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Esercizio 23  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una piattaforma di massa m=50\, \text{kg} si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità \vec{v}_0 su di un piano orizzontale liscio. Il modulo della velocità \vec{v}_0 è v_0=\text{0,6 m}\cdot \text{s}^{-1}, la direzione è parallela al piano orizzontale e il verso è indicato in figura 1. Su di essa è posto nell’estremità A un punto materiale con velocità relativa nulla rispetto alla piattaforma all’istante t=0; tra punto e piattaforma non c’è attrito. Al tempo t=0 il moto della piattaforma viene frenato da una molla ideale e di massa trascurabile, inizialmente non compressa, di costante elastica k=\text{200  N}\cdot\text{m}^{-1} . Calcolare lo spostamento del punto rispetto ad A all’istante t_1=\text{0,785 s} e la velocità relativa del punto rispetto alla piattaforma all’istante t_2=2 t_1.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (4):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge  \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy tale per cui l’asse delle x sia coincidente con il piano orizzontale e l’origine O sia coincidente con la posizione a riposo della molla, come illustrato in figura 2.    

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    Nella figura 2 è rappresentato la situazione all’istante t=0. Osserviamo che all’istante t=0 il punto materiale ha velocità relativa nulla rispetto alla piastra, come detto nel testo del problema, quindi dato che il punto materiale si trova sulla piastra sia la piattaforma che il punto materiale avranno la stessa velocità \vec{v}_0 rispetto al sistema fisso. Rappresentiamo il sistema fisico composto dal punto materiale e dalla piattaforma in un generico istante t^*>0 durante la compressione della molla, come illustrato in figura 3.    

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    Osservando dal sistema di riferimento fisso notiamo che sul punto di materiale non agiscono forze lungo l’orizzontale, dato che tra piastra e punto materiale non è presente attrito; di conseguenza per il principio d’inerzia (o primo principio della dinamica) il punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme con velocità di modulo v_0 e diretta lungo il semiasse positivo delle x. La piattaforma una volta urtata la molla è sottoposta alla forza della molla \vec{F}_M. La forza della molla è diretta lungo l’asse delle x. Per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x per la piattaforma si ha

(3)   \begin{equation*} 	-kx = m \ddot{x}, \end{equation*}

dove x indica la posizione dell’estremo della piastra che tocca la molla lungo l’asse delle x (x rappresenta anche la compressione della molla). Riscriviamo la precedente equazione come segue

(4)   \begin{equation*} 	 \ddot{x} + \dfrac{k}{m} x = 0. 	\end{equation*}

Ponendo

(5)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{k}{m}, \end{equation*}

la precedente equazione diventa

(6)   \begin{equation*}  \ddot{x} + \omega^2 x=0. \end{equation*}

La precedente equazione rappresenta l’equazione di un moto armonico semplice con pulsazione \omega definita in (5). Avvalendoci della precedente equazioni e sfruttando le condizioni imposte dalla fisica del problema abbiamo

(7)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 		\ddot{x} + \omega^2 x=0\\ 			x(0)=0\\ 			\dot{x}(0)=v_0. 		\end{cases} 	\end{equation*}

La risoluzione del precedente sistema ci permetterà di terminare la legge oraria x(t) dell’estremo della piattaforma che è a contatto con la molla. La prima equazione del precedente sistema ha soluzione pari ad

(8)   \begin{equation*} 		x(t)=A \sin (\omega t + \phi),  	\end{equation*}

dove A è l’ampiezza e \phi la fase iniziale. Posto x(0)=0 dalla precedente equazione si ottiene

(9)   \begin{equation*} A \sin \phi=0 \quad \Leftrightarrow\quad  \phi = 0. 	\end{equation*}

Sostituendo \phi = 0 nell’equazione (8) si trova

(10)   \begin{equation*} x(t)=A \sin (\omega t ). \end{equation*}

Deriviamo ambo i membri la precedente equazione rispetto al tempo ottenendo

(11)   \begin{equation*} 	\dot{x}(t) =A \omega \cos(\omega t ). 	\end{equation*}

Posto \dot{x}(0) = v_0 dalla precedente equazione si ottiene

(12)   \begin{equation*}  A \omega =  v_0\quad \Leftrightarrow \quad A=\dfrac{v_0}{\omega}. \end{equation*}

Sostituendo A={v_0}/{\omega} nell’equazione (10) otteniamo

(13)   \begin{equation*} \boxed{	x(t)=\dfrac{v_0}{\omega} \sin(\omega t).} \end{equation*}

Dall’equazione (5) si ha

(14)   \begin{equation*} \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. \end{equation*}

Sia T il periodo del moto armonico della piattaforma. Il periodo T è la pulsazione sono legati da

(15)   \begin{equation*} \omega=\dfrac{2\pi}{T}, \end{equation*}

da cui usando l’equazione (14) si giunge ad

(16)   \begin{equation*} T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\sim\text{3,14 s}.  \end{equation*}

Osserviamo che t_1\sim\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}}. Nel sistema di riferimento fisso il punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v_0 e la piattaforma si muove di moto armonico. Pertanto la distanza relativa percorsa dal punto materiale rispetto al punto A è data dalla differenza dello spazio percorso da entrambi rispetto al sistema di riferimento fisso. Il punto materiale in un tempo pari a T/4 ha percorso uno spazio pari ad v_0T/4; mentre il punto A della piattaforma ha percorso uno spazio pari a x (T/4)={v_0}/{\omega} \sin(\omega\, T/4)={v_0}\sqrt{m/k}\sin \left(\left(2\pi/T\right)\left(T/4\right)\right)={v_0}/{\omega}. Dunque, avvalendoci di quanto detto calcoliamo la distanza relativa percorsa dal punto materiale a t=\dfrac{T}{4} rispetto alla piattaforma, cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{	  v_0 \left( \dfrac{\pi}{2} \sqrt{\dfrac{m}{k}} - \sqrt{\dfrac{m}{k}}\right)  			= v_0 \sqrt{\dfrac{m}{k}} \left(\dfrac{\pi}{2}-1\right).}\]

    Sostituendo A={v_0}/{\omega} nell’equazione (11) otteniamo

(17)   \begin{equation*} 				\dot{x}(t) ={v_0} \cos(\omega t ). 			\end{equation*}

Sostituiamo t=2t_1\sim 2\,T/4 nella precedente equazione ottenendo

(18)   \begin{equation*} \boxed{	\dot{x} \left(2 \cdot \dfrac{T}{4}\right) = v_0 \cos\left(\dfrac{2\pi}{T} \cdot \left(\dfrac{2T}{4}\right)\right) = -v_0.} 			\end{equation*}

Determiniamo la velocità relativa del punto materiale al tempo t=2 t_1 applicando il teorema delle velocità relative. Abbiamo dunque

    \[\boxcolorato{fisica}{v^\prime (2t_2)\sim 					v^\prime\left(2 \cdot \frac{T}{4}\right) = v_0 - (-v_0)= 2v_0.}\]

Nella precedente equazione abbiamo sfruttato il fatto che il punto materiale si muove di velocità costante v_0 e il fatto che all’istante t=2t_1 la piattaforma ha velocità -v_0 come determinato nell’equazione \eqref{16}, da cui avvalendoci del teorema delle velocità relative abbiamo determinato la velocità relativa v^\prime(2t_1). Si osservi che non è stata data alcuna informazione riguardo la massa del punto materiale perché è ininfluente ai fini della risoluzione del problema, dato che su di esso non agiscono forze nella direzione orizzontale e di conseguenza risulta verificato il primo principio della dinamica.