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Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una guida semicircolare liscia verticale, di raggio R = \text{0,4} m, si trova su di un piano orizzontale e si muove con accelerazione costante a_t = 2 m\cdots^{-2} lungo la direzione orizzontale rispetto al suolo. Un corpo puntiforme inizialmente fermo rispetto alla guida si trova sulla guida all’estremo del diametro orizzontale dalla quale viene lasciato scivolare. Calcolare il modulo della velocità \vec{v}_0 del corpo puntiforme rispetto alla guida quando giunge nel punto più basso e confrontarla con il valore che si ottiene se la la guida fosse stata ferma.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale solidale al suolo O{xyz} e uno non inerziale solidale alla guida semicircolare O^\prime{x^\prime y^\prime z^\prime}. Quest’ultimo è non inerziale in quanto ha un’accelerazione relativa \vec{a}_t rispetto al sistema inerziale O{x y z}. Osserviamo il corpo dal sistema di riferimento non inerziale O^\prime{x^\prime y^\prime z^\prime}. Sul corpo puntiforme agisce la forza peso \vec{P} e la reazione normale \vec{N} generata dal contatto con la guida, inoltre è necessario aggiungere una forza apparente -m\vec{a}_t in quanto il sistema di riferimento è non inerziale. Di seguito nella figura 2 rappresentiamo le forze agenti su m nel sistema di riferimento O^\prime{x^\prime y^\prime z^\prime}.

 

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Il problema richiede di calcolare la velocità del punto materiale quando raggiunge il punto più basso della guida. Per la risoluzione di tale problema utilizzeremo il teorema delle forze vive che identifica la variazione di energia cinetica del corpo con la somma del lavoro di tutte le forze agenti su di esso. L’energia cinetica iniziale del corpo misurata in O^\prime{x^\prime y^\prime z^\prime} è nulla, cioè K^{\prime}_i = 0. Pertanto considerando come instante iniziale l’istante in cui il corpo si trova all’estremo del diametro orizzontale e come istante finale l’istante di tempo in cui il corpo raggiunge il punto più passo della guida per il teorema delle forze vive avremo che

(3)   \begin{equation*} K^{\prime}_f - K^\prime_i = K^\prime_f = W^\prime_{P} + W^\prime_{N} + W^\prime_{\text{App}}, \end{equation*}

dove K_f è l’energia cinetica finale del corpo, W^\prime_P è il lavoro svolto dalla forza peso, W^\prime_N è il lavoro svolto dalla reazione normale e W^\prime_{\text{App}} è il lavoro svolto dalla forza apparente, il tutto secondo un osservatore solidale a O'{x'y'z'}. Di seguito in figura 3 rappresentiamo l’istante iniziale e l’istante finale considerati.

 

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Il sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime è stato scelto tale per cui l’origine O^\prime sia coincidente con il punto più basso della guida e tale che y\parallel y^\prime. Iniziamo con il calcolare il lavoro della forza peso W^\prime_P. È ben noto che la forza peso è conservativa e il suo potenziale è dato da

(4)   \begin{equation*} U_g(y) = mgy^\prime+\text{costante}, \end{equation*}

dove y^\prime indica la posizione del corpo lungo l’asse y^\prime. Il lavoro della forza peso è pari all’opposto della variazione della sua energia potenziale

(5)   \begin{equation*} W^{\prime}_P = -\Delta U_g = U_g(R) - U_g(0) = mgR. \end{equation*}

\`E altrettanto noto che la forza normale \vec{N} non compie mai lavoro, questo perché è sempre perpendicolare al moto del corpo m, pertanto W^\prime_N = 0 per ogni t\geq0. Sia \hat{x}^{\prime} il versore dell’asse x^\prime. La forza apparente -m\vec{a}_t può essere scritta come -ma_t\hat{x}^{\,\prime}, ovvero è diretta lungo il semiasse negativo delle x^\prime per ogni istante t\geq0. Sia \hat{y}^{\prime} il versore dell’asse y^\prime. La forza apparente -m\vec{a}_t si comporta quindi in modo analogo alla forza peso -mg\,\hat{y}^{\,\prime} (dove g è il modulo dell’accelerazione di gravità) ma lungo il semiasse negativo delle y^\prime, quindi per analogia anch’essa è conservativa ed è dunque possibile definirne un potenziale U_{\text{App}} tale che

(6)   \begin{equation*} -{d U_{\text{App}} \over d x'} = -m a_t \quad \Leftrightarrow \quad U_{\text{App}}(x') = ma_tx'+\text{costante}, \end{equation*}

dove x^\prime rappresenta la posizione di m lungo l’asse x^\prime. Un osservatore in O'{x'y'z'} vede la guida ferma, quindi lo spostamento dalla posizione iniziale a quella finale del punto materiale è pari al raggio della griglia. Ne segue che il lavoro della forza apparente è pari a

(7)   \begin{equation*} W^\prime_{\text{App}}= -\Delta U_{\text{App}} = U_{\text{App}}(-R)-U_{\text{App}}(0) = -ma_tR. \end{equation*}

 

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A questo punto mettiamo a sistema i lavori ottenuti con l’equazione (3), ottenendo

(8)   \begin{equation*} K'_f = {1\over 2}m (v'_0)^2 = W'_P + W'_{\text{App}} = m(g-a_t)R, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ v'_0 = \sqrt{2 R (g-a_t)} = \text{2,5}\,\text{m$\cdot$s$^{-1}$}.}\]

Da notare come questa soluzione valga solo nel caso in qui g\geq a_t. Nel caso in cui g = a_t abbiamo che il punto materiale si ferma nel punto più basso della guida. Il caso in cui a_t>g porta ad un valore negativo all’interno della radice che chiaramente non ha senso. Questo succede perché nel caso a_t>g il corpo non raggiunge mai il punto più basso della guida, ma si ferma prima.

 

Caso in cui la guida è ferma. In questa situazione i due sistemi di riferimento O{xyz} e O'{x'y'z'} sono entrambi solidali rispetto al suolo, quindi sono entrambi inerziali. Ponendo a_t^\prime=0 dalla precedente formula, si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ v = \sqrt{2 R g} = \text{2,8}\,\text{m$\cdot$s$^{-1}$},}\]

che è una velocità maggiore rispetto a v_0'.