m, come rappresentato in figura 3.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Proiettando le forze nella direzione tangente al moto di m abbiamo

(4)   \begin{equation*} -ma\cos \left(\theta _{\text{eq}}-\theta\right)+mg\sin\left(\theta _{\text{eq}}-\theta\right)=m\ell\ddot{\theta}. \end{equation*}

Applicando le regole di somma e sottrazione del seno e del coseno la precedente equazione diventa

(5)   \begin{equation*} -a (\cos\theta _{\text{eq}} \cos \theta+ \sin\theta _{\text{eq}} \sin \theta) + g (\sin \theta _{\text{eq}} \cos \theta - \cos \theta _{\text{eq}} \sin \theta)=\ell\ddot{\theta}, \end{equation*}

o anche

(6)   \begin{equation*} -a\cos\theta _{\text{eq}} \cos \theta-a\sin\theta _{\text{eq}} \sin \theta+g\sin \theta _{\text{eq}} \cos \theta-g\cos \theta _{\text{eq}} \sin \theta=\ell\ddot{\theta}, \end{equation*}

in altri termini

(7)   \begin{equation*} -\sin\theta\left(a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}\right)+ \cos \theta \left(-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}\right)=\ell\ddot{\theta}. \end{equation*}

Per piccole oscillazioni vale

(8)   \begin{equation*} \sin \theta \sim \theta \end{equation*}

e

(9)   \begin{equation*} \cos \theta \sim 1. \end{equation*}

Sfruttando le due precedenti equazioni possiamo riscrivere l’equazione (7) come di seguito

(10)   \begin{equation*} -\theta\left(a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}\right)+\left(-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}\right)=\ell\ddot{\theta}, \end{equation*}

conseguentemente

(11)   \begin{equation*} \ddot{\theta}+\theta\dfrac{a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}}{\ell}-\dfrac{-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}}{\ell}=0. \end{equation*}

La precedente equazione rappresenta l’equazione di un oscillatore armonico semplice con quadrato della pulsazione pari a

(12)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}}{\ell}. \end{equation*}

Sostituendo \theta_{\text{eq}}= \arctan\left({a}/{g}\right) ottenuto al precedente punto nella precedente equazione otteniamo

(13)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{a\sin\arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)+g\cos \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)}{\ell}. \end{equation*}

Per fatti di goniometria si ha

(14)   \begin{equation*} \sin\arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)= \dfrac{\dfrac{a}{g}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}} \end{equation*}

e

(15)   \begin{equation*} \cos \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}} .	 \end{equation*}

Sfruttando le due precedenti equazioni l’equazione (13) diventa

(16)   \begin{equation*} \begin{aligned} \omega^2&=\dfrac{a\sin\arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)+g\cos \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)}{\ell}=\dfrac{ \dfrac{\dfrac{a^2	}{g}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}+\dfrac{g}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}}{\ell}=\\[10pt	] &=\dfrac{ \dfrac{\dfrac{a^2}{g}+g}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a^2}{g}\right)^2}}}{\ell}=\dfrac{ g\dfrac{\left(\dfrac{a}{g}\right)^2+1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a^2}{g}\right)^2}}}{\ell}=\\[10pt	] &=\dfrac{ g\dfrac{\sqrt{\left(1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2\right)^2}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a^2}{g}\right)^2}}}{\ell}=\dfrac{g}{\ell}\sqrt{\left(1+\dfrac{a^2}{g^2}\right)}\\[10pt] &=\dfrac{{\sqrt{a^2+g^2}}}{{\ell}}. \end{aligned} \end{equation*}

Ricordando che \omega=2\pi/T, dove T è il periodo delle piccole oscillazioni, dalla precedente equazione abbiamo concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\ell}{\sqrt{a^2+g^2}}}.}\]

   


Osservazione.

Notiamo che

(17)   \begin{equation*} -a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}} =-a\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}+g\dfrac{\dfrac{a}{g}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}= -\dfrac{a}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}+\dfrac{a}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}=0, \end{equation*}

dove abbiamo usato le equazioni (14) e (15). Alla luce della precedente equazione possiamo riscrivere l’equazione (11) come di seguito

(18)   \begin{equation*} \ddot{\theta}+\theta\dfrac{a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}}{\ell}=0, \end{equation*}

dato che

(19)   \begin{equation*} \dfrac{-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}}{\ell}=0. \end{equation*}

Inoltre, sfruttando l’equazione (16) è possibile riscrivere l’equazione (18) come

(20)   \begin{equation*} \ddot{\theta}+\theta\dfrac{{\sqrt{a^2+g^2}}}{{\ell}}=0. \end{equation*}

   


Approfondimento.

La precedente equazione ci fa dedurre che il sistema fisico in esame può essere visto come un pendolo semplice soggetto ad una forza \vec{F} di modulo F = m \sqrt{a^2+g^2}, orientata come in figura 3.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Sia \theta l’angolo delle piccole oscillazioni. Lungo \hat{t} possiamo scrivere

(21)   \begin{equation*} -F \, \sin \theta = m \ell \ddot{\theta} \end{equation*}

e siccome valgono le piccole oscillazioni, ovvero \theta è molto piccolo, possiamo sostituire \sin \theta \approx\theta, così l’equazione diventa

(22)   \begin{equation*}\ddot{\theta} + \dfrac{F}{m\ell} \theta = 0, \end{equation*}

dove

(23)   \begin{equation*} \omega^2 = \dfrac{F}{m\ell}, \end{equation*}

da cui

(24)   \begin{equation*} T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\ell}{\sqrt{a^2+g^2}}}. \end{equation*}

Il precedente risultato poteva essere dedotto a priori grazie al principio di equivalenza. Per il principio di equivalenza il pendolo si comporta come un usuale pendolo semplice ma in un campo di gravità modificato dalla forza apparente -m\vec{a}.